Набор Смита – Вольтерры – Кантора - Smith–Volterra–Cantor set

После удаления черных интервалов оставшиеся белые точки представляют собой нигде не плотный набор меры 1/2.

В математике , то Смит-Вольтерровский канторово множество ( SVC ), жир множество Кантора или ε-канторово множество является примером множества точек на вещественном прямом ℝ , что не является нигде не плотным (в частности , она не содержит интервалов ), пока имеет положительную меру . Набор Смит – Вольтерра – Кантора назван в честь математиков Генри Смита , Вито Вольтерры и Георга Кантора . В статье 1875 года Смит обсуждал нигде не плотное множество положительной меры на вещественной прямой, а Вольтерра представил аналогичный пример в 1881 году. Канторовское множество, которое мы знаем сегодня, последовало в 1883 году. Множество Смита – Вольтерра – Кантора топологически эквивалентны в средней трети Cantor множество .

Строительство

Подобно построению множества Кантора, множество Смита – Вольтерры – Кантора строится путем удаления определенных интервалов из единичного интервала [0, 1].

Процесс начинается с удаления средней 1/4 из интервала [0, 1] (так же, как удаление 1/8 по обе стороны от средней точки в 1/2), поэтому оставшийся набор равен

${\ displaystyle \ left [0, {\ frac {3} {8}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {5} {8}}, 1 \ right].}$

Следующие шаги состоят в удалении подынтервалов шириной 1/4 ⁿ из середины каждого из 2 ^{n −1} оставшихся интервалов. Итак, для второго шага интервалы (5/32, 7/32) и (25/32, 27/32) удаляются, оставляя

${\ displaystyle \ left [0, {\ frac {5} {32}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {7} {32}}, {\ frac {3} {8}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {5} {8}}, {\ frac {25} {32}} \ right] \ cup \ left [{\ frac {27} {32}}, 1 \ right]. }$

Если продолжать до бесконечности с этим удалением, то множество Смита – Вольтерры – Кантора представляет собой набор точек, которые никогда не удаляются. На изображении ниже показан начальный набор и пять итераций этого процесса.

Каждая последующая итерация в конструкции множества Смита – Вольтерра – Кантора удаляет пропорционально меньше из оставшихся интервалов. Это контрастирует с набором Кантора , где доля, удаленная из каждого интервала, остается постоянной. Таким образом, первая имеет положительную меру, а вторая - нулевую.

Характеристики

По построению множество Смита – Вольтерра – Кантора не содержит интервалов и, следовательно, имеет пустую внутренность. Это также пересечение последовательности замкнутых множеств , что означает, что она замкнута. При этом интервалы общей длины

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {n}} {2 ^ {2n + 2}}} = {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {16}} + \ cdots = {\ frac {1} {2}} \,}$

удалены из [0, 1], показывая, что множество оставшихся точек имеет положительную меру 1/2. Это делает набор Смита – Вольтерры – Кантора примером замкнутого множества, граница которого имеет положительную меру Лебега .

Другие наборы Fat Cantor

В общем, можно удалить из каждого оставшегося подынтервала на ^-м шаге алгоритма и получить канторовский набор. Результирующий набор будет иметь положительную меру тогда и только тогда, когда сумма последовательности меньше меры начального интервала. Например, предположим , что средние интервалы длины удаляются из каждого ^й итерации, для некоторых . Тогда полученное множество имеет меру Лебега ${\ displaystyle r_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle а ^ {п}}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 0 \ leq a \ leq {\ dfrac {1} {3}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} 1- \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} a ^ {n + 1} & = 1-a \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (2a) ^ {n} \\ & = 1-a {\ dfrac {1} {1-2a}} \\ & = {\ dfrac {1-3a} {1-2a}} \ end {выровнено}}}$

который идет от до как идет от до . ( невозможно в этой конструкции.) ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle 1/3}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle a> 1/3}$

Декартовы произведения множеств Смита – Вольтерра – Кантора можно использовать для поиска полностью несвязных множеств в более высоких размерностях с ненулевой мерой. Применяя теорему Данжуа – Рисса к двумерному множеству этого типа, можно найти кривую Осгуда , жорданову кривую , у которой точки на кривой имеют положительную площадь.

Смотрите также

• SVC используется при построении функции Вольтерры (см. Внешнюю ссылку).
• SVC является примером компактного множества , которое не является измеримым по Жордану, см. Мера Жордана # Расширение на более сложные множества .
• Функция индикатора ВПВ является примером ограниченной функции , которая не является Риману на (0,1) и , кроме того, не равен почти всюду к интегрируемой функции Римана, см интеграл Римана # Примеры .

использованная литература

Источники

• Брессуд, Дэвид Мариус (2003). Борьба с фундаментальной теоремой исчисления: функция Вольтерры , доклад Давида Мариуса Брессуда
• Смит, Генри JS (1874). « Об интегрировании разрывных функций ». Труды Лондонского математического общества. Первая серия. 6: 140–153