Период (алгебраическая геометрия) - Period (algebraic geometry)
В алгебраической геометрии , А период является число , которое может быть выражено в виде интеграла из алгебраической функции над алгебраической области. Суммы и произведения периодов остаются периодами, поэтому периоды образуют кольцо .
Максим Концевич и Дон Загир провели обзор периодов и высказали некоторые предположения о них.
Определение
Действительное число - это точка, если оно имеет вид
где есть многочлен и рациональная функция на с рациональными коэффициентами. Комплексное число - это период, если его действительная и мнимая части являются периодами.
Альтернативное определение позволяет и быть алгебраическими функциями ; это выглядит более общим, но эквивалентным. Коэффициенты рациональных функций и многочленов также могут быть обобщены на алгебраические числа, поскольку иррациональные алгебраические числа выражаются через площади подходящих областей.
В другом направлении можно ограничиться постоянной функцией или заменой подынтегрального выражения интегралом от области, определяемой полиномом от дополнительных переменных. Другими словами, (неотрицательный) период - это объем области, определяемой полиномиальным неравенством.
Примеры
Помимо алгебраических чисел, периодами известны следующие числа:
- Натуральный логарифм любого положительного алгебраического числа а , что
- π
- Эллиптические интегралы с рациональными аргументами
- Все дзета-константы ( дзета-функция Римана целого числа) и несколько дзета-значений
- Специальные значения гипергеометрических функций при алгебраических аргументах
- Γ ( p / q ) q для натуральных чисел p и q .
Пример действительного числа, не являющегося периодом, дается постоянной Чейтина Ω . Любое другое невычислимое число также дает пример действительного числа, не являющегося точкой. В настоящее время нет естественных примеров вычислимых чисел , которые, как было доказано, не были периодами, однако можно построить искусственные примеры. Правдоподобные кандидаты для чисел, не являющихся периодами, включают e , 1 / π и константу Эйлера – Маскерони γ .
Свойства и мотивация
Точки предназначены для преодоления разрыва между алгебраическими числами и трансцендентными числами . Класс алгебраических чисел слишком узок, чтобы включать многие общие математические константы , в то время как набор трансцендентных чисел не исчисляем , а его члены обычно не вычислимы .
Набор всех периодов является счетным , и все периоды вычислимы и, в частности, могут быть определены .
Домыслы
Многие из постоянных, известных как периоды, также задаются интегралами от трансцендентных функций . Концевич и Загьер отмечают, что «похоже, не существует универсального правила, объясняющего, почему определенные бесконечные суммы или интегралы трансцендентных функций являются периодами».
Концевич и Загьер предположили, что если период задается двумя разными интегралами, то каждый интеграл можно преобразовать в другой, используя только линейность интегралов (как в подынтегральном выражении, так и в области определения), замену переменных и метод Ньютона – Лейбница. формула
(или, в более общем смысле, формула Стокса ).
Полезное свойство алгебраических чисел состоит в том, что равенство между двумя алгебраическими выражениями может быть определено алгоритмически. Из гипотезы Концевича и Загьера следует, что равенство периодов также разрешимо: неравенство вычислимых вещественных чисел известно рекурсивно перечислимым ; и наоборот, если два интеграла согласуются, то алгоритм может подтвердить это, испробовав все возможные способы преобразования одного из них в другой.
Предполагается, что число Эйлера e и постоянная Эйлера – Маскерони γ не являются периодами.
Обобщения
Периоды могут быть расширены до экспоненциальных периодов , позволяя подынтегральному выражению быть произведением алгебраической функции и экспоненциальной функции алгебраической функции. Это расширение включает в себя все алгебраические степени e , гамма-функцию рациональных аргументов и значения функций Бесселя .
Концевич и Загьер предполагают, что есть «признаки» того, что периоды можно естественным образом обобщить еще больше, включая постоянную Эйлера γ. При таком включении «все классические константы являются периодами в соответствующем смысле».
Смотрите также
использованная литература
- Концевич, Максим ; Загир, Дон (2001). «Периоды» (PDF) . In Engquist, Бьорн; Шмид, Вильфрид (ред.). Математика без ограничений - 2001 и далее . Берлин, Нью-Йорк: Springer . С. 771–808. ISBN 9783540669135. Руководство по ремонту 1852188 .
Сноски
дальнейшее чтение
- Белкале, Пракаш; Броснан, Патрик (2003), "Периоды и функции местного дзета Иегузой", Международная Mathematics исследований Извещения , 2003 (49): 2655-2670, DOI : 10,1155 / S107379280313142X , ISSN 1073-7928 , MR 2012522
- Вальдшмидт, Мишель (2006), «Превосходство периодов: современное состояние» (PDF) , Pure and Applied Mathematics Quarterly , 2 (2): 435–463, doi : 10.4310 / PAMQ.2006.v2.n2.a3 , ISSN 1558-8599 , MR 2251476