Спектр (топология) - Spectrum (topology)

В алгебраической топологии , ветвь математики , спектр является объектом , представляющий собой обобщенную теорию когомологий (что следует из теоремы Брауна представимости ). Это означает, что с учетом теории когомологий

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {*}: {\ text {CW}} ^ {op} \ to {\ text {Ab}}}$ ,

существуют такие пространства , что оценка теории когомологий по степени на пространстве эквивалентна вычислению гомотопических классов отображений в пространство , т. е. ${\ displaystyle E ^ {k}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle E ^ {k}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {k} (X) \ cong [X, E ^ {k}]}$ .

Обратите внимание, что существует несколько различных категорий спектров, приводящих к множеству технических трудностей, но все они определяют одну и ту же гомотопическую категорию , известную как стабильная гомотопическая категория . Это один из ключевых моментов для введения спектров, потому что они образуют естественный дом для устойчивой теории гомотопий.

Определение спектра

Есть много вариантов определения: в общем, спектр - это любая последовательность точечных топологических пространств или точечных симплициальных множеств вместе со структурными отображениями, дающими гомотопические эквивалентности. ${\ displaystyle X_ {n}}$ ${\ Displaystyle S ^ {1} \ клин X_ {n} \ to X_ {n + 1}}$

Лечение здесь в связи с Frank Adams (1974): спектр (или CW-спектр) представляет собой последовательность из CW комплексы вместе с включениями в суспензии в качестве подкомплекса . ${\ displaystyle E: = \ {E_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ Sigma E_ {n} \ to E_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ Sigma E_ {n}}$ ${\ displaystyle E_ {n + 1}}$

Для других определений см симметричный спектр и симплициальный спектр .

Гомотопические группы спектра

Одним из важнейших инвариантов спектров являются гомотопические группы спектра. Эти группы отражают определение стабильных гомотопических групп пространств, поскольку структура отображений надстройки является целостной по своему определению. Для данного спектра определим гомотопическую группу как копредел ${\ displaystyle E}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {п} (Е)}$

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {n} (E) & = \ lim _ {\ to k} \ pi _ {n + k} (E_ {k}) \\ & = \ lim _ { \ to} \ left (\ cdots \ to \ pi _ {n + k} (E_ {k}) \ to \ pi _ {n + k + 1} (E_ {k + 1}) \ to \ cdots \ right ) \ конец {выровнено}}}$

где карты индуцированы из композиции карты подвеса

${\ Displaystyle \ Sigma: E_ {n} \ to \ Sigma E_ {n}}$

и структурная карта

${\ displaystyle \ Sigma E_ {n} \ to E_ {n + 1}}$

Спектр называется связным, если он равен нулю при отрицательном k . ${\ displaystyle \ pi _ {k}}$

Примеры

Спектр Эйленберга – Маклейна.

Рассмотрим особые когомологии с коэффициентами в абелевой группе . Для комплекса CW , группа может быть идентифицирована с множеством гомотопических классов отображений к , то пространство Эйленберга-Маклейно с гомотопностью сосредоточено в степени . Мы пишем это как ${\ Displaystyle Н ^ {п} (Х; А)}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Н ^ {п} (Х; А)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle К (А, п)}$ ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle [Икс, К (А, п)] = Н ^ {п} (Х; А)}$

Тогда соответствующий спектр имеет -ое пространство ; он называется спектром Эйленберга – Маклейна . Обратите внимание, что эту конструкцию можно использовать для включения любого кольца в категорию спектров. Это вложение составляет основу используемой спектральной геометрии как модели производной алгебраической геометрии . Одним из важных свойств этого вложения являются изоморфизмы ${\ displaystyle HA}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle К (А, п)}$ ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {i} (H (R / I) \ wedge _ {R} H (R / J)) & \ cong H_ {i} (R / I \ otimes ^ { \ mathbf {L}} R / J) \\ & \ cong \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (R / I, R / J) \ end {выровнено}}}$

отображение категории спектров отслеживает производную информацию о коммутативных кольцах, где произведение разбиения действует как производное тензорное произведение . Более того, спектр Эйленберга – Маклейна можно использовать для определения теорий, таких как топологические гомологии Хохшильда для коммутативных колец, что дает более тонкую теорию классических гомологий Хохшильда.

