Неравенство Соболева - Sobolev inequality

В математике в математическом анализе существует класс неравенств Соболева , связывающих нормы, в том числе нормы пространств Соболева . Они используются для доказательства теоремы вложения Соболева , дающей включения между некоторыми пространствами Соболева , и теоремы Реллиха – Кондрахова, показывающей, что при несколько более сильных условиях одни пространства Соболева компактно вкладываются в другие. Они названы в честь Сергея Львовича Соболева .

Теорема вложения Соболева

Графическое представление условий вложения. Пространство

W 3, p

, представленное синей точкой в точке

(1 / p, 3)

, встраивается в пространства, обозначенные красными точками, и все они лежат на линии с наклоном

n

. Белый кружок в точке

(0,0)

указывает на невозможность оптимального вложения в

L \infty

.

Обозначим через $W k, p (R n)$ пространство Соболева, состоящее из всех действительных функций на $R n$ , первые $k$ слабых производных которых являются функциями из $L p$ . Здесь $k$ - целое неотрицательное число и $1 \leq p <\infty$ . Первая часть теоремы вложения Соболева утверждает, что если $k > ℓ$ , $p < n$ и $1 \leq p < q <\infty$ - два действительных числа такие, что

{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} - {\ frac {k} {n}} = {\ frac {1} {q}} - {\ frac {\ ell} {n}},}

тогда

{\ Displaystyle W ^ {к, p} (\ mathbf {R} ^ {n}) \ substeq W ^ {\ ell, q} (\ mathbf {R} ^ {n})}

и вложение непрерывно. В частном случае $k = 1$ и $ℓ = 0$ вложение Соболева дает

{\ Displaystyle W ^ {1, p} (\ mathbf {R} ^ {n}) \ substeq L ^ {p ^ {*}} (\ mathbf {R} ^ {n})}

где $р *$ является сопряженным Соболев из $р$ , задается

{\ displaystyle {\ frac {1} {p ^ {*}}} = {\ frac {1} {p}} - {\ frac {1} {n}}.}

Этот частный случай вложения Соболева является прямым следствием неравенства Гальярдо – Ниренберга – Соболева . Результат следует интерпретировать как говорящий о том, что если функция в имеет одну производную в , то она сама улучшила локальное поведение, что означает, что она принадлежит пространству где . (Обратите внимание, что , так что .) Таким образом, любые локальные особенности в должны быть более мягкими, чем для типичной функции в . ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle L ^ {p ^ {*}}}$ ${\ displaystyle p ^ {*}> p}$ ${\ displaystyle 1 / p ^ {*} <1 / p}$ ${\ displaystyle p ^ {*}> p}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle L ^ {p}}$

Если прямая на рисунке выше пересекает ось y в точке s = r + α , вложение в пространство Гёльдера

C r, α

(красный) выполняется. Белые кружки обозначают точки пересечения, в которых оптимальные вложения недопустимы.

Вторая часть теоремы вложения Соболева применима к вложениям в пространства Гёльдера $C r, α (R n)$ . Если $n < pk$ и

{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} - {\ frac {k} {n}} = - {\ frac {r + \ alpha} {n}},}

при $α \in (0, 1]$ имеем вложение

{\ displaystyle W ^ {k, p} (\ mathbf {R} ^ {n}) \ subset C ^ {r, \ alpha} (\ mathbf {R} ^ {n}).}

Эта часть вложения Соболева является прямым следствием неравенства Морри . Интуитивно это включение выражает тот факт, что существование достаточно большого числа слабых производных влечет некоторую непрерывность классических производных.

