Квазиизометрия - Quasi-isometry

В математике , А квазиизометрия является функцией между двумя метрическими пространствами , что уважает крупномасштабную геометрию этих пространств и игнорирует их мелкие детали. Два метрических пространства квазиизометричны, если между ними существует квазиизометрия. Свойство квазиизометрии ведет себя как отношение эквивалентности в классе метрических пространств.

Понятие квазиизометрии особенно важно в геометрической теории групп после работ Громова .

Эта решетка квазиизометрична плоскости.

Определение

Предположим, что это функция (не обязательно непрерывная) из одного метрического пространства во второе метрическое пространство . Тогда называется квазиизометричности от до , если существуют константы , и таким образом, что следующие два свойства и удержание:

  1. Для каждых двух точек , и в , то расстояние между их образами до аддитивной постоянной в пределах коэффициента их первоначального расстояния. Более формально:
  2. Каждая точка находится на постоянном расстоянии от точки изображения. Более формально:

Два метрических пространства и называются квазиизометричными, если существует квазиизометрия от до .

Отображение называется квазиизометрическим вложением, если оно удовлетворяет первому условию, но не обязательно второму (т. Е. Оно грубо липшицево, но может не быть грубо сюръективным). Другими словами, если через отображение, квазиизометрично подпространству .

Два метрических пространства M 1 и M 2 называются квазиизометричными , обозначаются , если существует квазиизометрия .

Примеры

Карта между евклидовой плоскостью и плоскостью с манхэттенским расстоянием, которая отправляет каждую точку сама себе, является квазиизометрией: в ней расстояния умножаются не более чем на коэффициент . Обратите внимание, что не может быть изометрии, так как, например, точки находятся на одинаковом расстоянии друг от друга на манхэттенском расстоянии, но в плоскости Евклиды нет 4 точек, находящихся на одинаковом расстоянии друг от друга.

Карта (обе с евклидовой метрикой ), которая отправляет каждый -набор целых чисел себе, является квазиизометрией: расстояния точно сохраняются, и каждый действительный кортеж находится в пределах расстояния целочисленного кортежа. В другом направлении прерывная функция, которая округляет каждый кортеж действительных чисел до ближайшего целочисленного кортежа, также является квазиизометрией: каждая точка переносится этой картой в точку на расстоянии от нее, поэтому округление изменяет расстояние между парами чисел. очков, прибавляя или вычитая максимум .

Каждая пара конечных или ограниченных метрических пространств квазиизометрична. В этом случае каждая функция из одного пространства в другое является квазиизометрией.

Отношение эквивалентности

Если это квазиизометрия, то существует квазиизометрия . В самом деле, может быть определено, позволяя быть любой точкой в изображении , что находится в пределах расстояния от , и позволяя быть любой точкой в .

Поскольку тождественное отображение является квазиизометрией, а композиция двух квазиизометрий является квазиизометрией, из этого следует, что свойство быть квазиизометрией ведет себя как отношение эквивалентности в классе метрических пространств.

Использование в геометрической теории групп

Принимая во внимание конечное порождающее множество S конечно порожденной группы G , можно образовать соответствующий граф Кэли из S и G . Этот граф становится метрическим пространством, если мы объявляем длину каждого ребра равной 1. Если взять другое конечное порождающее множество T, получится другой граф и другое метрическое пространство, однако эти два пространства квазиизометричны. Этот класс квазиизометрии таким образом , является инвариант группы G . Любое свойство метрических пространств, которое зависит только от класса квазиизометрии пространства, немедленно дает другой инвариант групп, открывая область теории групп для геометрических методов.

В более общем смысле лемма Шварца – Милнора утверждает, что если группа G действует правильно разрывно с компактным фактором на собственном геодезическом пространстве X, то G квазиизометрична X (что означает, что любой граф Кэли для G является таким). Это дает новые примеры групп, квазиизометричных друг другу:

  • Если G ' - подгруппа конечного индекса в G, то G' квазиизометрична G ;
  • Если G и H - фундаментальные группы двух компактных гиперболических многообразий одинаковой размерности d, то они оба квазиизометричны гиперболическому пространству H d и, следовательно, друг другу; с другой стороны, существует бесконечно много классов квазиизометрий фундаментальных групп конечного объема.

