Период (алгебраическая геометрия) - Period (algebraic geometry)

В алгебраической геометрии , А период является число , которое может быть выражено в виде интеграла из алгебраической функции над алгебраической области. Суммы и произведения периодов остаются периодами, поэтому периоды образуют кольцо .

Максим Концевич и Дон Загир провели обзор периодов и высказали некоторые предположения о них.

Определение

Действительное число - это точка, если оно имеет вид

${\ displaystyle \ int _ {P (x, y, z, \ ldots) \ geq 0} Q (x, y, z, \ ldots) \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y \ mathrm {d} z \ ldots}$

где есть многочлен и рациональная функция на с рациональными коэффициентами. Комплексное число - это период, если его действительная и мнимая части являются периодами. ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Альтернативное определение позволяет и быть алгебраическими функциями ; это выглядит более общим, но эквивалентным. Коэффициенты рациональных функций и многочленов также могут быть обобщены на алгебраические числа, поскольку иррациональные алгебраические числа выражаются через площади подходящих областей. ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$

В другом направлении можно ограничиться постоянной функцией или заменой подынтегрального выражения интегралом от области, определяемой полиномом от дополнительных переменных. Другими словами, (неотрицательный) период - это объем области, определяемой полиномиальным неравенством. ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle -1}$ ${\ displaystyle \ pm 1}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Примеры

Помимо алгебраических чисел, периодами известны следующие числа:

Натуральный логарифм любого положительного алгебраического числа а , что ${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {a} {\ frac {1} {x}} \ \ mathrm {d} x}$
$π$ ${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {4} {x ^ {2} +1}} \ \ mathrm {d} x}$
Эллиптические интегралы с рациональными аргументами
Все дзета-константы ( дзета-функция Римана целого числа) и несколько дзета-значений
Специальные значения гипергеометрических функций при алгебраических аргументах
Γ ( p / q ) ^q для натуральных чисел p и q .

Пример действительного числа, не являющегося периодом, дается постоянной Чейтина Ω . Любое другое невычислимое число также дает пример действительного числа, не являющегося точкой. В настоящее время нет естественных примеров вычислимых чисел , которые, как было доказано, не были периодами, однако можно построить искусственные примеры. Правдоподобные кандидаты для чисел, не являющихся периодами, включают e , 1 / $π$ и константу Эйлера – Маскерони γ .

Свойства и мотивация

Точки предназначены для преодоления разрыва между алгебраическими числами и трансцендентными числами . Класс алгебраических чисел слишком узок, чтобы включать многие общие математические константы , в то время как набор трансцендентных чисел не исчисляем , а его члены обычно не вычислимы .

Набор всех периодов является счетным , и все периоды вычислимы и, в частности, могут быть определены .

Домыслы

Многие из постоянных, известных как периоды, также задаются интегралами от трансцендентных функций . Концевич и Загьер отмечают, что «похоже, не существует универсального правила, объясняющего, почему определенные бесконечные суммы или интегралы трансцендентных функций являются периодами».

Концевич и Загьер предположили, что если период задается двумя разными интегралами, то каждый интеграл можно преобразовать в другой, используя только линейность интегралов (как в подынтегральном выражении, так и в области определения), замену переменных и метод Ньютона – Лейбница. формула

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f '(x) \, dx = f (b) -f (a)}

(или, в более общем смысле, формула Стокса ).

Полезное свойство алгебраических чисел состоит в том, что равенство между двумя алгебраическими выражениями может быть определено алгоритмически. Из гипотезы Концевича и Загьера следует, что равенство периодов также разрешимо: неравенство вычислимых вещественных чисел известно рекурсивно перечислимым ; и наоборот, если два интеграла согласуются, то алгоритм может подтвердить это, испробовав все возможные способы преобразования одного из них в другой.

Предполагается, что число Эйлера e и постоянная Эйлера – Маскерони γ не являются периодами.

Обобщения

Периоды могут быть расширены до экспоненциальных периодов , позволяя подынтегральному выражению быть произведением алгебраической функции и экспоненциальной функции алгебраической функции. Это расширение включает в себя все алгебраические степени e , гамма-функцию рациональных аргументов и значения функций Бесселя . ${\ displaystyle Q}$

Концевич и Загьер предполагают, что есть «признаки» того, что периоды можно естественным образом обобщить еще больше, включая постоянную Эйлера γ. При таком включении «все классические константы являются периодами в соответствующем смысле».

Смотрите также

использованная литература

Концевич, Максим ; Загир, Дон (2001). «Периоды» (PDF) . In Engquist, Бьорн; Шмид, Вильфрид (ред.). Математика без ограничений - 2001 и далее . Берлин, Нью-Йорк: Springer . С. 771–808. ISBN 9783540669135. Руководство по ремонту 1852188 .

Сноски

дальнейшее чтение

Белкале, Пракаш; Броснан, Патрик (2003), "Периоды и функции местного дзета Иегузой", Международная Mathematics исследований Извещения , 2003 (49): 2655-2670, DOI : 10,1155 / S107379280313142X , ISSN 1073-7928 , MR 2012522
Вальдшмидт, Мишель (2006), «Превосходство периодов: современное состояние» (PDF) , Pure and Applied Mathematics Quarterly , 2 (2): 435–463, doi : 10.4310 / PAMQ.2006.v2.n2.a3 , ISSN 1558-8599 , MR 2251476

внешние ссылки

PlanetMath: Период

Languages

In other projects