Отделимая алгебра - Separable algebra

В математике сепарабельная алгебра - это разновидность полупростой алгебры . Это обобщение на ассоциативные алгебры понятия сепарабельного расширения поля .

Определение и первые свойства

Кольцевой гомоморфизм (из унитальных, но не обязательно коммутативных колец )

называется сепарабельным (или сепарабельным расширением ), если отображение умножения

допускает раздел

с помощью гомоморфизма σ A - A - бимодулей . Такое сечение σ определяется его величиной

σ (1). Условие того, что σ является сечением μ, эквивалентно

и условие гомоморфизма A - A -бимодулей эквивалентно следующему требованию для любого a из A :

Такой элемент p называется идемпотентом отделимости , поскольку он удовлетворяет .

Примеры

Для любого коммутативного кольца R , то (некоммутативное) кольцо п матрицы с размерностью п матриц является разъемными R - алгеброй. Для любого идемпотент отделимости задается выражением , где обозначает элементарную матрицу, равную 0, за исключением записи в позиции ( i , j ), которая равна 1. В частности, это показывает, что идемпотенты отделимости не обязательно должны быть уникальными.

Сепарабельные алгебры над полем

Если - расширение поля , то L сепарабельна как ассоциативная K -алгебра тогда и только тогда, когда расширение полей сепарабельно . Если L / K имеет примитивный элемент с неприводимым многочленом , то идемпотент отделимости задается формулой . Тензораенды являются двойственными базами для отображения следа: если различные K -мономорфизмы L в алгебраическое замыкание K , отображение следа Tr из L в K определяется как . Отображение следа и его двойственные базисы делают явный L как алгебру Фробениуса над К.

В более общем смысле , разъемные алгебры над полем K можно классифицировать следующим образом : они такие же , как конечных продуктов матричных алгебр над конечномерных алгебр с делением , центры которых конечномерных разъемные расширения поля из поля K . В частности: каждая сепарабельная алгебра конечномерна. Если K - совершенное поле, например поле нулевой характеристики, конечное поле или алгебраически замкнутое поле, то каждое расширение K сепарабельно, так что сепарабельные K -алгебры являются конечными произведениями матричных алгебр над конечномерная алгебра с делением над полем K . Другими слова, если K является идеальным полем, нет никакой разницы между сепарабелъной алгеброй над K и конечномерной полупростой алгеброй над K . С помощью обобщенной теоремы Машке можно показать, что ассоциативная K -алгебра A сепарабельна, если для любого расширения поля алгебра полупроста.

Групповые кольца

Если К коммутативен кольцо и G является конечной группой таким образом, что порядок из G обратит в K , то групповое кольцо К [ G ] является разъемными К - алгеброй. Идемпотент отделимости задается формулой .

Эквивалентные характеристики отделимости

Есть несколько эквивалентных определений сепарабельных алгебр. A K - алгебру отделима тогда и только тогда , когда оно является проективным , если рассматривать в качестве левого модуля обычным способом. Более того, алгебра A сепарабельна тогда и только тогда, когда она является плоской, если рассматривать ее как правый модуль обычным образом. Отделимые расширения также могут быть охарактеризованы с помощью расширений расщепленных: сепарабелен над K , если все короткие точные последовательности из A - A -bimodules, которые разделены , как A - K -bimodules также расколоть А - -bimodules. В самом деле, это условие необходимо, поскольку отображение умножения, возникающее в приведенном выше определении, является A - A -бимодульным эпиморфизмом, который расщепляется как A - K -бимодульное отображение правым обратным отображением, задаваемым формулой . Обратное можно доказать, разумно используя идемпотент отделимости (аналогично доказательству теоремы Машке , применяя его компоненты внутри и без отображений расщепления).

Эквивалентно, относительные группы когомологий Хохшильда (R, S) в любом бимодуле коэффициентов M равны нулю при n > 0. Примеры сепарабельных расширений многочисленны, включая первые сепарабельные алгебры, где R = отделимая алгебра и S = ​​1, умноженное на основное поле. Любое кольцо R с элементами a и b, удовлетворяющими условию ab = 1, но ba, отличному от 1, является отделимым расширением над подкольцом S, порожденным 1 и bRa.

Связь с алгебрами Фробениуса

Сепарабельная алгебра называется сильно сепарабельной, если существует идемпотент сепарабельности, который является симметричным , что означает

Алгебра сильно отделима тогда и только тогда, когда ее следовая форма невырождена, что превращает ее в особый вид алгебры Фробениуса, называемый симметричной алгеброй (не путать с симметрической алгеброй, возникающей как фактор тензорной алгебры ).

Если K коммутативен, A - конечно порожденный проективный сепарабельный K -модуль, то A - симметрическая алгебра Фробениуса.

Отношение к формально неразветвленным и формально этальным расширениям

Любое сепарабельное расширение A / K коммутативных колец формально неразветвлено . Обратное верно, если A конечно порожденная K -алгебра. Сепарабельные плоский (коммутативный) K - алгебры является формально этальны .

Дальнейшие результаты

В этой области есть теорема Дж. Куадры о том, что сепарабельное расширение Хопфа-Галуа R | S имеет конечно порожденный естественный S-модуль R. Фундаментальный факт о сепарабельном расширении R | S заключается в том, что это левое или правое полупростое расширение: короткая точная последовательность левых или правых R-модулей, которая разбивается как S-модули, разбивается как R-модули. В терминах относительной гомологической алгебры Г. Хохшильда говорят, что все R-модули являются относительными (R, S) -проективными. Обычно относительные свойства подкольц или расширений кольца, такие как понятие отделимого расширения, служат для продвижения теорем, которые говорят, что надкольцо разделяет свойство подкольца. Например, сепарабельное расширение R полупростой алгебры S имеет R полупростое, что следует из предыдущего обсуждения.

Существует знаменитая теорема Янса о том, что конечная групповая алгебра A над полем характеристики p имеет тип конечного представления тогда и только тогда, когда ее силовская p-подгруппа является циклической: самое ясное доказательство - отметить этот факт для p-групп, а затем отметить что групповая алгебра является сепарабельным расширением своей силовской p-подгрупповой алгебры B, поскольку индекс взаимно прост с характеристикой. Условие отделимости выше будет означать, что каждый конечно порожденный A-модуль M изоморфен прямому слагаемому в своем ограниченном индуцированном модуле. Но если B имеет конечный тип представления, ограниченный модуль однозначно является прямой суммой кратных конечного числа неразложимых, которые индуцируют конечное число составляющих неразложимых модулей, прямой суммой которых является M. Следовательно, A имеет тип конечного представления, если B. Обратное доказывается аналогичным рассуждением, в котором отмечается, что каждая подгрупповая алгебра B является B-бимодульным прямым слагаемым групповой алгебры A.

Ссылки

  • DeMeyer, F .; Ингрэм, Э. (1971). Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами . Конспект лекций по математике. 181 . Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05371-2. Zbl  0215.36602 .
  • Самуэль Эйленберг и Тадаси Накаяма, О размерности модулей и алгебр. II. Алгебры Фробениуса и квазифробениусовы кольца , Nagoya Math. J. Том 9 (1955), 1-16.
  • Эндо, Шизуо; Ватанабэ, Ютака (1967), "О сепарабельных алгебрах над коммутативным кольцом" , Osaka Journal of Mathematics , 4 : 233–242, MR  0227211
  • Форд, Тимоти Дж. (2017), Separable algebras , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-3770-1, MR  3618889
  • Hirata, H .; Sugano, K. (1966), "О полупростых и сепарабельных расширениях некоммутативных колец", J. Math. Soc. Япония , 18 : 360–373.