Симплициальное коммутативное кольцо - Simplicial commutative ring

В алгебре , А симплициальное коммутативное кольцо является коммутативным моноидом в категории из симплициальных абелевых групп , или, что эквивалентно, симплициальный объект в категории коммутативных колец . Если A - симплициальное коммутативное кольцо, то можно показать, что оно является кольцом и являются модулями над этим кольцом (фактически, является градуированным кольцом над .)

Топология -counterpart этого понятия является коммутативным кольцом спектра .

Примеры

Градуированная кольцевая структура

Пусть A - симплициальное коммутативное кольцо. Тогда кольцевая структура кольца A дает структуру градуированно-коммутативного градуированного кольца следующим образом.

По соответствию Дольда – Кана , - гомологии цепного комплекса, соответствующего A ; в частности, это градуированная абелева группа. Далее, чтобы перемножить два элемента, написав для симплициального круга , пусть будет две карты. Тогда композиция

,

вторая карта умножение A , индуцирует . Это, в свою очередь, дает элемент . Таким образом, мы определили градуированное умножение . Он ассоциативен, потому что такой продукт - это громкий товар. Он является градуированно-коммутативным (т. Е. ), Поскольку инволюция вводит знак минус.

Если M - симплициальный модуль над A (то есть M - симплициальная абелева группа с действием A ), то аналогичные рассуждения показывают, что она имеет структуру градуированного модуля над (см. Спектр модулей ).

Спецификация

По определению категория аффинных производных схем является противоположной категорией категории симплициальных коммутативных колец; объект, соответствующий A, будет обозначаться .

Смотрите также

использованная литература