Функция четвертой степени - Quartic function

График многочлена степени 4 с 3 критическими точками и четырьмя действительными корнями (пересечения оси x ) (и, следовательно, без комплексных корней). Если бы один или другой локальный минимум был выше оси x , или если бы локальный максимум был ниже него, или если бы не было локального максимума и одного минимума ниже оси x , было бы только два действительных корня (и два комплексных корнеплоды). Если бы все три локальных экстремума были выше оси x или если бы не было локального максимума и одного минимума выше оси x , не было бы действительного корня (и четырех комплексных корней). То же самое относится и к полиномам с отрицательным коэффициентом квартики.

В алгебре , квартик функция является функцией вида

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e,}

где отлична от нуля, которое определяется полиномом от степени четыре, называется квартика многочлен .

Квартика уравнение , или уравнение четвертой степени, является уравнением , что соответствует квартику многочлена к нулю, вид

{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0,}

где a ≠ 0 . Производная из квартике функции является кубической функцией .

Иногда термин биквадратичная используется вместо четвертичной , но, как правило, биквадратичная функция относится к квадратичной функции квадрата (или, что то же самое, к функции, определяемой полиномом четвертой степени без членов нечетной степени), имеющей вид

{\ displaystyle f (x) = ax ^ {4} + cx ^ {2} + e.}

Поскольку функция четвертой степени определяется полиномом четной степени, она имеет тот же бесконечный предел, когда аргумент переходит в положительную или отрицательную бесконечность . Если a положительно, функция возрастает до положительной бесконечности на обоих концах; и, таким образом, функция имеет глобальный минимум . Аналогично, если a отрицательно, оно уменьшается до отрицательной бесконечности и имеет глобальный максимум. В обоих случаях он может иметь или не иметь другого локального максимума и другого локального минимума.

Четвертая степень (четвертый случай) - это наивысшая степень, при которой любое полиномиальное уравнение может быть решено радикалами .

История

Лодовико Феррари приписывают открытие решения квартики в 1540 году, но поскольку это решение, как и все алгебраические решения квартики, требует решения кубики , его нельзя было опубликовать немедленно. Решение квартики было опубликовано вместе с решением кубической наставником Феррари Джероламо Кардано в книге Ars Magna .

Советский историк И. Я. Депман ( ru ) утверждал, что еще раньше, в 1486 году, испанского математика Вальмеса сожгли на костре за то, что он утверждал, что решил уравнение четвертой степени. Генерал-инквизитор Томас де Торквемада якобы сказал Вальмесу, что по воле Бога такое решение было недоступно человеческому пониманию. Однако Бекманн , который популяризировал эту историю Депмана на Западе, сказал, что она ненадежна, и намекнул, что она, возможно, была придумана как советская антирелигиозная пропаганда. Версия этой истории Бекманном была широко скопирована в нескольких книгах и на интернет-сайтах, обычно без его оговорок, а иногда и с причудливыми украшениями. Несколько попыток найти подтверждающие доказательства этой истории или даже существования Вальмеса потерпели неудачу.

Доказательство того, что четыре является высшей степенью общего многочлена, для которого могут быть найдены такие решения, было впервые дано в теореме Абеля – Руффини в 1824 году, доказав, что все попытки решить многочлены более высокого порядка будут тщетными. Заметки, оставленные Эваристом Галуа перед смертью на дуэли в 1832 году, позже привели к элегантной полной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.

Приложения

Каждая координата точек пересечения двух конических сечений является решением уравнения четвертой степени. То же верно и для пересечения прямой и тора . Отсюда следует, что уравнения четвертой степени часто возникают в вычислительной геометрии и во всех связанных областях, таких как компьютерная графика , компьютерное проектирование , автоматизированное производство и оптика . Вот примеры других геометрических задач, решение которых включает решение уравнения четвертой степени.

В автоматизированном производстве тор представляет собой форму, которая обычно ассоциируется с концевой фрезой. Чтобы вычислить его положение относительно триангулированной поверхности, положение горизонтального тора на оси $z$ должно быть найдено там, где он касается фиксированной линии, а это требует вычисления решения общего уравнения четвертой степени.