Топологическая комплексная K-теория

В качестве второго важного примера рассмотрим топологическую K-теорию . По крайней мере, X прессовки, определяется , чтобы быть группой Гротендик из моноиде комплексных векторных расслоений на X . Кроме того, является группой, соответствующей векторным расслоениям на надстройке X. Топологическая K-теория является обобщенной теорией когомологий, поэтому она дает спектр. Нулевой пробел - это первый пробел . Вот бесконечная унитарная группа и ее классифицирующее пространство . По периодичности Ботта мы получаем и для всех n , поэтому все пространства в спектре топологической K-теории задаются либо, либо . Существует соответствующая конструкция с использованием вещественных векторных расслоений вместо комплексных векторных расслоений, которая дает 8- периодический спектр . ${\ displaystyle K ^ {0} (X)}$ ${\ displaystyle K ^ {1} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times BU}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle BU}$ ${\ Displaystyle К ^ {2n} (X) \ cong K ^ {0} (X)}$ ${\ Displaystyle К ^ {2n + 1} (Х) \ конг К ^ {1} (Х)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times BU}$ ${\ displaystyle U}$

Спектр сферы

Один из типичных примеров спектра - сферический спектр . Это спектр, гомотопические группы которого задаются стабильными гомотопическими группами сфер, поэтому ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$

${\ Displaystyle \ пи _ {п} (\ mathbb {S}) = \ пи _ {п} ^ {\ mathbb {S}}}$

Мы можем явно записать этот спектр как где . Обратите внимание, что продукт Smash дает структуру продукта в этом спектре. ${\ Displaystyle \ mathbb {S} _ {я} = S ^ {я}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S} _ {0} = \ {0,1 \}}$

${\ Displaystyle S ^ {n} \ клин S ^ {m} \ simeq S ^ {n + m}}$

индуцирует кольцевую структуру на . Более того, если рассматривать категорию симметричных спектров , это образует исходный объект, аналогичный категории коммутативных колец. ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Спектры Тома

Другой канонический пример спектров - спектры Тома, представляющие различные теории кобордизмов. Это включает в себя настоящий кобордизм , сложный кобордизм , обрамленный кобордизм, спиновый кобордизм , струнный кобордизм и так далее . Фактически для любой топологической группы существует спектр Тома . ${\ displaystyle MO}$ ${\ displaystyle MU}$ ${\ displaystyle MSpin}$ ${\ displaystyle MString}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle MG}$

Спектр подвески

Спектр может быть построен из пространства. Суспензия спектр пространства , обозначается целый спектр (структурные карты идентичность). Например, суспензия спектр 0-сферы является сфера спектра обсуждался выше. Гомотопические группы этого спектра тогда являются стабильными гомотопическими группами спектра , поэтому ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {\ infty} X}$ ${\ Displaystyle X_ {n} = S ^ {n} \ клин X}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ pi _ {n} (\ Sigma ^ {\ infty} X) = \ pi _ {n} ^ {\ mathbb {S}} (X)}$

Из построения спектра надстройки следует, что каждое пространство можно рассматривать как теорию когомологий. Фактически, он определяет функтор

${\ displaystyle \ Sigma ^ {\ infty}: h {\ text {CW}} \ to h {\ text {Spectra}}}$

от гомотопической категории CW-комплексов к гомотопической категории спектров. Морфизмы задаются

${\ displaystyle [\ Sigma ^ {\ infty} X, \ Sigma ^ {\ infty} Y] = {\ underset {\ to n} {\ operatorname {colim} {}}} [\ Sigma ^ {n} X, \ Sigma ^ {n} Y]}$

которое по теореме Фрейденталя о подвеске в конечном итоге стабилизируется. Под этим мы подразумеваем

