Вращение осей - Rotation of axes

В математике , A поворот осей в двух измерениях является отображением из х - декартова системы координат к Ему -Cartesian системы координат , в которой начало координаты сохраняются фиксированными и х ' и у» оси получаются поворот оси x и y на угол против часовой стрелки . Точка P имеет координаты ( x , y ) относительно исходной системы и координаты ( x ' , y' ) относительно новой системы. В новой системе координат точка P будет казаться повернутой в противоположном направлении, то есть по часовой стрелке на угол . Аналогично определяется вращение осей более чем в двух измерениях. Вращение осей - это линейная карта и жесткое преобразование . ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$

Мотивация

Системы координат необходимы для изучения уравнений кривых методами аналитической геометрии . Для использования метода координатной геометрии оси располагаются в удобном месте по отношению к рассматриваемой кривой. Например, для изучения уравнений эллипсов и гипербол , то фокусы , как правило , расположены на одной из осей и расположены симметрично относительно начала координат. Если кривая (гипербола, парабола , эллипс и т.д.) , не расположен удобно по отношению к осям, система координат должна быть изменена , чтобы поместить кривую в удобном и привычном месте и ориентации. Процесс внесения этого изменения называется преобразованием координат .

Решения многих проблем можно упростить, повернув оси координат для получения новых осей через то же начало координат.

Вывод

Уравнения, определяющие преобразование в двух измерениях, которое поворачивает оси xy против часовой стрелки на угол в оси x'y ' , выводятся следующим образом. ${\ displaystyle \ theta}$

В ху системе, пусть точка Р имеет полярные координаты . Тогда, в Ей системе P будет иметь полярные координаты . ${\ Displaystyle (г, \ альфа)}$${\ Displaystyle (г, \ альфа - \ тета)}$

Используя тригонометрические функции , мы имеем

${\ Displaystyle х = г \ соз \ альфа}$

( 1 )

${\ Displaystyle у = г \ грех \ альфа}$

( 2 )

и используя стандартные тригонометрические формулы для разностей, имеем

${\ Displaystyle х '= р \ соз (\ альфа - \ тета) = г \ соз \ альфа \ соз \ тета + г \ грех \ альфа \ грех \ тета}$

( 3 )

${\ displaystyle y '= r \ sin (\ alpha - \ theta) = r \ sin \ alpha \ cos \ theta -r \ cos \ alpha \ sin \ theta.}$

( 4 )

Подставляя уравнения ( 1 ) и ( 2 ) в уравнения ( 3 ) и ( 4 ), получаем

${\ Displaystyle х '= х \ соз \ тета + у \ грех \ тета}$

( 5 )

${\ displaystyle y '= - x \ sin \ theta + y \ cos \ theta.}$

( 6 )

Уравнения ( 5 ) и ( 6 ) могут быть представлены в матричной форме как

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \ конец {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}},}$

которое является стандартным матричным уравнением вращения осей в двух измерениях.

Обратное преобразование

${\ Displaystyle х = х '\ соз \ тета -у' \ грех \ тета}$

( 7 )

${\ Displaystyle у = х '\ грех \ тета + у' \ соз \ тета,}$

( 8 )

или же

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end { pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}}.}$

Примеры в двух измерениях

Пример 1

Найдите координаты точки после поворота осей на угол , или 30 °. ${\ Displaystyle P_ {1} = (х, y) = ({\ sqrt {3}}, 1)}$${\ displaystyle \ theta _ {1} = \ pi / 6}$

Решение:

${\ displaystyle x '= {\ sqrt {3}} \ cos (\ pi / 6) +1 \ sin (\ pi / 6) = ({\ sqrt {3}}) ({\ sqrt {3}} / 2) + (1) (1/2) = 2}$

${\ displaystyle y '= 1 \ cos (\ pi / 6) - {\ sqrt {3}} \ sin (\ pi / 6) = (1) ({\ sqrt {3}} / 2) - ({\ sqrt {3}}) (1/2) = 0.}$

Оси повернуты против часовой стрелки на угол, а новые координаты равны . Обратите внимание, что точка, похоже, была повернута по часовой стрелке относительно фиксированных осей, поэтому теперь она совпадает с (новой) осью x ' . ${\ displaystyle \ theta _ {1} = \ pi / 6}$${\ Displaystyle P_ {1} = (х ', y') = (2,0)}$${\ displaystyle \ pi / 6}$

Пример 2

Найдите координаты точки после поворота осей по часовой стрелке на 90 °, то есть на угол или -90 °. ${\ Displaystyle P_ {2} = (х, y) = (7,7)}$${\ displaystyle \ theta _ {2} = - \ pi / 2}$

Решение:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos (- \ pi / 2) & \ sin (- \ pi / 2) \\ - \ sin (- \ pi / 2) & \ cos (- \ pi / 2) \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 7 \\ 7 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 7 \\ 7 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -7 \\ 7 \ end {pmatrix}}.}$

