Закон квадрата-куба - Square–cube law

Впервые закон квадрата-куба упоминается в « Двух новых науках» (1638 г.).

Закон квадрата-куба (или закон куба-квадрата ) - это математический принцип, применяемый в различных областях науки, который описывает взаимосвязь между объемом и площадью поверхности по мере увеличения или уменьшения размера формы. Впервые он был описан в 1638 году Галилео Галилей в его « Двух новых науках» как «... соотношение двух объемов больше, чем соотношение их поверхностей».

Этот принцип гласит, что по мере роста формы ее объем увеличивается быстрее, чем площадь ее поверхности. Применительно к реальному миру этот принцип имеет множество значений, которые важны в самых разных областях, от машиностроения до биомеханики . Это помогает объяснить явления, в том числе то, почему крупным млекопитающим, таким как слоны , сложнее охладиться, чем маленьким, например мышам, и почему строительство все более и более высоких небоскребов становится все труднее.

Описание

Графики площади поверхности A от объема V платоновых тел и сферы, показывающие, что отношение площади поверхности к объему уменьшается с увеличением объема. Их точки пересечения с пунктирными линиями показывают, что при увеличении объема в 8 (2 ³) раз площадь поверхности увеличивается в 4 (2 ²) раза.

Этот рисунок проясняет взаимосвязь между длиной стороны многогранника, его площадью поверхности и его объемом.

Закон квадрата-куба можно сформулировать следующим образом:

Когда объект пропорционально увеличивается в размере, его новая площадь поверхности пропорциональна квадрату множителя, а его новый объем пропорционален кубу множителя.

Математически представлено:

${\ displaystyle A_ {2} = A_ {1} \ left ({\ frac {\ ell _ {2}} {\ ell _ {1}}} \ right) ^ {2}}$

где - исходная площадь поверхности, а - новая площадь поверхности. ${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {2}}$

${\ displaystyle V_ {2} = V_ {1} \ left ({\ frac {\ ell _ {2}} {\ ell _ {1}}} \ right) ^ {3}}$

где - исходный объем, - это новый объем, - это исходная длина и - это новая длина. ${\ displaystyle V_ {1}}$${\ displaystyle V_ {2}}$${\ displaystyle \ ell _ {1}}$${\ displaystyle \ ell _ {2}}$

Например, куб с длиной стороны 1 метр имеет площадь поверхности 6 м ² и объем 1 м ³ . Если бы размеры куба умножить на 2, его площадь поверхности умножится на квадрат 2 и составит 24 м ² . Его объем будет умножен на куб 2 и станет 8 м ³ .

Исходный куб (со сторонами 1 м) имеет отношение площади поверхности к объему 6: 1. Куб большего размера (стороны 2 м) имеет отношение площади поверхности к объему (24/8) 3: 1. По мере увеличения размеров объем будет продолжать расти быстрее, чем площадь поверхности. Таким образом, закон квадрата – куба. Этот принцип применим ко всем твердым телам.

Приложения

Инженерное дело

Когда физический объект сохраняет ту же плотность и увеличивается в масштабе, его объем и масса увеличиваются на куб множителя, в то время как его площадь поверхности увеличивается только на квадрат того же множителя. Это означало бы, что когда более крупная версия объекта ускоряется с той же скоростью, что и оригинал, большее давление будет оказываться на поверхность более крупного объекта.

Рассмотрим простой пример тела массы M, имеющего ускорение a и площадь A поверхности, на которую действует ускоряющая сила. Сила, обусловленная ускорением, и давление тяги . ${\ displaystyle F = Ma}$${\ displaystyle T = {\ frac {F} {A}} = M {\ frac {a} {A}}}$

Теперь рассмотрим объект преувеличенными на коэффициент мультипликатора = х , так что он имеет новую массу, и поверхность , на которой сила , действующая имеет новую площадь поверхности . ${\ displaystyle M '= x ^ {3} M}$${\ Displaystyle А '= х ^ {2} А}$

Новая сила за счет ускорения и результирующего давления тяги, ${\ displaystyle F '= x ^ {3} млн лет}$

${\ displaystyle {\ begin {align} T '& = {\ frac {F'} {A '}} \\ & = {\ frac {x ^ {3}} {x ^ {2}}} \ times M {\ frac {a} {A}} \\ & = x \ times M {\ frac {a} {A}} \\ & = x \ times T \\\ конец {выровнено}}}$

Таким образом, простое увеличение размера объекта, сохраняя тот же материал конструкции (плотность) и то же ускорение, увеличило бы тягу с тем же коэффициентом масштабирования. Это будет означать, что объект будет иметь меньшую способность противостоять стрессу и будет более склонен к разрушению при ускорении.

Вот почему большие автомобили плохо проходят краш-тесты и почему существуют теоретические ограничения на то, как можно построить высокие здания. Точно так же, чем больше объект, тем меньше другие объекты будут сопротивляться его движению, вызывая его замедление.

Инженерные примеры

• Паровая машина : Джеймсу Ватту , работающему изготовителем инструментов в Университете Глазго , была предоставлена ​​масштабная модель парового двигателя Ньюкомена для приведения его в рабочее состояние. Ватт осознал, что проблема связана с законом квадрата-куба, поскольку отношение поверхности к объему цилиндра модели было больше, чем у гораздо более крупных коммерческих двигателей, что приводило к чрезмерным потерям тепла. Эксперименты с этой моделью привели к знаменитым улучшениям Ватта в паровой машине.

