Кольцо наборов - Ring of sets

В математике есть два разных понятия кольца множеств , оба относятся к определенным семействам множеств .

В теории порядка непустое семейство множеств называется кольцом (множеством), если оно замкнуто относительно объединения и пересечения . То есть следующие два утверждения верны для всех наборов и , ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

1. ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}}}$подразумевает и${\ displaystyle A \ cup B \ in {\ mathcal {R}}}$
2. ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}}}$ подразумевает ${\ displaystyle A \ cap B \ in {\ mathcal {R}}.}$

В теории меры непустое семейство множеств называется кольцом (множеств), если оно замкнуто относительно объединения и относительного дополнения (теоретико-множественная разность). То есть следующие два утверждения верны для всех наборов и , ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

1. ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}}}$подразумевает и${\ displaystyle A \ cup B \ in {\ mathcal {R}}}$
2. ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {R}}}$ подразумевает ${\ displaystyle A \ setminus B \ in {\ mathcal {R}}.}$

Отсюда следует, что кольцо в теоретико-мерном смысле всегда содержит пустое множество . Кроме того, для всех наборов A и B ,

${\ displaystyle A \ cap B = A \ setminus (A \ setminus B),}$

что показывает, что семейство множеств, замкнутых относительно относительного дополнения, также замкнуто относительно пересечения, так что кольцо в теоретико-мерном смысле также является кольцом в теоретико-порядковом смысле.

Примеры

Если X является любое множество, то силовой агрегат из X (семейство всех подмножеств X ) образует кольцо множеств в любом смысле.

Если ( X , ≤) - частично упорядоченное множество , то его верхние множества (подмножества X с дополнительным свойством, что если x принадлежит верхнему множеству U и x ≤ y , то y также должен принадлежать U ) замкнуты относительно как перекрестки, так и союзы. Впрочем, в целом он не закроется под отличия наборов.

В открытые множества и замкнутые множества любого топологического пространства замкнуты относительно обоих объединений и пересечений.

На вещественной прямой R семейство множеств, состоящее из пустого множества и всех конечных объединений полуоткрытых интервалов вида ( a , b ] , где a , b ∈ R, является кольцом в теоретико-мерном смысле.

Если T - любое преобразование, определенное в пространстве, то множества, которые отображаются в себя с помощью T , замкнуты как при объединениях, так и при пересечениях.

Если два кольца множеств определены на одних и тех же элементах, то множества, принадлежащие обоим кольцам, сами образуют кольцо множеств.

Связанные структуры

Кольцо из множеств в порядке теоретико-смысле образует распределительную решетку , в которой пересечение и объединение операции соответствуют решеткам в встречаются и присоединиться к операции, соответственно. Наоборот, каждая дистрибутивная решетка изоморфна кольцу множеств; в случае конечных дистрибутивных решеток это теорема Биркгофа о представлении, и множества можно рассматривать как нижние множества частично упорядоченного множества.

Семейство множеств, замкнутых относительно объединения и относительного дополнения, также замкнуто относительно симметричной разности и пересечения. И наоборот, каждое семейство множеств, замкнутых относительно симметричной разности и пересечения, также замкнуто относительно объединения и относительного дополнения. Это связано с идентичностями

1. ${\ Displaystyle А \ чашка В = (А \, \ треугольник \, В) \, \ треугольник \, (А \ крышка В)}$ а также
2. ${\ Displaystyle A \ setminus B = A \, \ треугольник \, (A \ cap B).}$

Симметричная разность и пересечение вместе образуют кольцо в теоретико-мерном смысле структуру булевого кольца .

