Относительное изменение и различие - Relative change and difference

В любой количественной науке термины относительное изменение и относительная разница используются для сравнения двух величин с учетом «размеров» сравниваемых вещей. Сравнение выражается в виде отношения и представляет собой безразмерное число . Умножив эти отношения на 100, они могут быть выражены в процентах, поэтому обычно используются термины процентное изменение , процентная (возрастная) разница или относительная процентная разница . Различие между «изменением» и «разностью» зависит от того, одна из величин сравниваемого ли или не считаются стандартным или опорным или исходным значением. Когда это происходит, используется термин относительное изменение (по отношению к контрольному значению), в противном случае термин относительная разница предпочтительнее. Относительная разница часто используется в качестве количественного показателя обеспечения качества и контроля качества для повторных измерений, когда ожидается, что результаты будут одинаковыми. Особый случай процентного изменения (относительное изменение, выраженное в процентах), называемое процентной ошибкой, возникает в ситуациях измерения, когда эталонное значение является принятым или фактическим значением (возможно, теоретически определенным), а значение, которое сравнивается с ним, определяется экспериментально (путем измерения). .

Определения

Учитывая две числовые величины, х и у , их разность , Δ = х - у , можно назвать их фактическую разницу . Когда y является опорным значением (теоретическим / фактическим / правильным / принятым / оптимальным / начальным и т. Д. Значением; значение, с которым сравнивается x ), то Δ называется их фактическим изменением . Когда нет эталонного значения, знак Δ не имеет большого значения при сравнении двух значений, поскольку не имеет значения, какое из двух значений записывается первым, поэтому часто работают с | Δ | = | х - у | , абсолютная разность вместо Δ в этих ситуациях. Даже при наличии эталонного значения, если не имеет значения, больше или меньше сравниваемое значение, чем эталонное значение, вместо фактического изменения можно рассматривать абсолютную разницу.

Абсолютная разница между двумя значениями - не всегда хороший способ сравнить числа. Например, абсолютная разница в 1 между 6 и 5 более значительна, чем такая же абсолютная разница между 100 000 001 и 100 000 000. Мы можем скорректировать сравнение, чтобы учесть «размер» задействованных величин, определив для положительных значений ссылки x :

Относительное изменение не определен , если опорное значение ( х ссылка ) равна нулю.

Для значений, превышающих контрольное значение, относительное изменение должно быть положительным числом, а для меньших значений относительное изменение должно быть отрицательным. Приведенная выше формула ведет себя таким образом, только если ссылка x положительна, и меняет это поведение на противоположное, если ссылка x отрицательная. Например, если мы калибруем термометр, который показывает −6 ° C, тогда как он должен показывать −10 ° C, эта формула для относительного изменения (которое в данном случае называется относительной ошибкой ) дает ((−6) - (−10 )) / (-10) = 4 / -10 = -0,4 , но показание слишком высокое. Чтобы решить эту проблему, мы изменяем определение относительного изменения, чтобы оно работало правильно для всех ненулевых значений ссылки x :

Если отношение значения к контрольному значению (то есть большее или меньшее) не имеет значения в конкретном приложении, абсолютная разница может использоваться вместо фактического изменения в приведенной выше формуле для получения значения для относительное изменение, которое всегда неотрицательно.

Определение относительной разницы не так просто, как определение относительного изменения, поскольку не существует «правильного» значения для масштабирования абсолютной разницы. В результате есть много вариантов того, как определять относительную разницу, и какая из них используется, зависит от того, для чего используется сравнение. В целом можно сказать, что абсолютная разница | Δ | масштабируется некоторой функцией значений x и y , скажем, f ( x , y ) .

Как и в случае с относительным изменением, относительная разница не определена, если f ( x , y ) равно нулю.

Несколько общих вариантов для функции f ( x , y ) :

  • макс (| х |, | у |),
  • макс ( х , у ),
  • мин (| х |, | у |),
  • мин ( х , у ),
  • ( x + y ) / 2 и
  • (| х | + | у |) / 2.

Формулы

Меры относительной разницы - это безразмерные числа, выраженные в виде дробей . Соответствующие значения процентной разницы можно получить, умножив эти значения на 100 (и добавив знак%, чтобы указать, что значение является процентным).

Один из способов определить относительную разницу двух чисел - это взять их абсолютную разницу, разделенную на максимальное абсолютное значение двух чисел.

если хотя бы одно из значений не равно нулю. Этот подход особенно полезен при сравнении значений с плавающей запятой в языках программирования на равенство с определенным допуском. Другое приложение - вычисление ошибок аппроксимации, когда требуется относительная погрешность измерения.

Другой способ определить относительную разницу двух чисел - взять их абсолютную разницу, разделенную на некоторое функциональное значение двух чисел, например, на абсолютное значение их среднего арифметического :

Этот подход часто используется, когда два числа отражают изменение какого-то одного базового объекта. Проблема с описанным выше подходом возникает, когда функциональное значение равно нулю. В этом примере, если x и y имеют одинаковую величину, но противоположный знак, то

что вызывает деление на 0. Так что может быть лучше заменить знаменатель на среднее абсолютных значений x и  y :

Ошибка в процентах

Процентная погрешность - это частный случай процентной формы относительного изменения, вычисляемой как абсолютное изменение между экспериментальным (измеренным) и теоретическим (принятым) значениями и деленное на теоретическое (принятое) значение.