В частности, пока критерий вложения будет выполняться с и некоторым положительным значением . То есть для функции на , если имеет производные в и , то будет непрерывной (и фактически непрерывной по Гёльдеру с некоторым положительным показателем ). ${\ displaystyle pk> n}$ ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ displaystyle pk> n}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

Обобщения

Вложения Соболева теорема для пространств Соболева $W к, р (М)$ на других подходящих областях $М$ . В частности ( Aubin 1982 , Chapter 2; Aubin 1976 ), обе части вложения Соболева верны, когда

$M$ - ограниченное открытое множество в $R n$ с липшицевой границей (или граница которого удовлетворяет условию конуса ; Adams 1975 , теорема 5.4)
$M$ - компактное риманово многообразие
$M$ - компактное риманово многообразие с краем, причем граница липшицева (это означает, что граница может быть локально представлена как график липшицевой функции).
$M$ - полное риманово многообразие с радиусом инъективности $δ > 0$ и ограниченной секционной кривизной .

Если $M$ - ограниченное открытое множество в $R n$ с непрерывной границей, то $W 1,2 (M)$ компактно вложено в $L 2 (M)$ ( Nečas 2012 , раздел 1.1.5, теорема 1.4).

Теорема вложения Кондрахова

На компактном многообразии $М$ с $C 1$ границе, то Kondrachov теоремы вложения утверждает , что если $к > ℓ$ и

{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} - {\ frac {k} {n}} <{\ frac {1} {q}} - {\ frac {\ ell} {n}}}

то вложение Соболева

{\ Displaystyle W ^ {к, p} (M) \ подмножество W ^ {\ ell, q} (M)}

является вполне непрерывным (компактным). Обратите внимание, что условие такое же, как в первой части теоремы вложения Соболева, с заменой равенства на неравенство, что требует более регулярного пространства $W k, p (M)$ .

Неравенство Гальярдо – Ниренберга – Соболева.

Предположим, что $u$ - непрерывно дифференцируемая вещественная функция на $R n$ с компактным носителем . Тогда для $1 \leq p < n$ существует постоянная $C,$ зависящая только от $n$ и $p$ такая, что

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {p ^ {*}} (\ mathbf {R} ^ {n})} \ leq C \ | Du \ | _ {L ^ {p} (\ mathbf { R} ^ {n})}.}

с 1 / p * = 1 / p - 1 / n. Дело принадлежит Соболеву, Гальярдо и Ниренбергу независимо друг от друга. Неравенство Гальярдо – Ниренберга – Соболева непосредственно влечет вложение Соболева ${\ Displaystyle 1 <р <п}$ ${\ displaystyle p = 1}$

{\ displaystyle W ^ {1, p} (\ mathbf {R} ^ {n}) \ subset L ^ {p ^ {*}} (\ mathbf {R} ^ {n}).}

Вложения в других порядках на $R n$ затем получаются подходящей итерацией.

Лемма Харди – Литтлвуда – Соболева.

Первоначальное доказательство Соболева теоремы вложения основывалось на следующем, иногда известном как теорема о дробном интегрировании Харди – Литтлвуда – Соболева . Эквивалентное утверждение известно как лемма Соболева в ( Aubin 1982 , гл. 2). Доказательство можно найти в ( Stein , глава V, §1.3) .

Пусть $0 < α < n$ и $1 < p < q <\infty$ . Пусть $I α = (-Δ) - α / 2$ - потенциал Рисса на $R n$ . Тогда для $q,$ определяемого формулой

{\ displaystyle {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {p}} - {\ frac {\ alpha} {n}}}

существует постоянная $C,$ зависящая только от $p,$ такая, что

{\ displaystyle \ left \ | I _ {\ alpha} f \ right \ | _ {q} \ leq C \ | f \ | _ {p}.}

Если $p = 1$ , то возможны две оценки замены. Первая - это более классическая оценка слабого типа:

{\ displaystyle m \ left \ {x: \ left | I _ {\ alpha} f (x) \ right |> \ lambda \ right \} \ leq C \ left ({\ frac {\ | f \ | _ {1 }} {\ lambda}} \ right) ^ {q},}

где $1 / q = 1 - α / n$ . В качестве альтернативы можно получить оценку

{\ displaystyle \ left \ | I _ {\ alpha} f \ right \ | _ {q} \ leq C \ | Rf \ | _ {1},}

где - векторное преобразование Рисса , см. ( Schikorra, Spector & Van Schaftingen ) . Ограниченность Рисса преобразований следует , что последнее неравенство дает единый способ написания семейства неравенств для потенциала Рисса.