Боинг 737-500 перед Airbus A380

• Airbus A380 : подъемная поверхность и поверхности управления (крылья, рули направления и рули высоты) относительно большие по сравнению с фюзеляжем самолета. Например, если взять Боинг 737 и просто увеличить его размеры до размера А380, то из-за правила квадрата-куба крылья будут слишком малы для веса самолета.
• Ракетные двигатели с детандерным циклом страдают законом квадрата-куба. Их размер и, следовательно, тяга ограничены эффективностью теплопередачи из-за того, что площадь поверхности сопла увеличивается медленнее, чем объем топлива, протекающего через сопло.
• Машинки для стрижки нуждается в относительно больше , чем поверхности паруса в шлюпке , чтобы достигнуть ту же самой скорости, что означает , есть более высокое отношение парус поверхность к поверхности паруса между этим кораблем , чем есть отношение веса к весу.
• Аэростаты обычно выигрывают от закона квадрата-куба. По мере увеличения радиуса ( ) воздушного шара стоимость площади поверхности увеличивается квадратично ( ), но подъемная сила, создаваемая за счет объема, увеличивается кубически ( ).${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r ^ {2}}$${\ displaystyle r ^ {3}}$
• Структурная инженерия : материалы, которые работают в небольших масштабах, могут не работать в больших масштабах. Например, сжимающее напряжение внизу небольшой отдельно стоящей колонны масштабируется с той же скоростью, что и размер колонны. Следовательно, существует размер для данного материала и плотности, при которых столбец разрушится сам по себе.

Биомеханика

Если бы животное было изометрически увеличено на значительную величину, его относительная мускульная сила сильно уменьшилась бы, поскольку поперечное сечение его мускулов увеличилось бы на квадрат масштабного коэффициента, а его масса увеличилась бы на куб масштабного коэффициента. В результате сердечно-сосудистые и дыхательные функции будут серьезно отягощены.

В случае летающих животных нагрузка на крыло увеличилась бы, если бы они были увеличены изометрически, и поэтому им пришлось бы летать быстрее, чтобы получить такую ​​же подъемную силу . Сопротивление воздуха на единицу массы также выше у более мелких животных (снижение конечной скорости ), поэтому такое маленькое животное, как муравей, не может быть серьезно травмировано от удара о землю после падения с любой высоты.

Как заявил JBS Haldane , большие животные не похожи на маленьких: слона нельзя спутать с увеличенной в размерах мышью. Это связано с аллометрическим масштабированием : кости слона обязательно пропорционально намного больше, чем кости мыши, потому что они должны нести пропорционально больший вес. Холдейн иллюстрирует это в своем основополагающем эссе 1928 года « Быть подходящим размером», ссылаясь на аллегорических гигантов: «... рассмотрите человека высотой 60 футов ... Гигантский Папа и Гигантский Язычник в иллюстрированном Путешествии Паломника: ... Эти монстры ... .Весил в 1000 раз больше, чем [нормальный человек]. Каждый квадратный дюйм гигантской кости должен был выдерживать в 10 раз больший вес, чем квадратный дюйм человеческой кости. Поскольку бедренная кость среднего человека ломается примерно в 10 раз больше, чем человеческая. веса, Папа и Пэган сломали бы себе бедра каждый раз, когда сделали бы шаг ». Следовательно, у большинства животных наблюдается аллометрическое масштабирование с увеличением размера как среди видов, так и внутри видов. Гигантские существа, которые можно увидеть в фильмах о монстрах (например, « Годзилла» , « Кинг-Конг» и « Они!» ), Также нереалистичны, учитывая, что их размер заставил бы их разрушиться.

Однако плавучесть воды в некоторой степени сводит на нет влияние силы тяжести. Следовательно, морские существа могут вырастать до очень больших размеров без тех же опорно-двигательных структур, которые требовались бы от наземных существ такого же размера, и это не совпадение, что самые большие животные, когда-либо существовавшие на Земле, - это водные животные .

Скорость метаболизма животных оценивается по математическому принципу, называемому четвертной шкалой в соответствии с метаболической теорией экологии .

Масса и теплопередача

Перенос массы, такой как диффузия, к более мелким объектам, таким как живые клетки, происходит быстрее, чем диффузия к более крупным объектам, таким как целые животные. Таким образом, в химических процессах, которые происходят на поверхности, а не в объеме, более мелкодисперсный материал более активен. Например, активность гетерогенного катализатора выше, когда он разделен на более мелкие частицы. Такие катализаторы обычно встречаются в более теплых условиях.

Тепловыделение в результате химического процесса масштабируется с учетом куба линейного размера (высоты, ширины) сосуда, но площадь поверхности сосуда масштабируется только квадратом линейного размера. Следовательно, большие сосуды намного труднее охлаждать. Кроме того, крупномасштабные трубопроводы для перекачки горячих жидкостей трудно смоделировать в мелком масштабе, потому что тепло быстрее передается от меньших труб. Несоблюдение этого требования при проектировании технологического процесса может привести к катастрофическому тепловому разгоне .

Смотрите также

• Биомеханика
• Аллометрический закон
• « О том, чтобы быть правильным размером », эссе Дж. Б. С. Холдейна, в котором рассматриваются изменения в форме животных, которые потребуются в результате значительного изменения размера.
• Отношение площади поверхности к объему
• Закон Клейбера

использованная литература