Полуэмпирическая формула массы - Semi-empirical mass formula

В ядерной физике , то формула полуэмпирическая массы ( SEMF ) (иногда также называют формулу Вейцзекер , формулу Бети-Вейцзекер или массовую формулу Бети-Вейцзекер , чтобы отличить его от процесса Беты-Вайцзеккер ) используются для аппроксимации массы и различной другие свойства атомного ядра по количеству протонов и нейтронов . Как следует из названия, он частично основан на теории и частично на эмпирических измерениях. Формула представляет собой модель жидкой капли, предложенную Джорджем Гамовым , которая может учитывать большинство членов формулы и дает приблизительные оценки значений коэффициентов. Впервые она была сформулирована в 1935 году немецким физиком Карлом Фридрихом фон Вайцзеккером, и, хотя на протяжении многих лет в коэффициенты вносились уточнения, структура формулы остается неизменной и сегодня.

Формула дает хорошее приближение для атомных масс и, следовательно, других эффектов. Однако он не может объяснить существование линий с большей энергией связи при определенном количестве протонов и нейтронов. Эти числа, известные как магические числа , являются основой модели ядерной оболочки .

Модель жидкой капли

Иллюстрация членов полуэмпирической формулы массы в жидко-капельной модели атомного ядра.

Модель жидкой капли была впервые предложена Джорджем Гамовым и в дальнейшем развита Нильсом Бором и Джоном Арчибальдом Уилером . Он рассматривает ядро как каплю несжимаемой жидкости очень высокой плотности, удерживаемую ядерной силой (остаточный эффект сильной силы ), это похоже на структуру сферической жидкой капли. Хотя модель жидкой капли является грубой, она учитывает сферическую форму большинства ядер и дает грубое предсказание энергии связи.

Соответствующая массовая формула определяется исключительно количеством протонов и нейтронов, которые она содержит. Исходная формула Вайцзеккера определяет пять терминов:

  • Объемная энергия : когда совокупность нуклонов одинакового размера упаковывается в наименьший объем, каждый внутренний нуклон имеет определенное количество других нуклонов, контактирующих с ним. Итак, эта ядерная энергия пропорциональна объему.
  • Поверхностная энергия корректирует предыдущее предположение о том, что каждый нуклон взаимодействует с таким же числом других нуклонов. Этот член отрицательный и пропорционален площади поверхности и поэтому примерно эквивалентен поверхностному натяжению жидкости .
  • Кулоновская энергия , потенциальная энергия от каждой пары протонов. Поскольку это сила отталкивания, энергия связи уменьшается.
  • Энергия асимметрии (также называемая энергией Паули ), которая объясняет принцип исключения Паули . Неравное количество нейтронов и протонов подразумевает заполнение более высоких уровней энергии для одного типа частиц, в то время как более низкие уровни энергии остаются вакантными для другого типа.
  • Энергия пар , которая объясняет тенденцию возникновения пар протонов и пар нейтронов . Четное число частиц более стабильно, чем нечетное из-за спиновой связи .

Формула

Энергия связи на нуклон (в МэВ ) показана как функция числа нейтронов N и атомного номера Z, заданная полуэмпирической формулой массы. Пунктирная линия показывает нуклиды, обнаруженные экспериментально.
Разница между предсказанными энергиями и известными энергиями связи, выраженная в килоэлектронвольтах. Присутствующие явления можно объяснить другими тонкими терминами, но формула массы не может объяснить наличие линий, четко определяемых по острым пикам на контурах.

Масса атомного ядра для нейтронов , протонов и, следовательно, нуклонов определяется выражением

где и - масса покоя протона и нейтрона, соответственно, - энергия связи ядра. Полуэмпирическая формула массы утверждает, что энергия связи равна:

Срок равен либо нулю , либо , в зависимости от четности из и , где в течение некоторого показателя . Обратите внимание, что как , числитель термина можно переписать как .

