Теория жесткости (физика) - Rigidity theory (physics)

Теория жесткости или теория топологических ограничений - это инструмент для прогнозирования свойств сложных сетей (например, очков ) на основе их состава. Он был введен Джеймсом Чарльзом Филлипсом в 1979 и 1981 годах и усовершенствован Майклом Торпом в 1983 году. Вдохновленный исследованием устойчивости механических ферм, впервые предложенным Джеймсом Клерком Максвеллом , и основополагающей работой по структуре стекла, выполненной Уильямом Холдером Захариасеном. , эта теория сводит сложные молекулярные сети к узлам (атомам, молекулам, белкам и т. д.), ограниченным стержнями (химические ограничения), таким образом отфильтровывая микроскопические детали, которые в конечном итоге не влияют на макроскопические свойства. Эквивалентная теория была разработана П. К. Гуптой А. Р. Купером в 1990 году, где вместо узлов, представляющих атомы, они представляли единичные многогранники . Примером этого могут быть тетраэдры SiO в чистом стеклообразном диоксиде кремния . Этот стиль анализа находит применение в биологии и химии, например, для понимания адаптивности сетей белок-белкового взаимодействия. Теория жесткости, применяемая к молекулярным сетям, возникающим в результате фенотипического проявления определенных заболеваний, может дать представление об их структуре и функциях.

В молекулярных сетях атомы могут быть ограничены радиальными связями, растягивающими связи двух тел, которые сохраняют фиксированные межатомные расстояния, и угловыми ограничениями изгиба связей трех тел, которые удерживают углы фиксированными относительно их средних значений. Согласно критерию Максвелла, механическая ферма является изостатической, когда количество ограничений равно количеству степеней свободы узлов. В этом случае ферма оптимально закреплена, будучи жесткой, но не подверженной нагрузкам . Этот критерий был применен Филлипсом к молекулярным сетям, которые называются гибкими, напряженно-жесткими или изостатическими, когда количество ограничений на атом соответственно меньше, больше или равно 3, то есть количеству степеней свободы на атом в трехуровневой сети. размерная система. То же условие относится и к случайной упаковке сфер, изостатических в точке заклинивания . Обычно условия стеклования будут оптимальными, если сетка является изостатической, как, например, в случае чистого кремнезема . Гибкие системы демонстрируют внутренние степени свободы, называемые гибкими режимами, тогда как напряженно-жесткие системы блокируются большим количеством ограничений и имеют тенденцию кристаллизоваться вместо образования стекла во время быстрой закалки.

Вывод изостатического состояния

Условия изостатичности можно вывести, посмотрев на внутренние степени свободы общей трехмерной сети. Для узлов, ограничений и уравнений равновесия число степеней свободы равно

Термин узла увеличивается в 3 раза из-за наличия поступательных степеней свободы в направлениях x , y и z . По аналогичным соображениям в 3D существует одно уравнение равновесия для поступательного и вращательного режимов в каждом измерении. Это дает

Это может быть применено к каждому узлу в системе путем нормализации по количеству узлов.

где ,, и последний член был опущен для атомистических систем . Изостатические условия достигаются, когда количество ограничений на атом в изостатическом состоянии .

Альтернативный вывод основан на анализе модуля сдвига трехмерной сети или твердой конструкции. Изостатическое условие, которое представляет собой предел механической устойчивости, эквивалентно установке в микроскопической теории упругости, которая обеспечивает как функцию внутреннего координационного числа узлов и числа степеней свободы. Проблема была решена с помощью Alessio Zaccone и Е. Scossa-Романен в 2011 году, который производная аналитическую формулу для модуля сдвига 3D - сети центральных силовых пружин (облигации растяжения ограничений): . Здесь - жесткость пружины, - расстояние между двумя ближайшими соседними узлами, среднее координационное число сети (обратите внимание, что здесь и ) и в 3D. Аналогичная формула была получена для 2D-сетей, в которых используется префактор вместо . Следовательно, на основе выражения Закконе-Скосса-Романо для , после установки , получается , или, что эквивалентно в другой нотации , которое определяет изостатическое состояние Максвелла. Аналогичный анализ может быть проведен для трехмерных сетей с взаимодействиями изгиба связей (помимо растяжения связей), что приводит к изостатическому состоянию с более низким порогом из-за угловых ограничений, налагаемых изгибом связей.

Развитие стекольной науки

Теория жесткости позволяет предсказывать оптимальные изостатические составы, а также зависимость свойств стекла от состава путем простого перечисления ограничений. Эти свойства стекла включают, помимо прочего, модуль упругости , модуль сдвига , объемный модуль , плотность, коэффициент Пуассона , коэффициент теплового расширения, твердость и ударную вязкость . В некоторых системах из-за сложности прямого перечисления ограничений вручную и априорного знания всей системной информации теория часто используется в сочетании с вычислительными методами в материаловедении, таких как молекулярная динамика (МД). Примечательно, что теория сыграла важную роль в разработке Gorilla Glass 3 . Распространенная на стекла при конечной температуре и конечном давлении, теория жесткости использовалась для предсказания температуры стеклования, вязкости и механических свойств. Его также применяли к гранулированным материалам и белкам .

В контексте мягких стекол Алессио Закконе и Евгений Терентьев использовали теорию жесткости для предсказания температуры стеклования полимеров, а также для вывода и интерпретации уравнения Флори-Фокса на молекулярном уровне . Теория Заккона – Терентьева также дает выражение для модуля сдвига стеклообразных полимеров как функции температуры, которое количественно согласуется с экспериментальными данными и способно описать падение модуля сдвига на много порядков при приближении к стеклованию. снизу.

В 2001 году Булчанд и его коллеги обнаружили, что изостатические составы стеклообразных сплавов - предсказываемые теорией жесткости - существуют не только при одном пороговом составе; скорее, во многих системах он охватывает небольшой, четко определенный диапазон композиций, промежуточных между гибкими (недостаточно ограниченными) и напряженно-жесткими (чрезмерно ограниченными) областями. Это окно оптимально ограниченных стекол, таким образом, называется промежуточной фазой или окном обратимости , поскольку предполагается, что формирование стекла внутри окна является обратимым с минимальным гистерезисом. Его существование приписывают стеклянной сети, состоящей почти исключительно из различной популяции изостатических молекулярных структур. Существование промежуточной фазы остается спорной, но стимулирующей темой в стекольной науке.

использованная литература