Ограничение (математика) - Restriction (mathematics)

Функция x ² с областью определения R не имеет обратной функции . Если мы ограничим x ² неотрицательными действительными числами , тогда у него будет обратная функция, известная как квадратный корень из x .

В математике , то ограничение из функции является новой функцией, обозначаются или , полученная путем выбора меньшего домена А для исходной функции . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f \ vert _ {A}}$ ${\ displaystyle f {\ upharpoonright _ {A}}}$ ${\ displaystyle f}$

Формальное определение

Пусть функция от множества $Е$ к множеству $F$ . Если множество является подмножеством из $Е$ , то ограничение , чтобы функция ${\ displaystyle f: E \ to F}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle {f |} _ {A} \ двоеточие от A \ до F}

задано f | ( Х ) = е ( х ) для й в А . Неформально ограничение $f$ на $A$ - это та же функция, что и $f$ , но определено только на . ${\ displaystyle A \ cap \ operatorname {dom} f}$

Если функция $F$ будет рассматривать как отношение на декартово произведении , то сужение $F$ на $А$ может быть представлено его графике , где пары представляют собой упорядоченные пары в графе $G$ . ${\ Displaystyle (х, е (х))}$ ${\ displaystyle E \ times F}$ ${\ Displaystyle G ({е |} _ {A}) = \ {(x, f (x)) \ in G (f) \ mid x \ in A \} = G (f) \ cap (A \ times F)}$ ${\ Displaystyle (х, е (х))}$

Примеры

Ограничение неинъективной функции на область является инъекцией . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} = [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}$
Факториал функция является ограничением гаммы - функции на положительные целые числа, с аргументом сдвинут на один: ${\ Displaystyle {\ Gamma |} _ {\ mathbb {Z} ^ {+}} \! (п) = (п-1)!}$

Свойства ограничений

Ограничение функции всем ее доменом возвращает исходную функцию, т . Е .. ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f | _ {X} = f}$
Дважды ограничить функцию - это то же самое, что ограничить ее один раз, т.е. если , то . ${\ displaystyle A \ substeq B \ substeq \ operatorname {dom} f}$ ${\ displaystyle (f | _ {B}) | _ {A} = f | _ {A}}$
Ограничение тождественной функции на множестве X к подгруппе А из X является только отображение включения из A в X .
Ограничение непрерывной функции непрерывно.

Приложения

Обратные функции

Чтобы функция имела инверсию, она должна быть взаимно однозначной . Если функция $F$ не является взаимно однозначным, то можно определить частичный обратный из $F$ , ограничивая область. Например, функция

{\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}

определенное в целом не взаимно однозначно, так как x ² = (- x ) ² для любого x в . Однако функция становится взаимно однозначной, если мы ограничиваемся областью , и в этом случае ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0} = [0, \ infty)}$

{\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = {\ sqrt {y}}.}

(Если вместо этого мы ограничимся областью , то обратная величина будет отрицательной величиной квадратного корня из $y$ .) В качестве альтернативы, нет необходимости ограничивать область, если мы позволяем обратной функции быть многозначной . ${\ displaystyle (- \ infty, 0]}$

Операторы выбора

В реляционной алгебре , А выбор (иногда называемое ограничение , чтобы избежать путаницы с SQL использованием «S из SELECT) является унарной операция записывается как или где: ${\ Displaystyle \ sigma _ {а \ тета b} (R)}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {а \ тета v} (R)}$

${\ displaystyle a}$ и являются именами атрибутов, ${\ displaystyle b}$
${\ displaystyle \ theta}$ - бинарная операция в множестве , ${\ Displaystyle \ {<, \ Leq, =, \ neq, \ geq,> \}}$
${\ displaystyle v}$ постоянная величина,
${\ displaystyle R}$ это отношение .

