Шестическое уравнение - Sextic equation

График шестнадцатеричной функции с 6 действительными корнями (пересечениями оси x ) и 5 критическими точками . В зависимости от количества и вертикального расположения минимумов и максимумов секстик может иметь 6, 4, 2 или не иметь реальных корней. Количество комплексных корней равно 6 минус количество действительных корней.

В алгебре , секстика (или Hexic ) многочлен является многочленом от степени шесть. Секстика уравнение представляет собой полиномиальное уравнение степени шесть-то есть, уравнение , левая сторона является секстика многочлен, у которого правая сторона равна нулю. Точнее, имеет вид:

где a ≠ 0, а коэффициенты a , b , c , d , e , f , g могут быть целыми числами , рациональными числами , действительными числами , комплексными числами или, в более общем смысле, членами любого поля .

Секстика функция является функцией определяется секстике полинома. Поскольку они имеют четную степень, шестнадцатеричные функции кажутся похожими на четвертые при отображении на графике, за исключением того, что каждая из них может иметь дополнительный локальный максимум и локальный минимум. Производная из секстики функции является квинтиком функции .

Поскольку секстическая функция определяется полиномом с четной степенью, она имеет тот же бесконечный предел, когда аргумент переходит в положительную или отрицательную бесконечность . Если старший коэффициент a положителен, функция возрастает до положительной бесконечности с обеих сторон и, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Точно так же, если a отрицательно, секстическая функция уменьшается до отрицательной бесконечности и имеет глобальный максимум.

Решаемые секстики

Некоторые уравнения шестой степени, такие как ax 6 + dx 3 + g = 0 , могут быть решены путем разложения в радикалы, но другие sextics не могут. Эварист Галуа разработал методы определения того, можно ли решить данное уравнение с помощью радикалов, которые положили начало теории Галуа .

Из теории Галуа следует, что шестое уравнение разрешимо в терминах радикалов тогда и только тогда, когда его группа Галуа содержится либо в группе порядка 48, которая стабилизирует разбиение множества корней на три подмножества из двух корней, либо в группа порядка 72, которая стабилизирует разбиение множества корней на два подмножества по три корня.

Существуют формулы для проверки любого случая, и, если уравнение разрешимо, вычисляют корни в терминах радикалов.

Общее шестнадцатеричное уравнение может быть решено в терминах функций Кампе де Ферие . Более ограниченный класс секстиков может быть решен в терминах обобщенных гипергеометрических функций от одной переменной, используя подход Феликса Клейна к решению уравнения пятой степени .

Примеры

Кривая Ватта , возникшая в контексте ранних работ над паровой машиной , представляет собой секстику двух переменных.

Один метод решения кубического уравнения включает преобразование переменных для получения шестого уравнения, имеющего члены только степеней 6, 3 и 0, которое может быть решено как квадратное уравнение в кубе переменной.

Этимология

Описатель «sextic» происходит от латинского корня для 6 или 6-го («sex-t-») и греческого суффикса, означающего «относящийся к» («-ic»). Гораздо менее распространенное слово «гексик» использует греческий как для основы ( hex- 6), так и для суффикса ( -ik- ). В обоих случаях префикс указывает на степень функции. Часто такие функции называют просто «функциями 6-й степени».

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ a b c Mathworld - Шестическое уравнение
  2. ^ Т. Р. Хагедорн, Общие формулы для решения разрешимых шестнадцатеричных уравнений , J. Algebra 233 (2000), 704-757