Квазигеодезические и лемма Морса

Квази-геодезический в метрическом пространстве является квазиизометрическим вложением в . Точнее такая карта , что существует такая, что

называется -квазигеодезической. Очевидно, геодезические (параметризованные длиной дуги) являются квазигеодезическими. Тот факт, что в некоторых пространствах примерно верно обратное, т.е. что каждая квазигеодезическая остается в пределах ограниченного расстояния от истинной геодезической, называется леммой Морса (не путать с, возможно, более широко известной леммой Морса в дифференциальной топологии). Формально заявление:

Пусть и собственное δ-гиперболическое пространство . Существует такая , что для любой -квазигеодезической существует геодезическая в такая, что для всех .

Это важный инструмент в геометрической теории групп. Непосредственное применение состоит в том, что любая квазиизометрия между собственными гиперболическими пространствами индуцирует гомеоморфизм между их границами. Этот результат является первым шагом в доказательстве теоремы о жесткости Мостова .

Примеры квазиизометрийных инвариантов групп

Ниже приведены некоторые примеры свойств групповых графов Кэли, инвариантных относительно квазиизометрии:

Гиперболичность

Группа называется гиперболической, если один из ее графов Кэли является δ-гиперболическим пространством для некоторого δ. При переводе между различными определениями гиперболичности конкретное значение δ может измениться, но полученные в результате понятия гиперболической группы оказываются эквивалентными.

У гиперболических групп есть разрешимая проблема слов . Они являются двуавтоматическими и автоматическими . Действительно, они строго геодезически автоматические , то есть в группе существует автоматическая структура, в которой язык, принимаемый акцептором слова, представляет собой набор всех геодезических слов.

Рост

Темпы роста из группы по отношению к симметричной генераторной установке описывает размер шариков в группе. Каждый элемент в группе может быть записан как произведение генераторов, а скорость роста учитывает количество элементов, которые могут быть записаны как произведение длины n .

Согласно теореме Громова группа полиномиального роста практически нильпотентна , т. Е. Имеет нильпотентную подгруппу конечного индекса . В частности, порядок полиномиального роста должен быть натуральным числом и по сути .

Если растет медленнее, чем любая экспоненциальная функция, G имеет субэкспоненциальную скорость роста . Любая такая группа поддается .

Заканчивается

В торцах из более топологического пространства , грубо говоря, компоненты связности на «идеальную границе» пространства. То есть каждый конец представляет собой топологически отличный способ перемещения в бесконечность в пространстве. Добавление точки на каждом конце дает компактификацию исходного пространства, известную как конечная компактификация .

Концы конечно порожденной группы определяются как концы соответствующего графа Кэли ; это определение не зависит от выбора конечного порождающего множества. Каждая конечно порожденная бесконечная группа имеет 0,1, 2 или бесконечно много концов, и теорема Столлингса о концах групп обеспечивает разложение для групп с более чем одним концом.

Если два связных локально конечных графа квазиизометричны, то у них одинаковое количество концов. В частности, две квазиизометрические конечно порожденные группы имеют одинаковое количество концов.

Снисходительность

Аменабельная группа является локально компактной топологической группой G , несущим вида операции усреднения на ограниченных функциях, которое инвариантно относительно сдвига на группы элементы. Первоначальное определение в терминах конечно-аддитивной инвариантной меры (или среднего) на подмножествах G было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием «messbar» («измеримый» на английском языке) в ответ на предложение Банаха – Тарского. парадокс . В 1949 году Махлон М. Дэй ввел английский перевод «amenable», по-видимому, как игра слов.

В теории дискретных групп , где G имеет дискретную топологию , используется более простое определение. В этом случае группа считается приемлемой, если можно сказать, какую долю G занимает какое-либо данное подмножество.

Если в группе есть последовательность Фёльнера, то она автоматически поддается изменению.

Асимптотический конус

Ультрапредельным представляет собой геометрическую конструкцию , которая сопоставляет последовательности метрических пространств X п предельного метрического пространства. Важным классом сверхпределов являются так называемые асимптотические конусы метрических пространств. Пусть ( X , d ) - метрическое пространство, пусть ω - неглавный ультрафильтр на и пусть p n  ∈  X - последовательность базовых точек. Тогда ω- сверхпредел последовательности называется асимптотическим конусом X относительно ω и обозначается . Часто считают, что последовательность базовых точек постоянна, p n = p для некоторого p ∈ X ; в этом случае асимптотический конус не зависит от выбора p ∈ X и обозначается через или just .

Понятие асимптотического конуса играет важную роль в геометрической теории групп, поскольку асимптотические конусы (или, точнее, их топологические типы и билипшицевы типы ) обеспечивают квазиизометрические инварианты метрических пространств вообще и конечно порожденных групп в частности. Асимптотические конусы также оказываются полезным инструментом при изучении относительно гиперболических групп и их обобщений.

Смотрите также

Рекомендации