Теорема Руше – Капелли - Rouché–Capelli theorem
В линейной алгебре , то Руше-Капелли теорема определяет число решений для системы линейных уравнений , учитывая ранг его дополненной матрицу и матрицу коэффициентов . Теорема известна как:
- Теорема Руше – Капелли в англоязычных странах , Италии и Бразилии ;
- Теорема Кронекера – Капелли в Австрии , Польше , Румынии и России ;
- Теорема Руше – Фонтене во Франции ;
- Теорема Руше – Фробениуса в Испании и многих странах Латинской Америки ;
- Теорема Фробениуса в Чехии и Словакии .
Официальное заявление
Система линейных уравнений с n переменными имеет решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов A равен рангу ее расширенной матрицы [ A | б ]. Если есть решения, они образуют аффинное подпространство в размерности п - ранг ( A ). В частности:
- если n = rank ( A ), решение единственное,
- в противном случае решений бесконечно много.
Пример
Рассмотрим систему уравнений
- х + у + 2 г = 3,
- х + у + г = 1,
- 2 х + 2 у + 2 г знак равно 2.
Матрица коэффициентов:
а расширенная матрица
Поскольку оба они имеют одинаковый ранг, а именно 2, существует по крайней мере одно решение; и поскольку их ранг меньше числа неизвестных, последнее равно 3, существует бесконечно много решений.
Напротив, рассмотрим систему
- х + у + 2 г = 3,
- х + у + г = 1,
- 2 х + 2 у + 2 г = 5.
Матрица коэффициентов:
а расширенная матрица
В этом примере матрица коэффициентов имеет ранг 2, а расширенная матрица - ранг 3; так что эта система уравнений не имеет решения. Действительно, увеличение количества линейно независимых столбцов сделало систему уравнений противоречивой.
Смотрите также
Рекомендации
- А. Карпинтери (1997). Строительная механика . Тейлор и Фрэнсис. п. 74. ISBN 0-419-19160-7 .
Внешние ссылки
- Теорема Кронекера-Капелли в Викиучебнике
- Теорема Кронекера-Капелли - видео на YouTube с доказательством
- Теорема Кронекера-Капелли в Математической энциклопедии