{\ displaystyle Rf}

Лемма Харди – Литтлвуда – Соболева влечет вложение Соболева по существу из-за связи между преобразованиями Рисса и потенциалами Рисса.

Неравенство Морри

Предположим, что $n < p \leq \infty$ . Тогда существует постоянная $C$ , зависящая только от $p$ и $n$ , такая, что

{\ displaystyle \ | u \ | _ {C ^ {0, \ gamma} (\ mathbf {R} ^ {n})} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (\ mathbf {R} ^ {n})}}

для всех $u \in C 1 (R n) \cap L p (R n)$ , где

{\ displaystyle \ gamma = 1 - {\ frac {n} {p}}.}

Таким образом, если $u \in W 1, p (R n)$ , то $u$ фактически непрерывно по

Гёльдеру экспоненты

γ

после возможного переопределения на множестве меры 0.

Аналогичный результат верен в ограниченной области $U$ с границей $C 1$ . В этом случае,

{\ displaystyle \ | u \ | _ {C ^ {0, \ gamma} (U)} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {1, p} (U)}}

где константа $С$ теперь зависит от $п, р$ и $U$ . Этот вариант неравенства следует из предыдущего при применении сохраняющего норму расширения $W 1, p (U)$ на $W 1, p (R n)$ . Неравенство названо в честь Чарльза Б. Морри-младшего.

Общие соболевские неравенства

Пусть $U$ - ограниченное открытое подмножество $R n$ с границей $C 1$ . ( $U$ также может быть неограниченным, но в этом случае его граница, если она существует, должна быть достаточно хорошей.)

Предположим, что $u \in W k, p (U)$ . Затем мы рассматриваем два случая:

$к < п / р$

В этом случае заключаем, что $u \in L q (U)$ , где

{\ displaystyle {\ frac {1} {q}} = {\ frac {1} {p}} - {\ frac {k} {n}}.}

Кроме того, у нас есть оценка

{\ Displaystyle \ | и \ | _ {L ^ {q} (U)} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {k, p} (U)}}

,

константа $С$ , зависящая только от $к, р, п$ и $U$ .

$k > n / p$

Здесь мы заключаем, что $u$ принадлежит пространству Гёльдера , точнее:

{\ displaystyle u \ in C ^ {k- \ left [{\ frac {n} {p}} \ right] -1, \ gamma} (U),}

куда

{\ displaystyle \ gamma = {\ begin {case} \ left [{\ frac {n} {p}} \ right] +1 - {\ frac {n} {p}} & {\ frac {n} {p }} \ notin \ mathbf {Z} \\ {\ text {любой элемент в}} (0,1) & {\ frac {n} {p}} \ in \ mathbf {Z} \ end {cases}}}

Кроме того, у нас есть оценка

{\ Displaystyle \ | U \ | _ {C ^ {k- \ left [{\ frac {n} {p}} \ right] -1, \ gamma} (U)} \ leq C \ | u \ | _ {W ^ {k, p} (U)},}

константа $С$ , зависящая только от $к, р, п, Г$ и $U$ . В частности, условие гарантирует непрерывность (и фактически непрерывность Гёльдера с некоторым положительным показателем). ${\ displaystyle k> n / p}$ ${\ displaystyle u}$

Случай ${\ Displaystyle р = п, к = 1}$

Если , то

u

является функцией ограниченного среднего колебания и

{\ Displaystyle и \ в W ^ {1, n} (\ mathbf {R} ^ {n})}

{\ Displaystyle \ | и \ | _ {BMO} \ leq C \ | Du \ | _ {L ^ {n} (\ mathbf {R} ^ {n})},}

для некоторой константы $C,$ зависящей только от $n$ . Эта оценка является следствием неравенства Пуанкаре .