В теоретико-мерном смысле σ-кольцо - это кольцо, замкнутое относительно счетных объединений, а δ-кольцо - это кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений. Явно σ-кольцо над X - это такое множество , что для любой последовательности мы имеем . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ {A_ {k} \} _ {k = 1} ^ {\ infty} \ substeq {\ mathcal {F}}}$${\ textstyle \ bigcup _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k} \ in {\ mathcal {F}}}$

Дано множество X , а поле множеств - также называется алгебра над X - это кольцо , которое содержит X . Из этого определения следует, что алгебра замкнута относительно абсолютного дополнения . Σ-алгебра есть алгебра , который также замкнуто относительно счетных объединений или , что эквивалентно сг-кольцо , которое содержит X . Фактически, согласно законам де Моргана , δ-кольцо, содержащее X , также обязательно является σ-алгеброй. Поля множеств, и особенно σ-алгебры, занимают центральное место в современной теории вероятностей и определении мер . ${\ displaystyle A ^ {c} = X \ setminus A}$

А полукольцо (множеств)- это семейство множествсо свойствами ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}}$

1. ${\ displaystyle \ emptyset \ in {\ mathcal {S}},}$
2. ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {S}}}$подразумевает и${\ displaystyle A \ cap B \ in {\ mathcal {S}},}$
3. ${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {S}}}$следует для некоторых непересекающихся${\ displaystyle A \ setminus B = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} C_ {i}}$${\ displaystyle C_ {1}, \ ldots, C_ {n} \ in {\ mathcal {S}}.}$

Каждое кольцо (в смысле теории меры) является полукольцом.

Полуалгебра или Полуполевые подмножества X представляет собой пол-кольцо , которое содержит X .

Смотрите также

• Алгебра множеств  - Тождества и отношения, включающие множества
• δ -кольцо  - кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений.
• Поле множеств  - алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
• 𝜆-система (система Дынкина)  - Семья, замкнутая относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений
• Монотонный класс
• π -система  - Семейство множеств, замкнутых относительно пересечения
• σ-алгебра
• 𝜎-ideal  - Семья замкнута относительно подмножеств и счетных объединений
• 𝜎-кольцо  - кольцо замкнутое при счетных соединениях

использованная литература

внешние ссылки

• Кольцо множеств в энциклопедии математики

Семьи наборов${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ более${\ displaystyle \ Omega}$
Обязательно верен ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ двоеточие}$ или закрыт в рамках:${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle A \ cap B}$	${\ Displaystyle A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap \ cdots}$	ФИП	Направленный на${\ Displaystyle \, \ supseteq}$	${\ Displaystyle A \ чашка B}$	${\ Displaystyle A_ {1} \ sqcup A_ {2} \ sqcup \ cdots}$	${\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} & A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ cdots \, \\ & {\ text {where}} A_ {i} \ nearrow \ end {alignat}} }$	${\ Displaystyle A_ {1} \ чашка A_ {2} \ чашка \ cdots}$	${\ displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ Displaystyle A \ setminus B}$	${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}}}$	${\ displaystyle \ Omega \ in {\ mathcal {F}}}$
π -система
𝜆-система (Система Дынкина)			Никогда
Кольцо (теория порядка)
Кольцо (теория меры)			Никогда
δ-кольцо			Никогда
𝜎-кольцо			Никогда
Алгебра (Поле)			Никогда
𝜎-алгебра (𝜎-поле)			Никогда
Двойной идеал
Фильтр									Никогда	Никогда	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Предварительный фильтр (основание фильтра)									Никогда	Никогда	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Подбаза фильтров									Никогда	Никогда	${\ displaystyle \ varnothing \ not \ in {\ mathcal {F}}}$
Топология			Никогда
Обязательно верен ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ двоеточие}$ или закрыт в рамках:${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$	конечные пересечения	счетные пересечения	Свойство конечного пересечения	направлен вниз	конечные союзы	счетные непересекающиеся союзы	счетные возрастающие союзы	счетные союзы	дополняет в${\ displaystyle \ Omega}$	относительные дополнения	содержит ${\ displaystyle \ varnothing}$	содержит ${\ displaystyle \ Omega}$
Предполагается, что все семейства непустые. ${\ displaystyle A, B, A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$являются произвольными элементами обозначает объединение попарно непересекающихся множеств (называемое несвязным объединением ). Кроме того, полукольцо является π -системы , где каждое дополнение равно конечное несвязное объединение множеств A полуалгебры является полукольцо , который содержит монотонный класс представляет собой семейство, замкнутое относительно обоих счетных возрастающих объединений и счетных убывающих пересечений. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ Displaystyle \, \ sqcup \,}$ ${\ Displaystyle B \ setminus A}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle \ Omega.}$