Решение уравнения Шредингера для ступенчатого потенциала - Solution of Schrödinger equation for a step potential

В квантовой механике и теории рассеяния одномерный ступенчатый потенциал - это идеализированная система, используемая для моделирования падающих, отраженных и проходящих волн материи . Задача состоит в решении не зависящего от времени уравнения Шредингера для частицы со ступенчатым потенциалом в одном измерении. Обычно потенциал моделируется как ступенчатая функция Хевисайда .

Расчет

Уравнение Шредингера и потенциальная функция

Рассеяние на конечном потенциальном шаге высотой V 0 показано зеленым цветом. Указаны амплитуды и направление движущихся влево и вправо волн. Желтый - это падающая волна, синий - отражается и проходит, красный - нет. E > V 0 для этого рисунка.

Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции имеет вид

где H - гамильтониан , ħ - приведенная постоянная Планка , m - масса , E - энергия частицы. Ступенчатый потенциал - это просто произведение V 0 , высоты барьера и ступенчатой ​​функции Хевисайда :

Барьер расположен в x = 0, хотя любое положение x 0 может быть выбрано без изменения результатов, просто сдвигая положение шага на - x 0 .

Первый член гамильтониана - кинетическая энергия частицы.

Решение

Ступенька делит пространство на две части: x <0 и x > 0. В любой из этих частей потенциал постоянен, что означает, что частица квазисвободна, и решение уравнения Шредингера может быть записано как суперпозиция левого и вправо движущиеся волны (см. свободную частицу )

,

где нижние индексы 1 и 2 обозначают области x <0 и x > 0 соответственно, нижние индексы (→) и (←) на амплитудах A и B обозначают направление вектора скорости частицы: вправо и влево соответственно.

Эти волновые векторы в соответствующих областях являются

,

оба имеют ту же форму, что и соотношение Де Бройля (в одном измерении)

.

Граничные условия

Коэффициенты A , B должны быть найдены из граничных условий волновой функции при x = 0. Волновая функция и ее производная должны быть непрерывными всюду, поэтому:

,
.

Подставляя волновые функции, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты

Передача и отражение

Полезно сравнить ситуацию с классическим случаем. В обоих случаях частица ведет себя как свободная частица вне области барьера. Классическая частица с энергией E, превышающей высоту барьера V 0, будет замедляться, но никогда не отражаться от барьера, в то время как классическая частица с E < V 0, падающая на барьер слева, всегда будет отражаться. Найдя квантово-механический результат, мы вернемся к вопросу о том, как восстановить классический предел.

Для изучения квантового случая рассмотрим следующую ситуацию: частица, падающая на барьер с левой стороны A . Он может отражаться ( A ) или передаваться ( B ). Здесь и далее полагаем E > V 0 .

Чтобы найти амплитуды отражения и прохождения при падении слева, мы задаем в приведенных выше уравнениях A = 1 (падающая частица), A = R (отражение), B = 0 (нет падающей частицы справа) и B = Tk 1 / k 2 (трансмиссия). Затем мы решить для T и R .

Результат:

Модель симметрична относительно преобразования четности и в то же время меняет местами k 1 и k 2 . Следовательно, для падения справа мы имеем амплитуды прохождения и отражения

Анализ выражений

Вероятность отражения и передачи при потенциале ступени Хевисайда. Пунктиром: классический результат. Сплошные линии: квантовая механика. При E < V 0 классическая и квантовая задачи дают один и тот же результат.

Энергия меньше высоты ступени ( E < V 0 )

Для энергий E < V 0 волновая функция справа от ступеньки экспоненциально затухает на расстоянии .

Энергия больше высоты ступени ( E > V 0 )

В этом диапазоне энергий коэффициенты пропускания и отражения отличаются от классического случая. Они одинаковы для заболеваемости слева и справа:

В пределе больших энергий Е » V 0 , мы имеем к 1к 2 и классическому результату Т = 1, R = 0 восстанавливаются.

Таким образом, существует конечная вероятность отражения частицы с энергией, превышающей высоту ступеньки.

Отрицательные шаги

  • В случае большого положительного E и небольшого положительного шага T почти равно 1.
  • Но в случае небольшого положительного E и большого отрицательного V , тогда R почти равно 1.

Другими словами, квантовая частица отражается от большого перепада потенциала (так же, как и от большой потенциальной ступеньки). Это имеет смысл с точки зрения рассогласования импеданса, но кажется классически нелогичным ...

Классический предел

Результат, полученный для R, зависит только от отношения E / V 0 . На первый взгляд это кажется нарушением принципа соответствия , поскольку мы получаем конечную вероятность отражения независимо от значения постоянной Планка или массы частицы. Например, мы, кажется, предсказываем, что, когда шарик катится к краю стола, может быть большая вероятность того, что он отразится, а не упадет. Согласованность с классической механикой восстанавливается путем устранения нефизического предположения о том, что ступенчатый потенциал является разрывным. Когда ступенчатая функция заменяется рампой, охватывающей некоторое конечное расстояние w , вероятность отражения приближается к нулю в пределе , где k - волновое число частицы.

Релятивистский расчет

Релятивистский расчет столкновения свободной частицы со ступенчатым потенциалом может быть получен с помощью релятивистской квантовой механики . Для случая 1/2 фермионов, таких как электроны и нейтрино , решения уравнения Дирака для высоких энергетических барьеров дают неограниченные коэффициенты передачи и отражения. Это явление известно как парадокс Клейна . Кажущийся парадокс исчезает в контексте квантовой теории поля .

Приложения

Потенциал ступени Хевисайда в основном служит упражнением во вводной квантовой механике, поскольку решение требует понимания множества квантово-механических концепций: нормализации волновой функции, непрерывности, амплитуды падения / отражения / передачи и вероятностей.

Проблема, аналогичная рассмотренной, возникает в физике границ раздела нормальный металл - сверхпроводник . Квазицастицы которые разбросаны по потенциалу пары , которые в простейшей модели можно предположить , имеют ступенчатую форму. Решение уравнения Боголюбова-де Жена напоминает решение обсуждаемого ступенчатого потенциала Хевисайда. В случае сверхпроводника из нормального металла это вызывает андреевское отражение .

Смотрите также

использованная литература

Источники

  • Демистификация квантовой механики , Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN  0-07-145546 9
  • Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание) , Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0
  • Квантовая механика , Э. Аберс, изд. Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN  978-0-13-146100-0
  • Элементарная квантовая механика , NF Mott, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, ISBN  0-85109-270-5
  • Стационарные состояния , A. Holden, College Physics Monographs (США), Oxford University Press, 1971, ISBN  0-19-851121-3
  • Квантовая механика , Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Schaum's Outlines, Mc Graw Hill (США), 1998, ISBN  007-0540187

дальнейшее чтение

  • Новая квантовая вселенная , Т. Хей, П. Уолтерс, Cambridge University Press, 2009, ISBN  978-0-521-56457-1 .
  • Квантовая теория поля , Д. МакМэхон, Мак Гроу Хилл (США), 2008, ISBN  978-0-07-154382-8
  • Квантовая механика , Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Ускоренный курс Schaum's Easy Outlines, Mc Graw Hill (США), 2006, ISBN  007-145533-7 ISBN  978-007-145533-6