Представительное кольцо - Representation ring

В математике , особенно в области алгебр известно как теории представлений , в кольце представлений (или Зеленое кольцо после JA Green ) от группы является кольцо формируется из всех (классов изоморфизма) конечномерных линейных представлений группы. Элементы кольца представлений иногда называют виртуальными представлениями. Для данной группы кольцо будет зависеть от базового поля представлений. Случай комплексных коэффициентов является наиболее развитым, но случай алгебраически замкнутых полей с характерным р где Силовские р -подгруппы являются циклическими также теоретически доступным.

Формальное определение

Принимая во внимание группы G и поля F , элементы его представление кольца R _F ( G ) формальные различия классов изоморфизма конечномерно линейные F -представлений G . Для кольцевой структуры, добавление задается прямой суммой представлений и умножением на их тензорное произведение над F . Когда F опускается в обозначении, как в R ( G ), тогда F неявно рассматривается как поле комплексных чисел.

Сжато, представление кольцо G является Гротендик кольца из категории конечномерных представлений G .

Примеры

• Для комплексных представлений циклической группы порядка n кольцо представлений R _C ( C _n ) изоморфно Z [ X ] / ( X ⁿ  - 1), где X соответствует комплексному представлению, отправляющему генератор группы в примитивный корень n- й степени из единицы.
• В более общем смысле, кольцо комплексного представления конечной абелевой группы может быть отождествлено с групповым кольцом группы характеров .
• Для рациональных представлений циклической группы порядка 3 кольцо представлений R _Q (C ₃ ) изоморфно Z [ X ] / ( X ²  -  X  - 2), где X соответствует неприводимому рациональному представлению размерности 2.
• Для модулярных представлений циклической группы порядка 3 над полем F характеристики 3 кольцо представлений R _F ( C ₃ ) изоморфно Z [ X , Y ] / ( X ²  -  Y  - 1, XY  - 2 Y , Y ²  - 3 Y ).
• Кольцо непрерывного представления R (S ¹ ) группы окружностей изоморфно Z [ X , X  ⁻¹ ]. Кольцо вещественных представлений - это подкольцо в R ( G ) элементов, фиксированных инволюцией на R ( G ), задаваемой X → X  ⁻¹ .
• Кольцо R _C ( S ₃ ) для симметрической группы в трех точках изоморфно Z [ X , Y ] / ( XY  -  Y , X ²  - 1, Y ²  -  X  -  Y  - 1), где X - это 1 -мерное альтернированное представление и Y 2-мерное неприводимое представление S ₃ .

Символы

Любое представление определяет характер х: G → C . Такая функция постоянна на классах сопряженности группы G , так называемая функция класса ; обозначим кольцо функций классов через C ( G ). Если G конечна, гомоморфизм R ( G ) → C ( G ) инъективен, так что R ( G ) можно отождествить с подкольцом в C ( G ). Для полей F , характеристика которых делит порядок группы G , гомоморфизм из R _F ( G ) → C ( G ), определенный характерами Брауэра, больше не является инъективным.

Для компактной связной группы R ( G ) изоморфно подкольцу в R ( T ) (где T - максимальный тор), состоящему из тех функций класса, которые инвариантны относительно действия группы Вейля (Atiyah and Hirzebruch, 1961). По поводу общей компактной группы Ли см. Сигал (1968).

λ-кольцо и операции Адамса

Учитывая представление G и натуральное число п , можно образовать в н -й внешней степени из представления, что опять - таки представление G . Это индуцирует операцию λ ⁿ  : R ( G ) → R ( G ). С помощью этих операций R ( G ) становится λ-кольцом .

В операции Адамса на представлении кольца R ( G ) являются отображения Ψ ^к характеризуются их влияния на символы χ:

${\ displaystyle \ Psi ^ {k} \ chi (g) = \ chi (g ^ {k}) \.}$

Операции Ψ ^k являются кольцевыми гомоморфизмами R ( G ) в себя, а на представлениях ρ размерности d

${\ Displaystyle \ Psi ^ {k} (\ rho) = N_ {k} (\ Lambda ^ {1} \ rho, \ Lambda ^ {2} \ rho, \ ldots, \ Lambda ^ {d} \ rho) \ }$

где Λ ⁱ ρ - внешние степени ρ, а N _k - сумма k-й степени, выраженная как функция d элементарных симметричных функций от d переменных.

Ссылки

• Атья, Майкл Ф .; Хирцебрух, Фридрих (1961), "Векторные расслоения и однородные пространства", Proc. Симпози. Чистая математика. , Американское математическое общество, III : 7–38, MR  0139181 , Zbl  0108.17705.
• Брекер, Теодор; Том Дик, Таммо (1985), Представления компактных групп Ли , Тексты для выпускников по математике , 98 , Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг, Токио: Springer-Verlag , ISBN 0-387-13678-9, Руководство по ремонту  1410059 , OCLC  11210736 , Zbl  0581.22009
• Сигал, Грэм (1968), "Кольцо представлений компактной группы Ли", Publ. Математика. IHES , 34 : 113–128, MR  0248277 , Zbl  0209.06203.
• Снайт, В. П. (1994), Явная индукция Брауэра: с приложениями к алгебре и теории чисел , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 40 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-46015-8, Zbl  0991.20005