Каждый из членов этой формулы имеет теоретическую основу. Коэффициенты , , , , и определяют эмпирически; хотя они могут быть получены из эксперимента, они обычно выводятся методом наименьших квадратов, соответствующих современным данным. Хотя обычно он выражается пятью основными терминами, существуют дополнительные термины для объяснения дополнительных явлений. Подобно тому, как изменение полиномиального соответствия изменит его коэффициенты, взаимодействие между этими коэффициентами по мере появления новых явлений является сложным; некоторые термины влияют друг на друга, тогда как термин в значительной степени независим.

Срок действия

Этот термин известен как термин объема . Объем ядра пропорционален A , поэтому этот член пропорционален объему, отсюда и название.

В основе этого термина лежит сильное ядерное взаимодействие . Сильное взаимодействие влияет как протоны и нейтроны, как и ожидалось, этот термин не зависит от Z . Поскольку количество пар, которые могут быть взяты из частиц A , можно ожидать, что член будет пропорционален . Однако сильное взаимодействие имеет очень ограниченный диапазон, и данный нуклон может сильно взаимодействовать только со своими ближайшими соседями и следующими ближайшими соседями. Следовательно, количество пар частиц, которые действительно взаимодействуют, примерно пропорционально A , что определяет форму объема.

Коэффициент меньше энергии связи, которой обладают нуклоны по отношению к своим соседям ( ), которая составляет порядка 40 МэВ . Это связано с тем, что чем больше количество нуклонов в ядре, тем больше их кинетическая энергия из-за принципа исключения Паули . Если один трактует ядро как ферми - шар из нуклонов , с равным числом протонов и нейтронов, то полная кинетическая энергия , с к энергии Ферми , которая по оценкам до 38 МэВ . Таким образом, ожидаемое значение в этой модели находится недалеко от измеренного значения.

Термин поверхности

Этот термин известен как поверхностный термин . Этот член, также основанный на сильной силе, является поправкой к члену объема.

Термин объема предполагает , что каждый нуклон взаимодействует с постоянным числом нуклонов, независимо от А . Хотя это почти верно для нуклонов глубоко внутри ядра, у этих нуклонов на поверхности ядра меньше ближайших соседей, что оправдывает эту поправку. Это также можно рассматривать как термин поверхностного натяжения , и действительно, подобный механизм создает поверхностное натяжение в жидкостях.

Если объем ядра пропорционален A , то радиус должен быть пропорционален, а площадь поверхности - . Это объясняет, почему поверхностный член пропорционален . Также можно сделать вывод, что он должен иметь такой же порядок величины, как .

Кулоновский член

Термин или известен как кулоновский или электростатический термин .

В основе этого термина лежит электростатическое отталкивание между протонами. В очень грубом приближении ядро ​​можно рассматривать как сферу с однородной плотностью заряда . Потенциальная энергия такого распределения заряда может быть показана

где Q - полный заряд, R - радиус сферы. Значение может быть приближено вычислено при помощи уравнения для расчета потенциальной энергии, используя эмпирический радиус ядра из и Q = Ze . Однако, поскольку электростатическое отталкивание будет существовать только для более чем одного протона, становится :

где теперь электростатическая кулоновская постоянная равна

.

Используя постоянную тонкой структуры , мы можем переписать значение :

где - постоянная тонкой структуры, - радиус ядра , равный примерно 1,25 фемтометра . - приведенная длина волны Комптона протона , - масса протона. Это дает приблизительное теоретическое значение 0,691 МэВ , недалеко от измеренного значения.

Срок асимметрии

Иллюстрация основы для асимметричного члена

Этот термин известен как термин асимметрии (или термин Паули ).

Теоретическое обоснование этого термина более сложное. Принцип исключения Паули гласит, что никакие два идентичных фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии в атоме. На данном уровне энергии для частиц доступно лишь конечное число квантовых состояний. В ядре это означает, что по мере «добавления» большего количества частиц эти частицы должны занимать более высокие энергетические уровни, увеличивая общую энергию ядра (и уменьшая энергию связи). Обратите внимание, что этот эффект основан не на каких-либо фундаментальных силах ( гравитационных , электромагнитных и т. Д.), А только на принципе исключения Паули.

