Отделимая алгебра - Separable algebra
В математике сепарабельная алгебра - это разновидность полупростой алгебры . Это обобщение на ассоциативные алгебры понятия сепарабельного расширения поля .
Определение и первые свойства
Кольцевой гомоморфизм (из унитальных, но не обязательно коммутативных колец )
называется сепарабельным (или сепарабельным расширением ), если отображение умножения
допускает раздел
с помощью гомоморфизма σ A - A - бимодулей . Такое сечение σ определяется его величиной
σ (1). Условие того, что σ является сечением μ, эквивалентно
и условие гомоморфизма A - A -бимодулей эквивалентно следующему требованию для любого a из A :
Такой элемент p называется идемпотентом отделимости , поскольку он удовлетворяет .
Примеры
Для любого коммутативного кольца R , то (некоммутативное) кольцо п матрицы с размерностью п матриц является разъемными R - алгеброй. Для любого идемпотент отделимости задается выражением , где обозначает элементарную матрицу, равную 0, за исключением записи в позиции ( i , j ), которая равна 1. В частности, это показывает, что идемпотенты отделимости не обязательно должны быть уникальными.
Сепарабельные алгебры над полем
Если - расширение поля , то L сепарабельна как ассоциативная K -алгебра тогда и только тогда, когда расширение полей сепарабельно . Если L / K имеет примитивный элемент с неприводимым многочленом , то идемпотент отделимости задается формулой . Тензораенды являются двойственными базами для отображения следа: если различные K -мономорфизмы L в алгебраическое замыкание K , отображение следа Tr из L в K определяется как . Отображение следа и его двойственные базисы делают явный L как алгебру Фробениуса над К.
В более общем смысле , разъемные алгебры над полем K можно классифицировать следующим образом : они такие же , как конечных продуктов матричных алгебр над конечномерных алгебр с делением , центры которых конечномерных разъемные расширения поля из поля K . В частности: каждая сепарабельная алгебра конечномерна. Если K - совершенное поле, например поле нулевой характеристики, конечное поле или алгебраически замкнутое поле, то каждое расширение K сепарабельно, так что сепарабельные K -алгебры являются конечными произведениями матричных алгебр над конечномерная алгебра с делением над полем K . Другими слова, если K является идеальным полем, нет никакой разницы между сепарабелъной алгеброй над K и конечномерной полупростой алгеброй над K . С помощью обобщенной теоремы Машке можно показать, что ассоциативная K -алгебра A сепарабельна, если для любого расширения поля алгебра полупроста.
Групповые кольца
Если К коммутативен кольцо и G является конечной группой таким образом, что порядок из G обратит в K , то групповое кольцо К [ G ] является разъемными К - алгеброй. Идемпотент отделимости задается формулой .
Эквивалентные характеристики отделимости
Есть несколько эквивалентных определений сепарабельных алгебр. A K - алгебру отделима тогда и только тогда , когда оно является проективным , если рассматривать в качестве левого модуля обычным способом. Более того, алгебра A сепарабельна тогда и только тогда, когда она является плоской, если рассматривать ее как правый модуль обычным образом. Отделимые расширения также могут быть охарактеризованы с помощью расширений расщепленных: сепарабелен над K , если все короткие точные последовательности из A - A -bimodules, которые разделены , как A - K -bimodules также расколоть А - -bimodules. В самом деле, это условие необходимо, поскольку отображение умножения, возникающее в приведенном выше определении, является A - A -бимодульным эпиморфизмом, который расщепляется как A - K -бимодульное отображение правым обратным отображением, задаваемым формулой . Обратное можно доказать, разумно используя идемпотент отделимости (аналогично доказательству теоремы Машке , применяя его компоненты внутри и без отображений расщепления).
Эквивалентно, относительные группы когомологий Хохшильда (R, S) в любом бимодуле коэффициентов M равны нулю при n > 0. Примеры сепарабельных расширений многочисленны, включая первые сепарабельные алгебры, где R = отделимая алгебра и S = 1, умноженное на основное поле. Любое кольцо R с элементами a и b, удовлетворяющими условию ab = 1, но ba, отличному от 1, является отделимым расширением над подкольцом S, порожденным 1 и bRa.