${\ Displaystyle [\ Sigma ^ {N} X, \ Sigma ^ {N} Y] \ simeq [\ Sigma ^ {N + 1} X, \ Sigma ^ {N + 1} Y] \ simeq \ cdots}$ а также ${\ Displaystyle [\ Sigma ^ {\ infty} X, \ Sigma ^ {\ infty} Y] \ simeq [\ Sigma ^ {N} X, \ Sigma ^ {N} Y]}$

для некоторого конечного целого числа . Для комплекса CW существует обратная конструкция, которая берет спектр и образует пространство ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ Omega ^ {\ infty} E = {\ underset {\ to n} {\ operatorname {colim} {}}} \ Omega ^ {n} E_ {n}}$

называется бесконечным пространством петель спектра. Для комплекса CW ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ Omega ^ {\ infty} \ Sigma ^ {\ infty} X = {\ underset {\ to} {\ operatorname {colim} {}}} \ Omega ^ {n} \ Sigma ^ {n} X}$

и эта конструкция идет с включением для каждого , следовательно, дает отображение ${\ Displaystyle X \ к \ Omega ^ {n} \ Sigma ^ {n} X}$ ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle X \ к \ Omega ^ {\ infty} \ Sigma ^ {\ infty} X}$

что инъективно. К сожалению, эти две структуры с добавлением продукта разбиения приводят к значительной сложности в теории спектров, потому что не может существовать единой категории спектров, которая удовлетворяла бы списку из пяти аксиом, связывающих эти структуры. Вышеупомянутое присоединение справедливо только в гомотопических категориях пространств и спектров, но не всегда с определенной категорией спектров (не гомотопической категорией).

Ω-спектр

Ω-спектр представляет собой спектр таким образом, что сопряженные структуры карты ( ) является слабой эквивалентностью. К-теории спектра кольца является примером Q-спектра. ${\ displaystyle X_ {n} \ to \ Omega X_ {n + 1}}$

Спектр кольца

Кольцевой спектр представляет собой спектр Х , такой , что диаграммы , которые описывают кольцевые аксиомы в терминах разбить продукты коммутируют «до гомотопности» ( соответствует идентичности). Например, спектр топологической К -теории является кольцевым спектром. Спектр модуля может быть определен аналогичным образом . ${\ displaystyle S ^ {0} \ to X}$

Для многих других примеров см. Список теорий когомологий .

Функции, отображения и гомотопии спектров

Есть три естественные категории, объектами которых являются спектры, морфизмами которых являются функции, отображения или гомотопические классы, определенные ниже.

Функция между двумя спектрами E и F представляет собой последовательность отображений из Е _п к F _п , коммутирующих с картами Σ Е _п → Е _{п + 1} и Σ Р _п → Р _{п + 1} .

Учитывая спектр , подспектр - это последовательность подкомплексов, которая также является спектром. Поскольку каждая i -ячейка в подвешена к ( i + 1) -ячейке в , конфинальный подспектр является подспектром, для которого каждая ячейка родительского спектра в конечном итоге содержится в подспектре после конечного числа приостановок. Спектры могут быть превращены в категорию путем определения карты спектров быть функция от конфинального подспектра от до , где две таких функций представляют собой ту же карту , если они совпадают на некотором конфинальном подспектре. Интуитивно такое отображение спектров не нужно определять всюду, просто в конечном итоге оно становится определенным, и два отображения, совпадающие на конфинальном подспектре, называются эквивалентными. Это дает категорию спектров (и карт), которая является основным инструментом. В эту категорию происходит естественное вложение категории точечных комплексов CW: она переходит в спектр подвеса, в котором находится n- й комплекс . ${\ displaystyle E_ {n}}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$ ${\ displaystyle E_ {j}}$ ${\ displaystyle E_ {j + 1}}$ ${\ displaystyle f: E \ to F}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ Sigma ^ {n} Y}$

Произведение разбиения спектра и заостренного комплекса - это спектр, задаваемый формулой (ассоциативность произведения разбивания сразу дает, что это действительно спектр). Гомотопические отображения между спектрами соответствуют на карту , где находится несвязное объединение с взято быть Basepoint. ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle (E \ клин X) _ {n} = E_ {n} \ клин X}$ ${\ Displaystyle (Е \ клин I ^ {+}) \ к F}$ ${\ displaystyle I ^ {+}}$ ${\ Displaystyle [0,1] \ sqcup \ {* \}}$ ${\ displaystyle *}$

Стабильная гомотопическая категория , или гомотопическая категория (CW) спектры определяются как категория, объекты которой спектры и морфизмы гомотопических классы отображений между спектрами. Многие другие определения спектра, некоторые из которых кажутся очень разными, приводят к эквивалентным стабильным гомотопическим категориям.