Протоны и нейтроны, будучи разными типами частиц, находятся в разных квантовых состояниях. Можно представить себе два разных «пула» состояний, один для протонов, а другой для нейтронов. Теперь, например, если в ядре значительно больше нейтронов, чем протонов, некоторые из нейтронов будут иметь более высокую энергию, чем доступные состояния в протонном пуле. Если бы мы могли переместить некоторые частицы из нейтронного пула в протонный пул, другими словами, превратить некоторые нейтроны в протоны, мы бы значительно уменьшили энергию. Несбалансированность между числом протонов и нейтронов приводит к тому, что энергия оказывается выше, чем она должна быть для данного числа нуклонов . Это основа для термина асимметрии.

Фактическая форма члена асимметрии может быть снова получена путем моделирования ядра как шара Ферми протонов и нейтронов. Его полная кинетическая энергия составляет

где и - энергии Ферми протонов и нейтронов. Поскольку они пропорциональны и , соответственно, получаем

для некоторых постоянная C .

Ведущие члены в разложении по разности затем

В нулевом порядке разложения кинетическая энергия - это просто полная энергия Ферми, умноженная на . Таким образом мы получаем

Первый член вносит вклад в объемный член в полуэмпирической формуле массы, а второй член минус член асимметрии (помните, что кинетическая энергия вносит вклад в общую энергию связи с отрицательным знаком).

составляет 38 МэВ , поэтому вычисляя из приведенного выше уравнения, мы получаем только половину измеренного значения. Расхождение объясняется неточностью нашей модели: нуклоны фактически взаимодействуют друг с другом, а не равномерно распределены по ядру. Например, в оболочечной модели протон и нейтрон с перекрывающимися волновыми функциями будут иметь более сильное взаимодействие между собой и более сильную энергию связи. Это делает энергетически выгодным (т.е. имеющим более низкую энергию), чтобы протоны и нейтроны имели одинаковые квантовые числа (отличные от изоспина ), и, таким образом, увеличивали энергетические затраты на асимметрию между ними.

Термин асимметрия можно также понять интуитивно следующим образом. Он должен зависеть от абсолютной разницы , а форма должна быть простой и дифференцируемой , что важно для определенных приложений формулы. Кроме того, небольшие различия между Z и N не требуют больших затрат энергии. В знаменателе отражает тот факт , что данное различие является менее значимым для больших значений А .

Срок сопряжения

Величина члена спаривания в полной энергии связи для четно-четных и нечетно-нечетных ядер как функция массового числа. Показаны две посадки (синяя и красная линия). Термин спаривания (положительный для четно-четных и отрицательный для нечетно-нечетных ядер) был получен из данных об энергии связи в: G. Audi et al., «Оценка атомной массы AME2012», в Chinese Physics C 36 (2012/12 ) С. 1287–1602.

Этот термин известен как термин спаривания (возможно, также известный как парное взаимодействие). Этот термин отражает эффект спиновой связи. Выдается:

где находится эмпирически , чтобы иметь значение около 1000 кэВ, медленно уменьшается с массовым числом  A . Энергия связи может быть увеличена путем преобразования одного из нечетных протонов или нейтронов в нейтрон или протон, так что нечетный нуклон может образовать пару с формированием его нечетного соседа и четного Z, N. Пара имеет перекрывающиеся волновые функции и находится очень близко друг к другу. со связью прочнее, чем любая другая конфигурация. Когда член спаривания подставляется в уравнение энергии связи, для четных Z, N член спаривания добавляет энергию связи, а для нечетных Z, N член спаривания удаляет энергию связи.