Связь с алгебрами Фробениуса
Сепарабельная алгебра называется сильно сепарабельной, если существует идемпотент сепарабельности, который является симметричным , что означает
Алгебра сильно отделима тогда и только тогда, когда ее следовая форма невырождена, что превращает ее в особый вид алгебры Фробениуса, называемый симметричной алгеброй (не путать с симметрической алгеброй, возникающей как фактор тензорной алгебры ).
Если K коммутативен, A - конечно порожденный проективный сепарабельный K -модуль, то A - симметрическая алгебра Фробениуса.
Отношение к формально неразветвленным и формально этальным расширениям
Любое сепарабельное расширение A / K коммутативных колец формально неразветвлено . Обратное верно, если A конечно порожденная K -алгебра. Сепарабельные плоский (коммутативный) K - алгебры является формально этальны .
Дальнейшие результаты
В этой области есть теорема Дж. Куадры о том, что сепарабельное расширение Хопфа-Галуа R | S имеет конечно порожденный естественный S-модуль R. Фундаментальный факт о сепарабельном расширении R | S заключается в том, что это левое или правое полупростое расширение: короткая точная последовательность левых или правых R-модулей, которая разбивается как S-модули, разбивается как R-модули. В терминах относительной гомологической алгебры Г. Хохшильда говорят, что все R-модули являются относительными (R, S) -проективными. Обычно относительные свойства подкольц или расширений кольца, такие как понятие отделимого расширения, служат для продвижения теорем, которые говорят, что надкольцо разделяет свойство подкольца. Например, сепарабельное расширение R полупростой алгебры S имеет R полупростое, что следует из предыдущего обсуждения.
Существует знаменитая теорема Янса о том, что конечная групповая алгебра A над полем характеристики p имеет тип конечного представления тогда и только тогда, когда ее силовская p-подгруппа является циклической: самое ясное доказательство - отметить этот факт для p-групп, а затем отметить что групповая алгебра является сепарабельным расширением своей силовской p-подгрупповой алгебры B, поскольку индекс взаимно прост с характеристикой. Условие отделимости выше будет означать, что каждый конечно порожденный A-модуль M изоморфен прямому слагаемому в своем ограниченном индуцированном модуле. Но если B имеет конечный тип представления, ограниченный модуль однозначно является прямой суммой кратных конечного числа неразложимых, которые индуцируют конечное число составляющих неразложимых модулей, прямой суммой которых является M. Следовательно, A имеет тип конечного представления, если B. Обратное доказывается аналогичным рассуждением, в котором отмечается, что каждая подгрупповая алгебра B является B-бимодульным прямым слагаемым групповой алгебры A.
Ссылки
- DeMeyer, F .; Ингрэм, Э. (1971). Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами . Конспект лекций по математике. 181 . Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05371-2. Zbl 0215.36602 .
- Самуэль Эйленберг и Тадаси Накаяма, О размерности модулей и алгебр. II. Алгебры Фробениуса и квазифробениусовы кольца , Nagoya Math. J. Том 9 (1955), 1-16.
- Эндо, Шизуо; Ватанабэ, Ютака (1967), "О сепарабельных алгебрах над коммутативным кольцом" , Osaka Journal of Mathematics , 4 : 233–242, MR 0227211
- Форд, Тимоти Дж. (2017), Separable algebras , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-3770-1, MR 3618889
- Hirata, H .; Sugano, K. (1966), "О полупростых и сепарабельных расширениях некоммутативных колец", J. Math. Soc. Япония , 18 : 360–373.
- Кадисона, Ларс (1999), Новые примеры фробениусовых расширений , Университет Серия лекций, 14 , Providence, RI: Американское математическое общество, DOI : 10,1090 / ulect / 014 , ISBN 0-8218-1962-3, Руководство по ремонту 1690111
- Райнер И. (2003), Максимальные порядки , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, 28 , Oxford University Press , ISBN 0-19-852673-3, Zbl 1024,16008
- Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту 1269324 . OCLC 36131259 .