Уравнение четвертой степени возникает также в процессе решения задачи о скрещенных лестницах , в которой длины двух скрещенных лестниц, каждая из которых опирается на одну стену и опирается на другую, задаются вместе с высотой, на которой они пересекаются, и расстоянием между ними. стены должны быть найдены.

В оптике проблема Альхазена заключается в следующем: « Имея источник света и сферическое зеркало, найдите точку на зеркале, где свет будет отражаться в глаз наблюдателя». Это приводит к уравнению четвертой степени.

Нахождение расстояния наибольшего сближения двух эллипсов требует решения уравнения четвертой степени.

В собственных значениях из 4 × 4 матрицы являются корнями полинома четвертой степени , которая является характеристическим полиномом матрицы.

Характеристическое уравнение линейного разностного уравнения четвертого порядка или дифференциального уравнения является уравнением четвертой степени. Пример возникает в теории изгиба балки Тимошенко-Рэлея .

Пересечения сфер, цилиндров или других квадрик можно найти с помощью уравнений четвертой степени.

Точки перегиба и золотое сечение

Пусть $F$ и $G$ - различные точки перегиба графика функции четвертой степени, а $H$ - пересечение секущей линии перегиба $FG$ и квартики, более близкое к $G,$ чем к $F$ , тогда $G$ делит $FH$ на золотое сечение :

{\ displaystyle {\ frac {FG} {GH}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} = \ varphi \; ({\ text {золотое сечение}}).}

Кроме того, площадь области между секущей линией и квартикой ниже секущей равна площади области между секущей линией и квартикой над секущей линией. Один из этих регионов разделен на подобласти равной площади.

Решение

Природа корней

Учитывая общее уравнение квартики

{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0}

с действительными коэффициентами и $a \neq 0$ характер его корней в основном определяется знаком его дискриминанта

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta = {} & 256a ^ {3} e ^ {3} -192a ^ {2} bde ^ {2} -128a ^ {2} c ^ {2} e ^ {2 } + 144a ^ {2} cd ^ {2} e-27a ^ {2} d ^ {4} \\ & + 144ab ^ {2} ce ^ {2} -6ab ^ {2} d ^ {2} e -80abc ^ {2} de + 18abcd ^ {3} + 16ac ^ {4} e \\ & - 4ac ^ {3} d ^ {2} -27b ^ {4} e ^ {2} + 18b ^ {3 } cde-4b ^ {3} d ^ {3} -4b ^ {2} c ^ {3} e + b ^ {2} c ^ {2} d ^ {2} \ end {align}}}

Это можно уточнить, рассматривая знаки четырех других многочленов:

{\ Displaystyle P = 8ac-3b ^ {2}}

такой, что $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} п/8 а 2$ - коэффициент второй степени ассоциированной депрессивной квартики (см. ниже );

{\ displaystyle R = b ^ {3} + 8da ^ {2} -4abc,}

такой, что $р / 8 а 3$ - коэффициент первой степени ассоциированной вдавленной квартики;

{\ displaystyle \ Delta _ {0} = c ^ {2} -3bd + 12ae,}

который равен 0, если квартика имеет тройной корень; а также

{\ displaystyle D = 64a ^ {3} e-16a ^ {2} c ^ {2} + 16ab ^ {2} c-16a ^ {2} bd-3b ^ {4}}

что равно 0, если у квартики два двойных корня.