Наконец, мы можем определить приостановку спектра с помощью . Эта приостановка трансляции обратима, так как мы также можем отключить ее, установив . ${\ displaystyle (\ Sigma E) _ {n} = E_ {n + 1}}$ ${\ displaystyle (\ Sigma ^ {- 1} E) _ {n} = E_ {n-1}}$

Триангулированная гомотопическая категория спектров

Категория стабильной гомотопии является аддитивной: карты могут быть добавлены с использованием варианта добавления треков, используемого для определения гомотопических групп. Таким образом, гомотопические классы от одного спектра к другому образуют абелеву группу. Кроме того, стабильная гомотопическая категория триангулируется (Vogt (1970)), сдвиг задается подвешиванием, а выделенные треугольники - конусными последовательностями отображений спектров.

{\ Displaystyle X \ rightarrow Y \ rightarrow Y \ cup CX \ rightarrow (Y \ cup CX) \ cup CY \ cong \ Sigma X}

.

Разбить продукты спектров

Продукт столкновения спектров расширяет продукт разрушения комплексов CW. Он превращает стабильную гомотопическую категорию в моноидальную ; другими словами, он ведет себя как (производное) тензорное произведение абелевых групп. Основная проблема с продуктом огромного успеха заключается в том, что очевидные способы его определения делают его ассоциативным и коммутативным только с точностью до гомотопии. Некоторые более свежие определения спектров, такие как симметричные спектры , устраняют эту проблему и дают симметричную моноидальную структуру на уровне отображений перед переходом к гомотопическим классам.

Продукт Smash совместим с триангулированной категориальной структурой. В частности, произведение разбива выделенного треугольника со спектром - это выделенный треугольник.

Обобщенные гомологии и когомологии спектров.

Мы можем определить (стабильные) гомотопические группы спектра как группы, заданные формулой

{\ displaystyle \ displaystyle \ pi _ {n} E = [\ Sigma ^ {n} \ mathbb {S}, E]}

,

где - спектр сферы, - множество гомотопических классов отображений из в . Определим обобщенную теорию гомологий спектра E следующим образом: ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle [X, Y]}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

{\ displaystyle E_ {n} X = \ pi _ {n} (E \ wedge X) = [\ Sigma ^ {n} \ mathbb {S}, E \ wedge X]}

и определим ее обобщенную теорию когомологий формулой

{\ displaystyle \ displaystyle E ^ {n} X = [\ Sigma ^ {- n} X, E].}

Здесь может быть спектр или (используя его спектр подвеса) пространство. ${\ displaystyle X}$

Технические сложности со спектрами

Одна из канонических сложностей при работе со спектрами и определении категории спектров проистекает из того факта, что каждая из этих категорий не может удовлетворять пяти, казалось бы, очевидным аксиомам, касающимся бесконечного пространства петель спектра. ${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle Q: {\ text {Top}} _ {*} \ to {\ text {Top}} _ {*}}$

отправка

${\ displaystyle QX = {\ underset {\ to n} {\ operatorname {colim} {}}} \ Omega ^ {n} \ Sigma ^ {n} X}$

пара сопряженных функторов the и smash как в категории пространств, так и в категории спектров. Если мы позволим обозначить категорию базируемых компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств и обозначить категорию спектров, следующие пять аксиом никогда не могут быть удовлетворены конкретной моделью спектров: ${\ displaystyle \ Sigma ^ {\ infty}: {\ text {Top}} _ {*} \ leftrightarrows {\ text {Spectra}} _ {*}: \ Omega ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle \ клин}$ ${\ displaystyle {\ text {Top}} _ {*}}$ ${\ displaystyle {\ text {Spectra}} _ {*}}$

