Полулагранжева схема - Semi-Lagrangian scheme

Полулагранжева схема (SLS) является численным методом , который широко используется в численных прогнозах погоды моделей для интеграции системы уравнений движения атмосферы. Лагранжиан описание системы (такие , как атмосфера ) фокусируется на следующем отдельные участки воздуха вдоль их траектории , в отличие от эйлерового описания, которое учитывает скорость изменения системных переменных фиксированные в определенной точке в пространстве. В полулагранжевой схеме используется эйлерова структура, но дискретные уравнения исходят из лагранжевой точки зрения.

Некоторый фон

Скорость лагранжева изменения величины определяется выражением ${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle {\ frac {DF} {Dt}} = {\ frac {\ partial F} {\ partial t}} + (\ mathbf {v} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) F,}$

где может быть скалярным или векторным полем, а - поле скорости. Первый член в правой части приведенного выше уравнения представляет собой локальную или эйлерову скорость изменения, а второй член часто называют членом адвекции . Обратите внимание, что скорость изменения Лагранжа также известна как материальная производная . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle F}$

Можно показать, что уравнения движения атмосферы можно записать в лагранжевой форме

${\ displaystyle {\ frac {D \ mathbf {V}} {Dt}} = \ mathbf {S} (\ mathbf {V}),}$

где компоненты вектора представляют собой (зависимые) переменные, описывающие участок воздуха (такие как скорость, давление, температура и т. д.), а функция представляет условия источника и / или стока. ${\ displaystyle \ mathbf {V}}$${\ Displaystyle \ mathbf {S} (\ mathbf {V})}$

В лагранжевой схеме отслеживаются отдельные авиапосылок, но явно есть определенные недостатки: количество посылок действительно может быть очень большим, и часто может случаться, что большое количество посылок группируется вместе, оставляя относительно большие области пространства совершенно пустыми. Такие пустоты могут вызывать вычислительные проблемы, например, при вычислении пространственных производных различных величин. Есть способы обойти это, например, метод, известный как гидродинамика сглаженных частиц , где зависимая переменная выражается в нелокальной форме, то есть как интеграл от самой себя, умноженный на функцию ядра.

В полулагранжевых схемах устраняется проблема наличия областей пространства, по существу свободных от участков.

Полулагранжева схема

В полулагранжевых схемах используется регулярная (эйлерова) сетка, как и в методах конечных разностей. Идея заключается в следующем: на каждом временном шаге вычисляется точка происхождения посылки. Затем используется схема интерполяции для оценки значения зависимой переменной в точках сетки, окружающих точку, откуда возникла частица. Перечисленные ссылки содержат более подробную информацию о том, как применяется полулагранжева схема.

Смотрите также

• Лагранжева и эйлерова спецификация поля течения
• Контурная адвекция
• Траектория (механика жидкости)

внешние ссылки

• ctraj : библиотека траекторий C ++, включая полулагранжевые трассирующие коды.

Ссылки

• Э. Калнай , Атмосферное моделирование, усвоение данных и предсказуемость (глава 3, раздел 3.3.3), Cambridge University Press, Кембридж, 2003 г.
• А. Перссон, Руководство пользователя прогностической продукции ЕЦСПП (раздел 2.1.3), http://www.ecmwf.int/sites/default/files/User_Guide_V1.2_20151123.pdf
• Д.А. Рэндалл, Моделирование атмосферы (AT604, глава 5, раздел 5.11), http://kiwi.atmos.colostate.edu/group/dave/at604.html