Возможные варианты характера корней следующие:

Если $∆ <0,$ то уравнение имеет два различных действительных корня и два комплексно сопряженных невещественных корня.
Если ∆> 0, то либо все четыре корня уравнения действительны, либо нет ни одного.
- Если $P$ <0 и $D$ <0, то все четыре корня действительны и различны.
- Если $P$ > 0 или $D$ > 0, то есть две пары невещественных комплексно сопряженных корней.
Если ∆ = 0, то (и только тогда) многочлен имеет кратный корень. Вот возможные случаи:
- Если $P$ <0 и $D$ <0 и $∆ 0 \neq 0$ , существуют действительный двойной корень и два вещественных простых корня.
- Если $D$ > 0 или ( $P$ > 0 и ( $D$ ≠ 0 или $R$ ≠ 0)), существуют действительный двойной корень и два комплексно сопряженных корня.
- Если $∆ 0 = 0$ и $D$ ≠ 0, существуют тройной корень и простой корень, все действительные.
- Если D = 0, то:
  - Если $P$ <0, есть два действительных двойных корня.
  - Если $P$ > 0 и $R$ = 0, существует два комплексно сопряженных двойных корня.
  - Если $∆ 0 = 0$ , все четыре корня равны $- б / 4 а$

Есть некоторые случаи, которые, кажется, не покрыты, но они не могут произойти. Например, $∆ 0 > 0$ , $P$ = 0 и $D$ ≤ 0 не один из случаев. Фактически, если $∆ 0 > 0$ и $P$ = 0, то $D$ > 0, поскольку такая комбинация невозможна. ${\ displaystyle 16a ^ {2} \ Delta _ {0} = 3D + P ^ {2};}$

Общая формула корней

Решение выписано полностью. Эта формула слишком громоздка для общего использования; поэтому обычно используются другие методы или более простые формулы для особых случаев.

{\ displaystyle x ^ {4} + ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}

Четыре корня $x 1$ , $x 2$ , $x 3$ и $x 4$ для общего уравнения четвертой степени

{\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0 \,}

с $a$ ≠ 0 приведены в следующей формуле, которая выводится из формулы в разделе о методе Феррари путем обратной замены переменных (см. § Преобразование в пониженную квартику ) и использования формул для квадратных и кубических уравнений .

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1,2} \ & = - {\ frac {b} {4a}} - S \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-4S ^ {2} -2p + {\ frac {q} {S}}}} \\ x_ {3,4} \ & = - {\ frac {b} {4a}} + S \ pm {\ frac {1} { 2}} {\ sqrt {-4S ^ {2} -2p - {\ frac {q} {S}}}} \ end {align}}}

где $p$ и $q$ - коэффициенты второй и первой степени соответственно в соответствующей депрессивной квартике.

{\ displaystyle {\ begin {align} p & = {\ frac {8ac-3b ^ {2}} {8a ^ {2}}} \\ q & = {\ frac {b ^ {3} -4abc + 8a ^ { 2} d} {8a ^ {3}}} \ конец {выровнено}}}

и где

{\ displaystyle {\ begin {align} S & = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {- {\ frac {2} {3}} \ p + {\ frac {1} {3a}} \ left (Q + {\ frac {\ Delta _ {0}} {Q}} \ right)}} \\ Q & = {\ sqrt [{3}] {\ frac {\ Delta _ {1} + {\ sqrt {\ Дельта _ {1} ^ {2} -4 \ Delta _ {0} ^ {3}}}} {2}}} \ end {выровнено}}}

(если $S = 0$ или $Q = 0$ , см. § Частные случаи формулы ниже)

с участием

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta _ {0} & = c ^ {2} -3bd + 12ae \\\ Delta _ {1} & = 2c ^ {3} -9bcd + 27b ^ {2} e + 27ad ^ {2} -72ace \ end {align}}}

а также

{\ displaystyle \ Delta _ {1} ^ {2} -4 \ Delta _ {0} ^ {3} = - 27 \ Delta \,}

где - упомянутый дискриминант . Для выражения кубического корня для Q можно использовать любой из трех кубических корней в комплексной плоскости, хотя, если один из них реальный, это самый естественный и простой выбор. Математические выражения этих последних четырех членов очень похожи на их кубические аналоги .