${\ displaystyle {\ text {Spectra}} _ {*}}$ является симметричной моноидальной категорией относительно разбивающего произведения ${\ Displaystyle \ клин}$
Функтор сопряжен слева к ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {\ infty}}$
Единицей измерения продукта удара является спектр сфер. ${\ Displaystyle \ клин}$ ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {\ infty} S ^ {0} = \ mathbb {S}}$
Либо существует естественное преобразование, либо естественное преобразование, которое коммутирует с единичным объектом в обеих категориях, а также коммутативные и ассоциативные изоморфизмы в обеих категориях. ${\ Displaystyle \ phi: (\ Omega ^ {\ infty} E) \ клин (\ Omega ^ {\ infty} E ') \ to \ Omega ^ {\ infty} (E \ клин E')}$ ${\ Displaystyle \ гамма: (\ Sigma ^ {\ infty} E) \ клин (\ Sigma ^ {\ infty} E ') \ to \ Sigma ^ {\ infty} (E \ клин E')}$
Существует естественная слабая эквивалентность, для которой существует коммутирующая диаграмма ${\ displaystyle \ theta: \ Omega ^ {\ infty} \ Sigma ^ {\ infty} X \ to QX}$ ${\ displaystyle X \ in \ operatorname {Ob} ({\ text {Top}} _ {*})}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} X & \ xrightarrow {\ eta} & \ Omega ^ {\ infty} \ Sigma ^ {\ infty} X \\ = \ downarrow && \ downarrow \ theta \\ X & \ xrightarrow {i} & QX \ end {matrix}}}$

где - единичная карта в примыкании. ${\ displaystyle \ eta}$

Из-за этого исследование спектров ломается в зависимости от используемой модели. Для обзора ознакомьтесь с цитированной выше статьей.

История

Вариант концепции спектра был представлен в докторской диссертации Илона Лагеса Лимы в 1958 году . Его советник Эдвин Спаниер написал дальше на эту тему в 1959 году. Спектры были приняты Майклом Атьей и Джорджем Уайтхедом в их работе по обобщенным теориям гомологии в начале 1960-х годов. Докторская диссертация Дж. Майкла Бордмана 1964 г. дала работоспособное определение категории спектров и отображений (а не только гомотопических классов) между ними, столь же полезного в стабильной теории гомотопий, как категория комплексов CW в нестабильном случае. (По сути, это категория, описанная выше, и она до сих пор используется для многих целей: по другим сведениям см. Адамс (1974) или Райнер Фогт (1970).) Однако с 1990 года были сделаны важные дальнейшие теоретические успехи, значительно улучшившие формальные свойства спектров. Следовательно, во многих недавних публикациях используются модифицированные определения спектра : см. Michael Mandell et al. (2001) для единой трактовки этих новых подходов.

Смотрите также

использованная литература

Лима, Илон Лагес (1959), "Двойственность Спаниера – Уайтхеда в новых гомотопических категориях", Summa Brasil. Математика. , 4 : 91–148, MR 0116332
Лима, Илон Лагес (1960), "Стабильные инварианты Постникова и их двойники", Summa Brasil. Математика. , 4 : 193–251
Фогт, Райнер (1970), стабильная гомотопическая категория Бордмана , Серия конспектов лекций, № 21, Математический институт, Орхусский университет, Орхус, MR 0275431
Уайтхед, George W. (1962), "Обобщенная гомологии теории", Труды Американского математического общества , 102 (2): 227-283, DOI : 10,1090 / S0002-9947-1962-0137117-6

внешние ссылки

Spectral Sequences - Allen Hatcher - содержит отличное введение в спектры и приложения для построения спектральной последовательности Адамса.
Безымянный книжный проект о симметричных спектрах
«Действительно ли спектры - это то же самое, что теории когомологий?» .

Languages

In other projects