Радикальное расширение - Radical extension

В математике и более конкретно в теории поля , А радикальное расширение из поля K является продолжением из K , который получает присоединение последовательности п - й корней элементов.

Определение

Простое радикальное расширение является простым расширением Р / К порождается одним элементом , удовлетворяющим для элемента Ь из К . В характеристике p мы также считаем, что расширение с помощью корня многочлена Артина – Шрайера является простым радикальным расширением. Радикал серия представляет собой башню , где каждое расширение является простым радикальным расширением. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ альфа ^ {п} = Ь}$ ${\ Displaystyle К = F_ {0} <F_ {1} <\ cdots <F_ {k}}$${\ displaystyle F_ {i} / F_ ​​{i-1}}$

Характеристики

1. Если Е обозначает радикал расширения F и F является радикальным расширением К , то Е является радикальным расширением K .
2. Если Е и F являются радикальные расширения K в поле расширения C из K , то композит EF (наименьшее подполе C , который содержит как E и F ) является радикальным расширением K .
3. Если Е является радикальным расширением F и E  >  K  >  F , то Е является радикальным расширением  K .

Разрешимость радикалами

Радикальные расширения возникают естественным образом при решении полиномиальных уравнений в радикалах . На самом деле решение в радикалах является выражением раствора в качестве элемента радикальной серии: полином F над полем K называется разрешимыми радикалами , если есть поле разложения из F над K содержится в радикальном расширении K .

Теорема Абеля – Руффини утверждает, что такого решения в радикалах, вообще говоря, не существует для уравнений степени не ниже пятой. Галуа показал , что уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда , когда ее группа Галуа является разрешимой . Доказательство основано на основной теореме теории Галуа и следующей теореме.

Пусть K - поле, содержащее n различных корней n- й степени из единицы . Расширение K от степени п является радикальным расширением порождается п - й корнем элемента K тогда и только тогда , когда она является расширением Галуа , группа Галуа является циклической группой порядка п .

Доказательство связано с резольвентами Лагранжа . Позвольте быть примитивным корнем n- й степени из единицы (принадлежащим K ). Если расширение генерируется с помощью минимального многочлена , отображение индуцирует K -автоморфизм расширения, которое порождает группу Галуа, показывая импликацию «только если». Наоборот, если является K -автоморфизмом, порождающим группу Галуа, и является генератором расширения, пусть ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle x ^ {n} -a}$${\ displaystyle \ alpha \ mapsto \ omega \ alpha}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle \ alpha = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ omega ^ {- i} \ phi ^ {i} (\ beta).}$

Соотношение подразумевает , что произведение конъюгатов из (то есть образы с помощью K -автоморфизмов) принадлежит К , и равно произведению по произведению п - й корней единицы. Поскольку произведение корней n- й степени единиц равно , это означает, что расширение является радикальным расширением. ${\ Displaystyle \ фи (\ альфа) = \ омега \ альфа}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ альфа ^ {п}}$${\ displaystyle \ pm 1}$${\ displaystyle \ alpha ^ {n} \ in K,}$

Из этой теоремы следует, что расширение Галуа может быть выражено в виде радикального ряда тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима. Это, в современной терминологии, критерий разрешимости радикалами, предложенный Галуа. Доказательство использует тот факт, что замыкание Галуа простого радикального расширения степени n является его расширением с помощью примитивного корня n- й степени из единицы и что группа Галуа корней n- й степени из единицы является циклической.

использованная литература

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Роман, Стивен (2006). Теория поля . Тексты для выпускников по математике. 158 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-27677-7. Zbl  1172.12001 .