Адресные выбирает все те кортежи , в течение которого существует между и в атрибуте. ${\ Displaystyle \ sigma _ {а \ тета b} (R)}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$

Выбор выбирает все те кортежи, для которых удерживается значение между атрибутом и значением . ${\ Displaystyle \ sigma _ {а \ тета v} (R)}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle v}$

Таким образом, оператор выбора ограничивается подмножеством всей базы данных.

Лемма о склеивании

Лемма о склейке - результат топологии, которая связывает непрерывность функции с непрерывностью ее ограничений на подмножества.

Позвольте быть два замкнутых подмножества (или два открытых подмножества) топологического пространства такие, что , и пусть также быть топологическим пространством. Если является непрерывным при ограничении обоими и , то является непрерывным. ${\ displaystyle X, Y}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle A = X \ чашка Y}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle f: от A \ до B}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f}$

Этот результат позволяет взять две непрерывные функции, определенные на замкнутых (или открытых) подмножествах топологического пространства, и создать новую.

Шкивы

Связки предоставляют способ обобщения ограничений на объекты помимо функций.

В теории пучков , сопоставляется объект в категории для каждого открытого множества $U$ в виде топологического пространства , и требует, чтобы объекты удовлетворяют определенные условия. Наиболее важным условием является наличие ограничивающих морфизмов между каждой парой объектов, связанных с вложенными открытыми множествами; то есть, если , то существует морфизм res _V_,_U : F ( U ) → F ( V ), удовлетворяющий следующим свойствам, имитирующим ограничение функции: ${\ Displaystyle F (U)}$ ${\ Displaystyle V \ substeq U}$

Для любого открытого множества U в X морфизм ограничения res _{U , U} : F ( U ) → F ( U ) является тождественным морфизмом на F ( U ).
Если мы имеем три открытые множества $W \subseteq V \subseteq U$ , то композитные $разрешения Ш, V \circ Рез V, U = Рез W, U$ .
(Локальность) Если ( U _i ) - открытое покрытие открытого множества U , и если s , t ∈ F ( U ) таковы, что $s | U i = t | U i$ для каждого множества U _i покрытия, тогда s = t ; и
(Склейка) Если ( U _i ) - открытое покрытие открытого множества U , и если для каждого i задано сечение $s i \in F (U i)$ такое, что для каждой пары U _i , U _j покрытия задает ограничения s _i и s _j согласуются с перекрытиями: $s i | U i \cap U j = s j | U i \cap U j$ , то существует сечение $s \in F (U)$ такое, что $s | U i = s i$ для каждого i .

Совокупность всех таких объектов называется связкой . Если выполняются только первые два свойства, это предварительная связка .

Левое и правое ограничение

В более общем смысле , ограничение (или ограничение домена или лево-ограничение ) $◁$ $R$ из бинарного отношения $R$ между $Е$ и $F$ может быть определена как отношение , обладающее домена $А$ , областью значений $Р$ и графа $G ($ $◁$ $R$ $) = {($ $х$ $,$ $y$ $) \in G ($ $R$ $) |$ $x$ $\in$ $A$ $}$ . Аналогичным образом можно определить правый ограничение или ограничение диапазона $R$ $▷$ $B$ . В самом деле, можно определить ограничение на $n-$ мерные отношения, а также на подмножества, понимаемые как отношения, такие как $E$ $\times$ $F$ для бинарных отношений. Эти случаи не укладываются в схему связок .

Анти-ограничение

Антиограничение области (или вычитание области ) функции или бинарного отношения $R$ (с областью $E$ и codomain $F$ ) набором $A$ может быть определено как $( E \ A ) ◁ R$ ; она удаляет все элементы $А$ из области $Е$ . Это иногда обозначается $A$ ⩤ $R$ . Точно так же антиограничение диапазона (или вычитание диапазона ) функции или бинарного отношения $R$ набором $B$ определяется как $R ▷ ( F \ B )$ ; она удаляет все элементы $B$ из кообласти $F$ . Это иногда обозначают $R$ ⩥ $B$ .

Languages

In other projects