Второй момент площади - Second moment of area

Второй момент площади , или второй область момента , или квадратичного момента площади и также известно как область момента инерции , является геометрическим свойством области , которая отражает как его точки распределены относительно произвольной оси. Второй момент площади обычно обозначается либо (для оси, лежащей в плоскости площади), либо (для оси, перпендикулярной плоскости). В обоих случаях он вычисляется с помощью кратного интеграла по рассматриваемому объекту. Его размерность L (длина) в четвертой степени. Его единица размерности, при работе с Международной системой единиц , находится в нескольких метрах от четвертой степени, м ⁴ или дюймы до четвертой степени, в ⁴ , при работе в Имперской системе единиц . ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$

В проектировании конструкций второй момент площади балки является важным свойством, используемым при расчете прогиба балки и расчете напряжения, вызванного моментом, приложенным к балке. Для того чтобы максимизировать второй момент площади, большая доля площади поперечного сечения в качестве двутавровой балки расположен на максимально возможном расстоянии от центра тяжести поперечного сечения I-балки. Планарной второй момент площади дает представление пучка по стойкости к изгибу вследствие приложенного момента, силы или распределенной нагрузки перпендикулярно к ее нейтральной оси , в зависимости от его формы. Полярный момент инерции дает представление о сопротивлении пучка к торсионной прогиба, в результате приложенного момента параллельно его поперечного сечения, в зависимости от его формы.

В разных дисциплинах термин « момент инерции» (MOI) используется для обозначения разных моментов . Он может относиться либо к планарным вторым моментам площади (часто или относительно некоторой базовой плоскости), либо к полярному второму моменту площади ( , где r - расстояние до некоторой базовой оси). В каждом случае интеграл по всем бесконечно малым элементам области , дА , в некотором двумерный поперечном сечении. В физике , момент инерции строго второй момент массы по отношению к расстоянию от оси: , где R представляет собой расстояние до некоторой потенциальной оси вращения, а интеграл по всем бесконечно малым элементам массовых , де , в три мерное пространство занято объект  Q . MOI в этом смысле является аналогом массы для задач вращения. В машиностроении (особенно механическом и гражданском) момент инерции обычно относится ко второму моменту площади. ${\ textstyle I_ {x} = \ iint _ {R} y ^ {2} \, dA}$${\ textstyle I_ {y} = \ iint _ {R} x ^ {2} \, dA}$${\ textstyle I = \ iint _ {R} r ^ {2} \, dA}$${\ textstyle I = \ int _ {Q} r ^ {2} dm}$

Определение

Произвольной формы. ρ - радиальное расстояние до элемента d A с выступами x и y на оси.

Второй момент площади для произвольной формы  R относительно произвольной оси определяется как ${\ displaystyle BB '}$

$${\ Displaystyle J_ {BB '} = \ iint _ {R} {\ rho} ^ {2} \, dA}$$

• ${\ displaystyle dA}$ - элемент бесконечно малой площади, и
• ${\ displaystyle \ rho}$- перпендикулярное расстояние от оси .${\ displaystyle BB '}$

Например, когда желаемой опорной осью является ось x, второй момент площади (часто обозначаемый как ) может быть вычислен в декартовых координатах как ${\ displaystyle I_ {xx}}$${\ displaystyle I_ {x}}$

$${\ displaystyle I_ {x} = \ iint _ {R} y ^ {2} \, dx \, dy}$$

Второй момент площади имеет решающее значение в теории тонких балок Эйлера – Бернулли .

Момент площади продукта

В более общем смысле момент площади продукта определяется как

$${\ Displaystyle I_ {xy} = \ iint _ {R} yx \, dx \, dy}$$

Теорема о параллельной оси

Форма с центральной осью x . Теорема о параллельности оси может быть использована для получения второго момента площади относительно оси x ' .

