Сплошная революция - Solid of revolution

Вращение кривой. Образованная поверхность - это поверхность вращения ; он заключает в себе твердое тело революции.

Тела революции ( Matemateca Ime-Usp )

В геометрии , А тело вращения является твердая цифра получена вращением плоскости кривой вокруг некоторой прямой линии (The оси вращения ) , что лежит на одной и той же плоскости. Поверхность , созданная этой революция и ограничивающие твердое вещество является поверхностью вращения .

Предполагая , что кривая не пересекает ось, твердое вещество - х объем равен длине по окружности , описываемой фигуры центроида , умноженной на фигуры области ( второй центроид теоремы Паппа в ).

Репрезентативный диск является трех- мерный элемент объема твердого тела вращения. Элемент создаются вращающимся на отрезок линии (от длины $ш$ ) вокруг некоторой оси (расположенный $г$ единиц далеко), так что цилиндрический объем из $П г 2 ш$ единиц прилагаются.

Нахождение объема

Двумя общими методами определения объема тела вращения являются метод диска и метод интегрирования оболочки . Чтобы применить эти методы, проще всего нарисовать рассматриваемый график; определить область, которая должна вращаться вокруг оси вращения; определить объем либо дискообразного среза твердого тела толщиной $δx$ , либо цилиндрической оболочки шириной $δx$ ; а затем найти предельную сумму этих объемов, когда $δx$ приближается к 0, значение, которое может быть найдено путем вычисления подходящего интеграла. Более строгое обоснование может быть дано попыткой вычислить тройной интеграл в цилиндрических координатах с двумя разными порядками интегрирования.

Дисковый метод

Интеграция диска вокруг оси Y

Дисковый метод используется, когда нарисованный срез перпендикулярен оси вращения; т.е. при интегрировании параллельно оси вращения.

Объем твердого тела, образованного вращением области между кривыми $f (x)$ и $g (x)$ и линиями $x = a$ и $x = b$ относительно оси $x,$ определяется выражением

{\ Displaystyle V = \ pi \ int _ {a} ^ {b} \ left | f (x) ^ {2} -g (x) ^ {2} \ right | \, dx \ ,.}

Если $g (x) = 0$ (например, поворот области между кривой и осью $x$ ), это сводится к:

{\ displaystyle V = \ pi \ int _ {a} ^ {b} f (x) ^ {2} \, dx \ ,.}

Этот метод можно визуализировать, рассматривая тонкий горизонтальный прямоугольник в точке $y$ между $f (y)$ вверху и $g (y)$ внизу и вращая его вокруг оси $y$ ; он образует кольцо (или диск в случае, когда $g (y) = 0$ ) с внешним радиусом $f (y)$ и внутренним радиусом $g (y)$ . Площадь кольца равна $π (R 2 - r 2)$ , где $R$ - внешний радиус (в данном случае $f (y)$ ), а $r$ - внутренний радиус (в данном случае $g (y)$ ). Следовательно, объем каждого бесконечно малого диска равен $π f (y) 2 dy$ . Предел римановой суммы объемов дисков между $a$ и $b$ становится целым (1).

Предполагая применимость теоремы Фубини и формулы многомерной замены переменных, дисковый метод может быть получен прямым способом (обозначив твердое тело как D):

{\ Displaystyle V = \ iiint _ {D} dV = \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {g (z)} ^ {f (z)} \ int _ {0} ^ {2 \ pi } r \, d \ theta \, dr \, dz = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {g (z)} ^ {f (z)} r \, dr \, dz = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {1} {2}} r ^ {2} \ Vert _ {f (z)} ^ {g (z)} \, dz = \ pi \ int _ {a} ^ {b} f (z) ^ {2} -g (z) ^ {2} \, dz}

Цилиндровый метод

Интеграция с оболочкой

Метод цилиндра используется, когда нарисованный срез параллелен оси вращения; т.е. при интегрировании перпендикулярно оси вращения.

Объем твердого тела, образованного вращением области между кривыми $f (x)$ и $g (x)$ и линиями $x = a$ и $x = b$ относительно оси $y,$ определяется выражением

{\ Displaystyle V = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} x | f (x) -g (x) | \, dx \ ,.}

Если $g (x) = 0$ (например, вращение области между кривой и осью $y$ ), это сводится к:

{\ displaystyle V = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} x | f (x) | \, dx \ ,.}

Этот метод можно визуализировать, рассматривая тонкий вертикальный прямоугольник в $точке x$ с высотой $f (x) - g (x)$ и вращая его вокруг оси $y$ ; он образует цилиндрическую оболочку. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $2π rh$ , где $r$ - радиус (в данном случае $x$ ), а $h$ - высота (в данном случае $f (x) - g (x)$ ). Суммирование всех площадей на интервале дает общий объем.

Этот метод может быть получен с тем же тройным интегралом, на этот раз с другим порядком интегрирования:

{\ Displaystyle V = \ iiint _ {D} dV = \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {g (r)} ^ {f (r)} \ int _ {0} ^ {2 \ pi } r \, d \ theta \, dz \, dr = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {g (r)} ^ {f (r)} r \, dz \, dr = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} r (f (r) -g (r)) \, dr}

.

Твердая демонстрация революции

Фигуры в покое

Фигуры в движении, показывающие тела вращения, образованные каждым

Параметрическая форма

Математика и искусство : исследование вазы как тела революции Паоло Уччелло . 15 век

Когда кривая определяется ее параметрической формой $(x (t), y (t))$ в некотором интервале $[a, b]$ , объемы твердых тел, образованные путем вращения кривой вокруг оси $x$ или оси $y,$ равны дано

{\ displaystyle V_ {x} = \ int _ {a} ^ {b} \ pi y ^ {2} \, {\ frac {dx} {dt}} \, dt \ ,,}

{\ displaystyle V_ {y} = \ int _ {a} ^ {b} \ pi x ^ {2} \, {\ frac {dy} {dt}} \, dt \ ,.}

При тех же обстоятельствах площади поверхностей твердых тел, образованные вращением кривой вокруг оси $x$ или оси $y$ , задаются выражением

{\ displaystyle A_ {x} = \ int _ {a} ^ {b} 2 \ pi y \, {\ sqrt {\ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2}}} \, dt \ ,,}

{\ displaystyle A_ {y} = \ int _ {a} ^ {b} 2 \ pi x \, {\ sqrt {\ left ({\ frac {dx} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {dy} {dt}} \ right) ^ {2}}} \, dt \ ,.}

Полярная форма

Для полярной кривой, где объемы твердых тел, образованные вращением кривой вокруг оси x или оси y, равны ${\ Displaystyle г = е (\ тета)}$ ${\ Displaystyle \ альфа \ Leq \ theta \ Leq \ beta}$