Септическое уравнение - Septic equation

График многочлена степени 7 с 7 действительными корнями (пересечениями оси x ) и 6 критическими точками . В зависимости от количества и вертикального расположения минимумов и максимумов септик может иметь 7, 5, 3 или 1 действительный корень с учетом их множественности; количество сложных нереальных корней равно 7 минус количество действительных корней.

В алгебре , А уравнение септического является уравнением вида

где a ≠ 0 .

Функция септического является функцией вида

где a ≠ 0 . Другими словами, это многочлен от степени семь. Если a = 0 , то f является секстической функцией ( b ≠ 0 ), пятой функцией ( b = 0, c 0 ) и т. Д.

Уравнение можно получить из функции, установив f ( x ) = 0 .

Эти коэффициенты , Ь , с , д , е , е , г , ч могут быть либо целые числа , рациональные числа , действительные числа , комплексные числа или, в более общем случае , члены любой области .

Поскольку они имеют нечетную степень, септические функции при отображении на графике кажутся похожими на пятую или кубическую , за исключением того, что они могут иметь дополнительные локальные максимумы и локальные минимумы (до трех максимумов и трех минимумов). Производная функции септической является секстикой функции .

Решаемые септики

Некоторые уравнения седьмой степени можно решить , разложив на радикалы , но другие септики - нет. Эварист Галуа разработал методы определения того, можно ли решить данное уравнение с помощью радикалов, которые положили начало теории Галуа . Приведем пример неприводимого но решаемой септик, можно обобщить разрешима Муавра квинтика получить,

,

где вспомогательное уравнение

.

Это означает, что септик получается путем исключения u и v между x = u + v , uv + α = 0 и u 7 + v 7 + β = 0 .

Отсюда следует, что семь корней септика даны

где ω k - любой из семи седьмых корней из единицы . Группа Галуа этого септика является максимальной разрешимой группой порядка 42. Ее легко обобщить на любые другие степени k , не обязательно простые.

Другая разрешимая семья:

члены которой появляются в базе данных числовых полей Клунера . Его дискриминант является

Группа Галуа этих септиков является диэдральной группой порядка 14.

Общее септическое уравнение можно решить с помощью переменных или симметричных групп Галуа A 7 или S 7 . Такие уравнения требуют гиперэллиптических функций и связанных с ними тета - функций из рода 3 для их решения. Однако математики девятнадцатого века, изучающие решения алгебраических уравнений, специально не изучали эти уравнения, потому что решения этих уравнений уже были на пределе своих вычислительных возможностей без компьютеров.

Септики - это уравнения самого низкого порядка, для которых неочевидно, что их решения могут быть получены путем наложения непрерывных функций двух переменных. 13-я проблема Гильберта заключалась в предположении, что это невозможно в общем случае для уравнений седьмой степени. Владимир Арнольд решил эту проблему в 1957 году, продемонстрировав, что это всегда возможно. Однако сам Арнольд считал настоящую проблему Гильберта в том, могут ли септики их решения быть получены путем наложения алгебраических функций двух переменных (проблема все еще остается открытой).

Группы Галуа

Септическое уравнение для квадрата площади циклического пятиугольника или шестиугольника

Квадрат площади циклического пятиугольника является корнем септического уравнения, коэффициенты которого являются симметричными функциями сторон пятиугольника. То же самое и с квадратом площади циклического шестиугольника .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ a b c d e f Р. Брюс Кинг (16 января 2009 г.), Помимо уравнения четвертой степени, Birkhaüser, p. 143 и 144, ISBN 9780817648497
  2. ^ Васко Brattka (13 сентября 2007), "Суперпозиция теорема Колмогорова" , наследие А. Н. Колмогорова в области математики , Springer, ISBN 9783540363514
  3. ^ В.И. Арнольд, От проблемы суперпозиции Гильберта к динамическим системам , с. 4
  4. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Циклический Пентагон». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. [1]
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Циклический шестиугольник». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. [2]