Неравенство Нэша

Неравенство Нэша, введенное Джоном Нэшем ( 1958 ), утверждает, что существует постоянная $C > 0$ такая, что для всех $u \in L 1 (R n) \cap W 1,2 (R n)$ ,

{\ Displaystyle \ | и \ | _ {L ^ {2} (\ mathbf {R} ^ {n})} ^ {1 + 2 / n} \ Leq C \ | u \ | _ {L ^ {1} (\ mathbf {R} ^ {n})} ^ {2 / n} \ | Du \ | _ {L ^ {2} (\ mathbf {R} ^ {n})}.}.

Неравенство следует из основных свойств преобразования Фурье . Действительно, интегрируя по дополнению к шару радиуса $ρ$ ,

{\ displaystyle \ int _ {| x | \ geq \ rho} \ left | {\ hat {u}} (x) \ right | ^ {2} \, dx \ leq \ int _ {| x | \ geq \ rho} {\ frac {| x | ^ {2}} {\ rho ^ {2}}} \ left | {\ hat {u}} (x) \ right | ^ {2} \, dx \ leq \ rho ^ {- 2} \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} | Du | ^ {2} \, dx}

( 1 )

потому что . С другой стороны, есть ${\ Displaystyle 1 \ Leq | х | ^ {2} / \ rho ^ {2}}$

{\ Displaystyle | {\ шляпа {u}} | \ leq \ | u \ | _ {L ^ {1}}}

что при интегрировании по шару радиуса $ρ$ дает

{\ displaystyle \ int _ {| x | \ leq \ rho} | {\ hat {u}} (x) | ^ {2} \, dx \ leq \ rho ^ {n} \ omega _ {n} \ | и \ | _ {L ^ {1}} ^ {2}}

( 2 )

где $ω n$ - объем $n$ -го шара . Выбирая $ρ,$ чтобы минимизировать сумму ( 1 ) и ( 2 ), и применяя теорему Парсеваля:

{\ displaystyle \ | {\ hat {u}} \ | _ {L ^ {2}} = \ | u \ | _ {L ^ {2}}}

дает неравенство.

В частном случае $n = 1$ неравенство Нэша может быть распространено на случай $L p$ , и в этом случае оно является обобщением неравенства Гальярдо -Ниренберга-Соболева (

Brezis 2011 , комментарии к главе 8). Фактически, если

I

- ограниченный интервал, то для всех

1 \leq r <\infty

и всех

1 \leq q \leq p <\infty

выполняется неравенство

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {p} (I)} \ leq C \ | u \ | _ {L ^ {q} (I)} ^ {1-a} \ | u \ | _ {W ^ {1, r} (I)} ^ {a},}

куда:

{\ displaystyle a \ left ({\ frac {1} {q}} - {\ frac {1} {r}} + 1 \ right) = {\ frac {1} {q}} - {\ frac {1 }{п}}.}

Логарифмическое неравенство Соболева

Простейшая из теорем вложения Соболева, описанная выше, утверждает, что если функция в имеет одну производную в , то сама находится в , где ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle L ^ {p ^ {*}}}$

{\ displaystyle 1 / p ^ {*} = 1 / p-1 / n.}

Мы видим, что, как стремится к бесконечности, приближается . Таким образом, если размерность пространства, в котором определяется, велика, улучшение локального поведения от наличия производной в является небольшим ( лишь немного больше, чем ). В частности, для функций в бесконечномерном пространстве мы не можем ожидать прямого аналога классических теорем вложения Соболева. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle p ^ {*}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ displaystyle p ^ {*}}$ ${\ displaystyle p}$

