Сферическая основа - Spherical basis

В чистой и прикладной математике , в частности , квантовой механика и компьютерной графике и их применениях сферической основой является основой для выражения сферических тензоров . Сферический базис тесно связан с описанием углового момента в квантовой механике и сферических гармонических функций.

В то время как сферические полярные координаты представляют собой одну ортогональную систему координат для выражения векторов и тензоров с использованием полярных и азимутальных углов и радиального расстояния, сферический базис строится из стандартного базиса и использует комплексные числа .

В трех измерениях

Вектор A в трехмерном евклидовом пространстве $R 3$ может быть выражен в известной декартовой системе координат в стандартном базисе e _x , e _y , e _z и координатах A _x , A _y , A _z :

{\ displaystyle \ mathbf {A} = A_ {x} \ mathbf {e} _ {x} + A_ {y} \ mathbf {e} _ {y} + A_ {z} \ mathbf {e} _ {z} }

( 1 )

или любая другая система координат с ассоциированным базисным набором векторов. Таким образом, мы расширили скаляры, чтобы разрешить умножение на комплексные числа, так что теперь мы работаем, а не . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Основное определение

В сферических основаниях, обозначенных e ₊ , e _- , e ₀ , и связанных координатах относительно этого базиса, обозначенных A ₊ , A _- , A ₀ , вектор A равен:

{\ displaystyle \ mathbf {A} = A _ {+} \ mathbf {e} _ {+} + A _ {-} \ mathbf {e} _ {-} + A_ {0} \ mathbf {e} _ {0} }

( 2 )

где сферические базисные векторы могут быть определены в терминах декартового базиса с использованием комплексных коэффициентов в плоскости xy :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {e} _ {+} & = - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ mathbf {e} _ {x} - {\ frac {i } {\ sqrt {2}}} \ mathbf {e} _ {y} \\\ mathbf {e} _ {-} & = + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ mathbf {e } _ {x} - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ mathbf {e} _ {y} \\\ end {align}} \ quad \ rightleftharpoons \ quad \ mathbf {e} _ { \ pm} = \ mp {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (\ mathbf {e} _ {x} \ pm i \ mathbf {e} _ {y} \ right) \,}

( 3А )

в котором i обозначает мнимую единицу , а одна нормальна к плоскости в направлении z :

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {0} = \ mathbf {e} _ {z}}

Обратные отношения таковы:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {e} _ {x} & = - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ mathbf {e} _ {+} + {\ frac {1 } {\ sqrt {2}}} \ mathbf {e _ {-}} \\\ mathbf {e} _ {y} & = + {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ mathbf {e} _ {+} + {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ mathbf {e _ {-}} \\\ mathbf {e} _ {z} & = \ mathbf {e} _ {0} \ конец {выровнен}}}

( 3B )

Определение коммутатора

Хотя определение базиса в трехмерном пространстве является допустимым определением сферического тензора, оно охватывает только случай, когда ранг равен 1. Для более высоких рангов можно использовать либо коммутатор, либо определение вращения сферического тензора. Определение коммутатора дается ниже, любой оператор , удовлетворяющий следующим соотношениям, является сферическим тензором: ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle T_ {q} ^ {(k)}}$

{\ displaystyle [J _ {\ pm}, T_ {q} ^ {(k)}] = \ hbar {\ sqrt {(k \ mp q) (k \ pm q + 1)}} T_ {q \ pm 1 } ^ {(k)}}

{\ displaystyle [J_ {z}, T_ {q} ^ {(k)}] = \ hbar qT_ {q} ^ {(k)}}

Определение вращения

Аналогично тому, как сферические гармоники преобразуются при вращении, общий сферический тензор преобразуется следующим образом, когда состояния преобразуются под унитарной D-матрицей Вигнера , где $R$ - групповой элемент (3 × 3 вращения) в SO (3) . То есть эти матрицы представляют элементы группы вращения. С помощью ее алгебры Ли можно показать, что эти два определения эквивалентны. ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (R)}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (R) T_ {q} ^ {(k)} {\ mathcal {D}} ^ {\ dagger} (R) = \ sum _ {q '= - k} ^ {k} T_ {q '} ^ {(k)} {\ mathcal {D}} _ {q'q} ^ {(k)}}

Координатные векторы

Для сферического базиса координаты представляют собой комплексные числа A ₊ , A ₀ , A _- , и могут быть найдены путем подстановки ( 3B ) в ( 1 ) или непосредственно вычислены из внутреннего произведения ⟨,⟩ ( 5 ):

{\ displaystyle {\ begin {align} A _ {+} & = \ left \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {e} _ {+} \ right \ rangle = - {\ frac {A_ {x}} { \ sqrt {2}}} + {\ frac {iA_ {y}} {\ sqrt {2}}} \\ A _ {-} & = \ left \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {e} _ { -} \ right \ rangle = + {\ frac {A_ {x}} {\ sqrt {2}}} + {\ frac {iA_ {y}} {\ sqrt {2}}} \\\ end {выровнено} } \ quad \ rightleftharpoons \ quad A _ {\ pm} = \ left \ langle \ mathbf {e} _ {\ pm}, \ mathbf {A} \ right \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2} }} \ left (\ mp A_ {x} + iA_ {y} \ right)}

( 4А )

{\ displaystyle A_ {0} = \ left \ langle \ mathbf {e} _ {0}, \ mathbf {A} \ right \ rangle = \ left \ langle \ mathbf {e} _ {z}, \ mathbf {A } \ right \ rangle = A_ {z}}

с обратными отношениями:

{\ displaystyle {\ begin {align} A_ {x} & = - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} A _ {+} + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} A_ {-} \\ A_ {y} & = - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} A _ {+} - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} A _ {-} \ \ A_ {z} & = A_ {0} \ end {align}}}

( 4B )

В общем, для двух векторов с комплексными коэффициентами в одной и той же вещественной ортонормированному е _I , со свойством е _я · е _J = δ _IJ , то скалярное произведение является:

{\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf {a}, \ mathbf {b} \ right \ rangle = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} ^ {\ star} = \ sum _ {j} a_ {j } b_ {j} ^ {\ star}}

( 5 )

где · - обычное скалярное произведение, а комплексное сопряжение * должно использоваться для сохранения величины (или «нормы») вектора положительно определенной .

Свойства (три измерения)

Ортонормальность

Сферический базис является ортонормированным базисом , поскольку скалярное произведение ⟨,⟩ ( 5 ) каждой пары обращается в нуль, что означает, что все базисные векторы взаимно ортогональны :