Сфериндер - Spherinder

Spherinder можно рассматривать как объем между двумя параллельными и равными 2- твердых сфер (3-шаров) в 4-мерном пространстве, здесь стереографически проецируется в 3D.

В четырехмерной геометрии , в spherinder или сферического цилиндра или сферической призмы , представляет собой геометрический объект, определяемый как декартово произведение из 3- шара (или твердого 2- сферы ), радиус г ₁ и отрезка длины 2 г ₂ :

{\ displaystyle D = \ {(x, y, z, w) | x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ leq r_ {1} ^ {2}, \ w ^ {2 } \ leq r_ {2} ^ {2} \}}

Как и дуоцилиндр , он также аналогичен цилиндру в 3-м пространстве, который представляет собой декартово произведение диска с отрезком прямой .

Его можно увидеть в трехмерном пространстве с помощью стереографической проекции как две концентрические сферы, аналогично тому, как тессеракт (кубическая призма) может быть спроецирован как два концентрических куба, и как круговой цилиндр можно спроецировать в двумерное пространство как два концентрических круга.

Отношение к другим формам

В трехмерном пространстве цилиндр можно рассматривать как промежуточное звено между кубом и сферой . В четырехмерном пространстве есть три промежуточные формы между тессерактом и гиперсферой . В совокупности это:

тессеракт (1 шар × 1 шар × 1 шар × 1 шар), гиперповерхность которого состоит из восьми кубов, соединенных в 24 квадрата
кубиндер (2 шара × 1 шар × 1 шар)
сфериндер (3-шар × 1-шар), гиперповерхность которого представляет собой два 3-шара и трубчатую ячейку, соединенную в соответствующих ограничивающих сферах 3-шаров
дуоцилиндр (2 шара × 2 шара)
клубок (4- шар ), гиперповерхность которого представляет собой 3-сферу без каких-либо соединительных границ.

Эти конструкции соответствуют пяти перегородкам из 4-х размеров.

Если два конца сфериндера соединены вместе, или, что эквивалентно, если сфера тащится по кругу, перпендикулярному ее 3- мерному пространству, она образует сферитор . Если два конца незакрытого spherinder свернута внутрь, в результате форма является torisphere .

Сферидрическая система координат

Можно определить «сферическую» систему координат $(r, θ, φ, w),$ где $x$ , $y$ и $z$ совпадают со сферическими координатами с дополнительной координатой $w$ . Это аналогично определению цилиндрических координат : $x$ и $y$ являются полярными координатами с координатой возвышения $z$ . Сфериндрические координаты можно преобразовать в декартовы координаты с помощью формул

{\ Displaystyle {\ begin {выровнен} х & = р \ соз \ varphi \ sin \ theta \\ y & = r \ sin \ varphi \ sin \ theta \\ z & = r \ cos \ theta \\ w & = w \ end { выровнено}}}

где

r

- радиус,

θ

- зенитный угол,

φ

- азимутальный угол,

w

- высота. Декартовы координаты можно преобразовать в сферидрические координаты с помощью формул

{\ displaystyle {\ begin {align} r & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ varphi & = \ arctan {\ frac {y} {x }} \\\ theta & = \ operatorname {arccot} {\ frac {z} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} \\ w & = w \ end {выровнено}}}

Элемент гиперобъема для сферидрических координат может быть получен путем вычисления якобиана .

{\ displaystyle \ mathrm {d} H = r ^ {2} \ sin {\ theta} \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} w,}

Измерения

Гиперобъем

Учитывая сфериндер со сферическим основанием радиуса $r$ и высотой $h$ , гиперобъем сфериндера определяется выражением

{\ displaystyle H = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} h}

Объем поверхности

Объем поверхности сфериндера, как и площадь поверхности цилиндра, состоит из трех частей:

объем верхней базы: ${\ textstyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$
объем нижней базы: ${\ textstyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$
объем боковой трехмерной поверхности:, который представляет собой площадь поверхности сферического основания, умноженную на высоту ${\ textstyle 4 \ pi r ^ {2} h}$

Следовательно, общий объем поверхности равен

{\ displaystyle SV = {\ frac {8} {3}} \ pi r ^ {3} +4 \ pi r ^ {2} h}

Доказательство

Приведенные выше формулы для гиперобъема и поверхностного объема могут быть доказаны с помощью интегрирования. Гиперобъем произвольной четырехмерной области задается четверным интегралом