Однако существует тип неравенства Соболева, установленный Леонардом Гроссом ( Gross, 1975 ) и известный как логарифмическое неравенство Соболева , которое имеет не зависящие от размерности константы и, следовательно, продолжает выполняться в бесконечномерном контексте. Логарифмическое неравенство Соболева примерно говорит о том, что если функция находится в относительно гауссовской меры и имеет одну производную, которая также находится в , то находится в « -log», что означает, что интеграл от конечен. Неравенство, выражающее этот факт, имеет константы, которые не включают размерность пространства, и, таким образом, неравенство выполняется в случае гауссовской меры на бесконечномерном пространстве. Теперь известно, что логарифмические неравенства Соболева справедливы для многих различных типов мер, а не только для гауссовских мер. ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ displaystyle | f | ^ {p} \ log | f |}$

Хотя может показаться, что условие -log является очень небольшим улучшением по сравнению с состоянием внутри , этого улучшения достаточно для получения важного результата, а именно гиперсжимаемости для связанного оператора

формы Дирихле . Этот результат означает, что если функция находится в диапазоне экспоненты оператора формы Дирихле - что означает, что функция имеет в некотором смысле бесконечно много производных по - то функция действительно принадлежит для некоторых ( Gross 1975, теорема 6) .

{\ Displaystyle L ^ {p}}

{\ Displaystyle L ^ {p}}

{\ Displaystyle L ^ {p}}

{\ displaystyle L ^ {p ^ {*}}}

{\ displaystyle p ^ {*}> p}

использованная литература

Адамс, Роберт А. (1975), Пространства Соболева , Чистая и прикладная математика, 65 , Academic Press, ISBN 978-0-12-044150-1, Руководство по ремонту 0450957.
Обен, Тьерри (1976), "Espaces de Sobolev sur les Varétés riemanniennes", Bulletin des Sciences Mathématiques , 2e Série, 100 (2): 149–173, MR 0488125
Обен, Тьерри (1982), Нелинейный анализ на многообразиях. Уравнения Монжа-Ампера , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], 252 , Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-5734-9 , ISBN 978-0-387-90704-8, MR 0681859.
Брезис, Хайм (1983), Analyze Fonctionnelle: théorie et applications , Paris: Masson , ISBN 0-8218-0772-2
Брезис, Хайм (2011), Функциональный анализ, Соболевские пространства и уравнения с частными производными , Springer Science & Business Media , ISBN 978-0-387-70913-0
Эванс, Лоуренс (1998), уравнения в частных производных , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0772-2
Гросс, Леонард (1975), "неравенство логарифмической Соболева", Американский журнал математика , 97 (4): 1061-1083, DOI : 10,2307 / 2373688 , JSTOR 2373688
Леони, Джованни (2009), Первый курс по пространствам Соболева , Аспирантура по математике, Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4768-8 MR 2527916 , Zbl 1180.46001 , обзор MAA
Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , ряды Спрингера в советской математике, Springer-Verlag, Перевод с русского Т.О. Шапошниковой.
Nash, J. (1958), "Непрерывность решений параболических и эллиптических уравнений", Американский журнал математики , 80 (4): 931-954, DOI : 10,2307 / 2372841 , ЛВП : 10338.dmlcz / 101876 , JSTOR 2372841.
Некас, Дж. (2012), Прямые методы в теории эллиптических уравнений , Монографии Спрингера по математике.
Никольский С.М. (2001) [1994], "Теоремы вложения" , Энциклопедия математики , EMS Press
Шикорра, Армин; Спектор, Дэниел; Ван Шафтинген, Жан (2017), «Оценка типа An для потенциалов Рисса»,

Revista Matemática Iberoamericana , 33 (1): 291–304, arXiv : 1411.2318 , doi : 10.4171 / rmi / 937 , S2CID 55497245

{\ displaystyle L ^ {1}}

Штейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-08079-8

Languages

In other projects

Неравенство Соболева - Sobolev inequality

СОДЕРЖАНИЕ