Рациональное разностное уравнение - Rational difference equation

Рациональное разностное уравнение является нелинейным разностным уравнением вида

${\ displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {\ alpha + \ sum _ {i = 0} ^ {k} \ beta _ {i} x_ {ni}} {A + \ sum _ {i = 0} ^ {k} B_ {i} x_ {ni}}} ~,}$

где начальные условия таковы, что знаменатель никогда не обращается в нуль ни при каком n . ${\ displaystyle x_ {0}, x _ {- 1}, \ dots, x _ {- k}}$

Рациональное разностное уравнение первого порядка

Рациональное разностное уравнение первого порядка является нелинейным разностным уравнением вида

${\ displaystyle w_ {t + 1} = {\ frac {aw_ {t} + b} {cw_ {t} + d}}.}$

Когда и начальное условие - действительные числа, это разностное уравнение называется разностным уравнением Риккати . ${\ displaystyle a, b, c, d}$${\ displaystyle w_ {0}}$

Такое уравнение можно решить, записав как нелинейное преобразование другой переменной, которая сама изменяется линейно. Затем можно использовать стандартные методы для решения линейного разностного уравнения в . ${\ displaystyle w_ {t}}$${\ displaystyle x_ {t}}$${\ displaystyle x_ {t}}$

Решение уравнения первого порядка

Первый подход

Один из подходов к разработке преобразованной переменной when - это написать ${\ displaystyle x_ {t}}$${\ displaystyle ad-bc \ neq 0}$

${\ displaystyle y_ {t + 1} = \ alpha - {\ frac {\ beta} {y_ {t}}}}$

где и и где . ${\ Displaystyle \ альфа = (а + г) / с}$${\ Displaystyle \ бета = (AD-BC) / с ^ {2}}$${\ displaystyle w_ {t} = y_ {t} -d / c}$

Можно показать, что дальнейшее написание дает ${\ Displaystyle у_ {т} = х_ {т + 1} / х_ {т}}$

${\ displaystyle x_ {t + 2} - \ alpha x_ {t + 1} + \ beta x_ {t} = 0.}$

Второй подход

Этот подход дает разностное уравнение первого порядка для вместо уравнения второго порядка для случая, когда оно неотрицательно. Напишите подразумевая , где дано и где . Тогда можно показать, что эволюционирует согласно ${\ displaystyle x_ {t}}$${\ Displaystyle (да) ^ {2} + 4bc}$${\ displaystyle x_ {t} = 1 / (\ eta + w_ {t})}$${\ displaystyle w_ {t} = (1- \ eta x_ {t}) / x_ {t}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ eta = (d-a + r) / 2c}$${\ Displaystyle г = {\ sqrt {(да) ^ {2} + 4bc}}}$${\ displaystyle x_ {t}}$

${\ displaystyle x_ {t + 1} = \ left ({\ frac {d- \ eta c} {\ eta c + a}} \ right) x_ {t} + {\ frac {c} {\ eta c + a}}.}$

Третий подход

Уравнение

${\ displaystyle w_ {t + 1} = {\ frac {aw_ {t} + b} {cw_ {t} + d}}}$

можно также решить, рассматривая его как частный случай более общего матричного уравнения

${\ Displaystyle X_ {t + 1} = - (E + BX_ {t}) (C + AX_ {t}) ^ {- 1},}$

где все матрицы A, B, C, E и X являются матрицами размера n × n (в данном случае n = 1); решение этого

${\ displaystyle X_ {t} = N_ {t} D_ {t} ^ {- 1}}$

куда

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} N_ {t} \\ D_ {t} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -B & -E \\ A&C \ end {pmatrix}} ^ {t} { \ begin {pmatrix} X_ {0} \\ I \ end {pmatrix}}.}$

Заявление

Было показано, что динамическое матричное уравнение Риккати вида

${\ displaystyle H_ {t-1} = K + A'H_ {t} A-A'H_ {t} C (C'H_ {t} C) ^ {- 1} C'H_ {t} A,}$

которые могут возникнуть в некоторых задачах оптимального управления с дискретным временем , могут быть решены с использованием второго подхода, описанного выше, если матрица C имеет только на одну строку больше, чем столбец.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Саймонс, Стюарт, "Нелинейное разностное уравнение", Mathematical Gazette 93, ноябрь 2009 г., стр. 500-504.