Иногда необходимо вычислить второй момент площади формы относительно оси, отличной от центральной оси формы. Однако часто бывает проще получить второй момент площади относительно его центральной оси , и использовать теорему о параллельности оси, чтобы получить второй момент площади относительно оси. Теорема о параллельной оси утверждает ${\ displaystyle x '}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x '}$

$${\ displaystyle I_ {x '} = I_ {x} + Ad ^ {2}}$$

• ${\ displaystyle A}$ площадь фигуры, а
• ${\ displaystyle d}$это перпендикулярное расстояние между и осями.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x '}$

Аналогичное утверждение можно сделать относительно оси и параллельной центральной оси. Или вообще любая центроидная ось и параллельная ось. ${\ displaystyle y '}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B '}$

Теорема о перпендикулярной оси

Для простоты расчета часто требуется определить полярный момент площади (относительно перпендикулярной оси) в терминах двух моментов инерции площади (оба относительно осей в плоскости). Самый простой случай относится к и . ${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle I_ {x}}$${\ displaystyle I_ {y}}$

$${\ Displaystyle J_ {z} = \ iint _ {R} \ rho ^ {2} \, dA = \ iint _ {R} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) dA = \ iint _ {R} x ^ {2} \, dA + \ iint _ {R} y ^ {2} \, dA = I_ {x} + I_ {y}}$$

Эта связь основана на теореме Пифагора , которая относится и к и на линейность интеграции . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ rho}$

Составные формы

Для более сложных областей часто бывает проще разделить область на ряд «более простых» форм. Второй момент площади для всей формы - это сумма второго момента площадей всех ее частей вокруг общей оси. Это может включать формы, которые «отсутствуют» (например, отверстия, полые формы и т. Д.), И в этом случае второй момент площади «недостающих» областей вычитается, а не добавляется. Другими словами, второй момент площади «недостающих» деталей считается отрицательным для метода составных форм.

Примеры

См. Список секундных моментов площади для других форм.

Прямоугольник с центром тяжести в начале координат

Прямоугольник с основанием b и высотой h

Рассмотрим прямоугольник с основанием и высотой , центроид которого расположен в начале координат. представляет второй момент площади относительно оси x; представляет второй момент площади относительно оси y; представляет собой полярный момент инерции относительно оси z. ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle I_ {x}}$${\ displaystyle I_ {y}}$${\ displaystyle J_ {z}}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {x} & = \ iint _ {R} y ^ {2} \, dA = \ int _ {- {\ frac {b} {2}}} ^ {\ frac {b} {2}} \ int _ {- {\ frac {h} {2}}} ^ {\ frac {h} {2}} y ^ {2} \, dy \, dx = \ int _ { - {\ frac {b} {2}}} ^ {\ frac {b} {2}} {\ frac {1} {3}} {\ frac {h ^ {3}} {4}} \, dx = {\ frac {bh ^ {3}} {12}} \\ I_ {y} & = \ iint _ {R} x ^ {2} \, dA = \ int _ {- {\ frac {b} { 2}}} ^ {\ frac {b} {2}} \ int _ {- {\ frac {h} {2}}} ^ {\ frac {h} {2}} x ^ {2} \, dy \, dx = \ int _ {- {\ frac {b} {2}}} ^ {\ frac {b} {2}} hx ^ {2} \, dx = {\ frac {b ^ {3} h } {12}} \ end {выровнено}}}$$

Используя теорему о перпендикулярной оси, мы получаем значение . ${\ displaystyle J_ {z}}$

$${\ displaystyle J_ {z} = I_ {x} + I_ {y} = {\ frac {bh ^ {3}} {12}} + {\ frac {hb ^ {3}} {12}} = {\ гидроразрыв {bh} {12}} \ left (b ^ {2} + h ^ {2} \ right)}$$

