Теорема Руше – Капелли - Rouché–Capelli theorem

В линейной алгебре , то Руше-Капелли теорема определяет число решений для системы линейных уравнений , учитывая ранг его дополненной матрицу и матрицу коэффициентов . Теорема известна как:

Официальное заявление

Система линейных уравнений с n переменными имеет решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов A равен рангу ее расширенной матрицы [ A | б ]. Если есть решения, они образуют аффинное подпространство в размерности п  - ранг ( A ). В частности:

  • если n  = rank ( A ), решение единственное,
  • в противном случае решений бесконечно много.

Пример

Рассмотрим систему уравнений

х + у + 2 г = 3,
х + у + г = 1,
2 х + 2 у + 2 г знак равно 2.

Матрица коэффициентов:

а расширенная матрица

Поскольку оба они имеют одинаковый ранг, а именно 2, существует по крайней мере одно решение; и поскольку их ранг меньше числа неизвестных, последнее равно 3, существует бесконечно много решений.

Напротив, рассмотрим систему

х + у + 2 г = 3,
х + у + г = 1,
2 х + 2 у + 2 г = 5.

Матрица коэффициентов:

а расширенная матрица

В этом примере матрица коэффициентов имеет ранг 2, а расширенная матрица - ранг 3; так что эта система уравнений не имеет решения. Действительно, увеличение количества линейно независимых столбцов сделало систему уравнений противоречивой.

Смотрите также

Рекомендации

  • А. Карпинтери (1997). Строительная механика . Тейлор и Фрэнсис. п. 74. ISBN   0-419-19160-7 .

Внешние ссылки