Оси были повернуты на угол , который по часовой стрелке, а новые координаты равны . Опять же, обратите внимание, что точка, похоже, была повернута против часовой стрелки относительно фиксированных осей. ${\ displaystyle \ theta _ {2} = - \ pi / 2}$${\ Displaystyle P_ {2} = (х ', y') = (- 7,7)}$${\ displaystyle \ pi / 2}$

Вращение конических секций

Наиболее общее уравнение второй степени имеет вид

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0}$      ( не все нулевые). ${\ displaystyle A, B, C}$

( 9 )

Путем изменения координат (вращения осей и перемещения осей ) уравнение ( 9 ) может быть преобразовано в стандартную форму , с которой обычно легче работать. Всегда можно повернуть координаты так, чтобы в новой системе не было члена x'y ' . Подставляя уравнения ( 7 ) и ( 8 ) в уравнение ( 9 ), получаем

${\ displaystyle A'x '^ {2} + B'x'y' + C'y '^ {2} + D'x' + E'y '+ F' = 0,}$

( 10 )

где

${\ Displaystyle А '= А \ соз ^ {2} \ тета + В \ грех \ тета \ соз \ тета + С \ грех ^ {2} \ тета,}$ ${\ Displaystyle В '= 2 (СА) \ грех \ тета \ соз \ тета + В (\ соз ^ {2} \ тета - \ грех ^ {2} \ тета),}$ ${\ displaystyle C '= A \ sin ^ {2} \ theta -B \ sin \ theta \ cos \ theta + C \ cos ^ {2} \ theta,}$ ${\ Displaystyle D '= D \ соз \ тета + Е \ грех \ тета,}$ ${\ Displaystyle E '= - D \ грех \ тета + Е \ соз \ тета,}$ ${\ Displaystyle F '= F.}$

( 11 )

Если выбрано так, что у нас будет и член x'y ' в уравнении ( 10 ) будет равен нулю. ${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ детская кроватка 2 \ theta = (AC) / B}$${\ displaystyle B '= 0}$

Когда возникает проблема с B , D и E, отличными от нуля, их можно устранить, выполнив последовательно поворот (исключив B ) и перевод (исключив члены D и E ).

Обозначение повернутых конических секций

Невырожденное коническое сечение, задаваемое уравнением ( 9 ), можно идентифицировать путем оценки . Коническое сечение: ${\ Displaystyle B ^ {2} \ - \ 4AC}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ mbox {эллипс или круг}}, \ {\ mbox {if}} \ B ^ {2} \ - \ 4AC \ <\ 0; \\ {\ mbox { парабола}}, \ {\ mbox {if}} \ B ^ {2} \ - \ 4AC \ = \ 0; \\ {\ mbox {гипербола}}, \ {\ mbox {if}} \ B ^ {2} \ - \ 4AC \> \ 0. \ end {case}}}$

Обобщение на несколько измерений

Предположим, что прямоугольная система координат xyz вращается вокруг своей оси z против часовой стрелки (если смотреть вниз по положительной оси z ) на угол , то есть положительная ось x сразу же поворачивается в положительную ось y . Г координата каждой точки остается неизменным , а х и у координаты преобразования , как описано выше. Старые координаты ( x , y , z ) точки Q связаны с ее новыми координатами ( x ' , y' , z ' ) соотношением ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ z '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta & 0 \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}.}$

Обобщая до любого конечного числа измерений, матрица вращения - это ортогональная матрица, которая отличается от единичной матрицы не более чем четырьмя элементами. Эти четыре элемента имеют форму ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle a_ {ii} = a_ {jj} = \ cos \ theta}$      а также      ${\ displaystyle a_ {ij} = - a_ {ji} = \ sin \ theta,}$

для некоторых и некоторых i ≠ j . ${\ displaystyle \ theta}$

Пример в нескольких измерениях

Пример 3

Найдите координаты точки после поворота положительной оси w на угол , или 15 °, в положительную ось z . ${\ Displaystyle P_ {3} = (ш, х, y, z) = (1,1,1,1)}$${\ displaystyle \ theta _ {3} = \ pi / 12}$

Решение:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} w '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos (\ pi / 12) & 0 & 0 & \ sin (\ pi / 12) \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - \ sin (\ pi / 12) & 0 & 0 & \ cos (\ pi / 12) \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} w \\ x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle \ приблизительно {\ begin {pmatrix} 0,96593 & 0,0 & 0,0 & 0,25882 \\ 0,0 & 1,0 & 0,0 & 0,0 \\ 0,0 & 0,0 & 1,0 & 0,0 \\ - 0,25882 & 0,0 & 0,0 & 0,96593 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \\ 1.0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1.22475 \\ 1.00000 \\ 1.00000 \\ 0.70711 \ end {pmatrix} }.}$

Смотрите также

• Вращение
• Вращение (математика)

Заметки

Рекомендации

• Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN   0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN   0-395-14017-X
• Бэрден, Ричард Л .; Faires, J. Douglas (1993), Численный анализ (5-е изд.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt , ISBN   0-534-93219-3
• Protter, Murray H .; Морри младший, Чарльз Б. (1970), Вычисление колледжа с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , LCCN   76087042