Термины «экспериментальный» и «теоретический», используемые в приведенном выше уравнении, обычно заменяются аналогичными терминами. Другие термины, используемые для экспериментальных, могут быть «измерены», «рассчитаны» или «фактические», а другой термин, используемый для теоретических, может быть «принят». Экспериментальная ценность - это то, что было получено с помощью вычислений и / или измерений, точность которых проверяется на соответствие теоретическому значению, значению, принятому научным сообществом, или значению, которое может рассматриваться как цель для успешного результата.

Хотя при обсуждении процентной ошибки обычно используется версия относительного изменения с абсолютным значением, в некоторых ситуациях может быть полезно удалить абсолютные значения, чтобы предоставить больше информации о результате. Таким образом, если экспериментальное значение меньше теоретического значения, ошибка в процентах будет отрицательной. Этот отрицательный результат дает дополнительную информацию об экспериментальном результате. Например, экспериментальное вычисление скорости света и получение отрицательной процентной ошибки говорит о том, что экспериментальное значение - это скорость, которая меньше скорости света. Это большое отличие от получения положительной процентной ошибки, что означает, что экспериментальное значение - это скорость, превышающая скорость света (нарушая теорию относительности ), и это заслуживающий освещения в печати результат.

Уравнение процентной ошибки при переписывании путем удаления абсолютных значений принимает следующий вид:

Важно отметить, что два значения в числителе не переключаются . Следовательно, очень важно сохранить порядок, указанный выше: вычесть теоретическое значение из экспериментального значения, а не наоборот.

Процентное изменение

Процентное изменение является способом выразить изменение переменного. Он представляет собой относительное изменение между старым значением и новым.

Например, если дом сегодня стоит 100 000 долларов, а через год после того, как его стоимость повысится до 110 000 долларов, процентное изменение его стоимости может быть выражено как

Тогда можно сказать, что стоимость дома выросла на 10%.

В более общем смысле, если V 1 представляет старое значение, а V 2 - новое,

Некоторые калькуляторы напрямую поддерживают это с помощью функции %CHили Δ%.

Когда рассматриваемая переменная сама по себе является процентным соотношением, лучше говорить об ее изменении, используя процентные точки , чтобы избежать путаницы между относительной разницей и абсолютной разницей .

Пример процентов от процентов

Если бы банк повысил процентную ставку по сберегательному счету с 3% до 4%, утверждение, что «процентная ставка была увеличена на 1%», было бы неоднозначным. Абсолютное изменение в этой ситуации составляет 1 процентный пункт (4% - 3%), но относительное изменение процентной ставки составляет:

В общем, термин «процентная точка (и)» указывает на абсолютное изменение или разницу в процентах, в то время как знак процента или слово «процент» относится к относительному изменению или разнице.

Примеры

Сравнения

Автомобиль M стоит 50 000 долларов, а автомобиль L - 40 000 долларов. Мы хотим сравнить эти затраты. Что касается автомобиля L , то абсолютная разница составляет 10 000 долларов = 50 000–40 000 долларов . То есть, автомобиль M стоит $ 10000 больше , чем автомобиль L . Относительная разница составляет,

и мы говорим , что машина M стоит 25% больше , чем автомобиль L . Также обычно выражают сравнение в виде отношения, которое в этом примере имеет вид

и мы говорим , что машина M стоит 125% от стоимости автомобиля L .

В этом примере стоимость автомобиля L считалась эталонным значением, но мы могли бы сделать выбор иным способом и рассматривать стоимость автомобиля M в качестве эталонного значения. Абсолютная разница теперь - $ 10 000 = $ 40 000 - $ 50 000 , так как автомобиль L стоит $ 10000 меньше , чем автомобиль М . Относительная разница,

также отрицательно , так как автомобиль L стоит 20% меньше , чем автомобиль М . Коэффициент формы сравнения,

говорит, что автомобиль L стоит 80% от стоимости автомобиля M.

Именно использование слов «из» и «меньше / больше чем» позволяет различать отношения и относительные различия.

Логарифмическая шкала

Изменение количества также можно выразить логарифмически. Использование натурального логарифма (ln) и нормализации с коэффициентом 100, как это сделано для процента, согласуется с определением процентного изменения для очень небольших изменений (называемых "изменение журнала" в таблицах ниже):

Использование логарифмической шкалы имеет преимущества. Во-первых, величина изменения, выраженная таким образом, одинакова независимо от того, выбрана ли V 1 или V 2 в качестве эталона, поскольку . Напротив, ошибка аппроксимации становится более значительной по мере расхождения V 2 и V 1 . Например:

V 1 V 2 Изменение журнала Изменять (%)
10 9 -10,5 -10,0
9 10 +10,5 +11,1

Еще одно преимущество состоит в том, что общее изменение после серии изменений равно сумме изменений при логарифмическом выражении. В процентах суммирование изменений является только приближением, с большей ошибкой для больших изменений. Например:

Изменение журнала 1 Изменение журнала 2 Общее изменение журнала Изменение 1 (%) Изменение 2 (%) Общее изменение (%)
10 5 15 10 5 15.5
10 −5 5 10 −5 4.5
10 10 20 10 10 21 год
10 −10 0 10 −10 −1
50 50 100 50 50 125
50 −50 0 50 −50 −25

Смотрите также

Заметки

Рекомендации