Зависимость от массового числа обычно параметризуется как

Значение показателя k P определяется из экспериментальных данных об энергии связи. В прошлом его значение часто принималось равным −3/4, но современные экспериментальные данные показывают, что значение −1/2 ближе к отметке:

или .

Из-за принципа исключения Паули ядро имело бы меньшую энергию, если бы количество протонов со спином вверх было равно количеству протонов со спином вниз. Это верно и для нейтронов. Только если и Z, и N равны, и протоны, и нейтроны могут иметь одинаковое количество частиц со спином вверх и вниз. Это эффект, аналогичный члену асимметрии.

Теоретически объяснить этот фактор непросто. Расчет шара Ферми, который мы использовали выше, основанный на модели жидкой капли, но без учета взаимодействий, даст зависимость, как и в члене асимметрии. Это означает, что реальный эффект для больших ядер будет больше, чем ожидалось по этой модели. Это следует объяснить взаимодействиями между нуклонами; Например, в модели оболочек два протона с одинаковыми квантовыми числами (кроме спина ) будут иметь полностью перекрывающиеся волновые функции и, таким образом, будут иметь более сильное взаимодействие между ними и более сильную энергию связи. Это делает энергетически выгодным (т.е. имеющим более низкую энергию) образование протонов пар с противоположным спином. То же самое и с нейтронами.

Расчет коэффициентов

Коэффициенты рассчитываются путем подгонки к экспериментально измеренным массам ядер. Их значения могут варьироваться в зависимости от того, как они соответствуют данным и какая единица измерения используется для выражения массы. Ниже приведены несколько примеров.

Айсберг и Резник По методу наименьших квадратов (1) По методу наименьших квадратов (2) Рольф Wapstra
Ед. изм ты МэВ МэВ МэВ МэВ
0,01691 15,8 15,76 15,75 14.1
0,01911 18,3 17,81 17,8 13
0,000673 0,714 0,711 0,711 0,595
0,10175 23,2 23,702 23,7 19
0,012 12 34 11,18 33,5
−1/2 −1/2 −3/4 −1/2 −3/4
(даже-даже)
(нечетное-нечетное)
(четно-нечетное, нечетное-четное) 0 0 0 0 0

Формула не учитывает внутреннюю оболочечную структуру ядра.

Таким образом, полуэмпирическая формула массы хорошо подходит для более тяжелых ядер и плохо подходит для очень легких ядер, особенно 4 He . Для легких ядер обычно лучше использовать модель, учитывающую эту оболочечную структуру.

Примеры следствий формулы

Максимизация E б ( A, Z ) по отношению к Z , можно было бы найти наилучшее соотношение нейтронов и протонов N / Z для данного атомного веса А . Мы получили

Это примерно 1 для легких ядер, но для тяжелых ядер это соотношение растет, что хорошо согласуется с экспериментом .

Подставляя указанное выше значение Z обратно в E b , можно получить энергию связи как функцию атомного веса E b ( A ) . Максимизация E b ( A ) / A по отношению к A дает ядро, которое наиболее сильно связано, то есть наиболее стабильно. Значение мы получаем = 63 ( меди ), близкие к измеренным значениям от А = 62 ( никеля ) и A = 58 ( железо ).

Модель жидкой капли также позволяет рассчитывать барьеры деления ядер, которые определяют устойчивость ядра к спонтанному делению . Первоначально предполагалось, что элементы за пределами атомного номера 104 не могут существовать, поскольку они будут подвергаться делению с очень коротким периодом полураспада, хотя эта формула не учитывала стабилизирующие эффекты закрытых ядерных оболочек . Модифицированная формула, учитывающая оболочечные эффекты, воспроизводит известные данные и предсказанный остров стабильности (в котором ожидается увеличение барьеров деления и периодов полураспада, достигая максимума при закрытии оболочки), хотя также предлагает возможный предел существования сверхтяжелых ядер за пределами Z  =  120 и N  = 184.

Рекомендации

Источники

Внешние ссылки