Кольцо с центром в начале координат

Кольцо с внутренним радиусом r ₁ и внешним радиусом r ₂

Рассмотрим кольцо с центром в начале координат, внешним радиусом и внутренним радиусом . Из-за симметрии кольца центр тяжести также находится в начале координат. Мы можем определить полярный момент инерции вокруг оси методом составных форм. Этот полярный момент инерции эквивалентен полярному моменту инерции окружности радиуса минус полярный момент инерции окружности радиуса с центром в начале координат. Сначала выведем полярный момент инерции окружности с радиусом относительно начала координат. В этом случае проще непосредственно вычислить , как у нас уже есть , который имеет как и компонент. Вместо получения второго момента площади из декартовых координат, как это было сделано в предыдущем разделе, мы будем вычислять и напрямую использовать полярные координаты . ${\ displaystyle r_ {2}}$${\ displaystyle r_ {1}}$${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle r_ {2}}$${\ displaystyle r_ {1}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle r ^ {2}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle I_ {x}}$${\ displaystyle J_ {z}}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {x, {\ text {circle}}} & = \ iint _ {R} y ^ {2} \, dA = \ iint _ {R} \ left (r \ sin {\ theta} \ right) ^ {2} \, dA = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {r} \ left (r \ sin {\ theta} \ right) ^ {2} \ left (r \, dr \, d \ theta \ right) \\ & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {r} r ^ {3} \ sin ^ {2} {\ theta} \, dr \, d \ theta = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {r ^ {4} \ sin ^ {2} {\ theta} } {4}} \, d \ theta = {\ frac {\ pi} {4}} r ^ {4} \\ J_ {z, {\ text {circle}}} & = \ iint _ {R} r ^ {2} \, dA = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {r} r ^ {2} \ left (r \, dr \, d \ theta \ right) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {r} r ^ {3} \, dr \, d \ theta \\ & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {r ^ {4}} {4}} \, d \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} r ^ {4} \ end {align}}}$$

Теперь полярный момент инерции относительно оси для кольцевого пространства - это просто, как указано выше, разность вторых моментов площади круга с радиусом и круга с радиусом . ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle r_ {2}}$${\ displaystyle r_ {1}}$

$${\ displaystyle J_ {z} = J_ {z, r_ {2}} - J_ {z, r_ {1}} = {\ frac {\ pi} {2}} r_ {2} ^ {4} - {\ frac {\ pi} {2}} r_ {1} ^ {4} = {\ frac {\ pi} {2}} \ left (r_ {2} ^ {4} -r_ {1} ^ {4} \ Правильно)}$$

В качестве альтернативы мы могли бы изменить пределы интеграла в первый раз, чтобы отразить факт наличия дыры. Это было бы сделано так. ${\ displaystyle dr}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} J_ {z} & = \ iint _ {R} r ^ {2} \, dA = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {r_ {1} } ^ {r_ {2}} r ^ {2} \ left (r \, dr \, d \ theta \ right) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} r ^ {3} \, dr \, d \ theta \\ & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left [{\ frac {r_ {2} ^ {4 }} {4}} - {\ frac {r_ {1} ^ {4}} {4}} \ right] \, d \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} \ left (r_ {2 } ^ {4} -r_ {1} ^ {4} \ right) \ end {выровнено}}}$$

Любой многоугольник

Простой многоугольник. Здесь, обратите внимание, точка «7» идентична точке 1.${\ displaystyle n = 6}$

Второй момент площади относительно начала координат для любого простого многоугольника на плоскости XY может быть вычислен в общем случае путем суммирования вкладов от каждого сегмента многоугольника после разделения области на набор треугольников. Эта формула связана с формулой шнурка и может считаться частным случаем теоремы Грина .

Предполагается, что многоугольник имеет вершины, пронумерованные против часовой стрелки. Если вершины многоугольника пронумерованы по часовой стрелке, возвращаемые значения будут отрицательными, но абсолютные значения будут правильными. ${\ displaystyle n}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} I_ {y} & = {\ frac {1} {12}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} y_ {i + 1}) -x_ {i + 1} y_ {i} \ right) \ left (x_ {i} ^ {2} + x_ {i} x_ {i + 1} + x_ {i + 1} ^ {2} \ right) \\ I_ {x} & = {\ frac {1} {12}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i} \ right) \ left (y_ {i} ^ {2} + y_ {i} y_ {i + 1} + y_ {i + 1} ^ {2} \ right) \\ I_ {xy} & = {\ frac {1} {24}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i} \ right) \ left (x_ {i} y_ {i + 1} + 2x_ {i} y_ {i} + 2x_ {i + 1} y_ {i + 1} + x_ {i + 1} y_ {i} \ right) \ конец {выровнен}}}$$

где - координаты вершины -го многоугольника, при . Кроме того , предполагаются равными координатам первой вершины, т и . ${\ displaystyle x_ {i}, y_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п}$${\ Displaystyle х_ {п + 1}, у_ {п + 1}}$${\ Displaystyle х_ {п + 1} = х_ {1}}$${\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {1}}$

Смотрите также

• Список вторых моментов площади
• Список моментов инерции
• Момент инерции
• Теорема о параллельной оси
• Теорема о перпендикулярной оси
• Радиус вращения

использованная литература