{\ displaystyle \ Delta}

Частные случаи формулы

Если значение не является действительным комплексным числом. В этом случае либо все корни нереальны, либо все реальны. В последнем случае значение также реально, несмотря на то, что выражается в терминах этого, это casus unducibilis кубической функции, расширенной до текущего контекста квартики. Можно предпочесть выразить это чисто реально, используя тригонометрические функции , следующим образом: ${\ displaystyle \ Delta> 0,}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle Q;}$

{\ displaystyle S = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {- {\ frac {2} {3}} \ p + {\ frac {2} {3a}} {\ sqrt {\ Delta _ { 0}}} \ cos {\ frac {\ varphi} {3}}}}}

куда

{\ displaystyle \ varphi = \ arccos \ left ({\ frac {\ Delta _ {1}} {2 {\ sqrt {\ Delta _ {0} ^ {3}}}}} \ right).}

Если и должен быть выбран знак, чтобы иметь это, то следует определить как поддержание знака ${\ displaystyle \ Delta \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {0} = 0,}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Delta _ {1} ^ {2} -4 \ Delta _ {0} ^ {3}}} = {\ sqrt {\ Delta _ {1} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle Q \ neq 0,}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Delta _ {1} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {1},}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {1}.}$
Если тогда нужно изменить выбор кубического корня , чтобы иметь это всегда возможно, кроме случаев, когда квартика может быть разложена на множитель. Тогда результат правильный, но вводящий в заблуждение, потому что он скрывает тот факт, что в этом случае кубический корень не нужен. . На самом деле этот случай может иметь место только тогда , когда числитель из равена нуль, и в этом случае связанных депрессий квартик биквадратный; таким образом, ее можно решить с помощью метода, описанного ниже . ${\ displaystyle S = 0,}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle S \ neq 0.}$ ${\ displaystyle \ left (x + {\ tfrac {b} {4a}} \ right) ^ {4}.}$ ${\ displaystyle q}$
Если и, следовательно, также по крайней мере три корня равны друг другу, и корни являются рациональными функциями коэффициентов. Тройной корень является общим корнем квартики, а ее вторая производная, таким образом, также является единственным корнем остатка от евклидова деления квартики на ее вторую производную, которая является линейным многочленом. Простой корень можно вывести из ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {0} = 0,}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {1} = 0,}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle 2 (6ax ^ {2} + 3bx + c);}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {1} + 3x_ {0} = - b / a.}$
Если и приведенное выше выражение для корней является правильным, но вводящим в заблуждение, скрывая тот факт, что многочлен приводимый и для представления корней не требуется кубический корень. ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {0} \ neq 0,}$

Более простые случаи

Восстанавливаемые квартики

Рассмотрим общую квартику

{\ displaystyle Q (x) = a_ {4} x ^ {4} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0}.}

Это сводится, если $Q (x) = R (x) \times S (x)$ , где $R (x)$ и $S (x)$ - непостоянные многочлены с рациональными коэффициентами (или, в более общем смысле, с коэффициентами в том же поле, что и коэффициенты из $Q (x)$ ). Такая факторизация примет одну из двух форм:

{\ displaystyle Q (x) = (x-x_ {1}) (b_ {3} x ^ {3} + b_ {2} x ^ {2} + b_ {1} x + b_ {0})}

или

{\ displaystyle Q (x) = (c_ {2} x ^ {2} + c_ {1} x + c_ {0}) (d_ {2} x ^ {2} + d_ {1} x + d_ {0) }).}

В любом случае корни $Q (x)$ являются корнями множителей, которые могут быть вычислены с использованием формул для корней квадратичной функции или кубической функции .

Обнаружить существование таких факторизаций можно с помощью резольвентной кубики $Q (x)$ . Оказывается, что:

если мы работаем над $R$ (то есть, если коэффициенты ограничены действительными числами) (или, в более общем смысле, над некоторым действительным замкнутым полем ), то всегда есть такая факторизация;
если мы работаем над $Q$ (то есть, если коэффициенты ограничены рациональными числами), тогда существует алгоритм, чтобы определить, является ли $Q (x)$ приводимым, и, если да, то как выразить его как произведение многочленов меньшей степени.

В самом деле, несколько методов решения уравнений (квартик метод Феррари , метод Декарта , и, в меньшей степени, метод Эйлера ) основаны на поиск таких факторизаций.

Биквадратное уравнение

Если $a 3 = a 1 = 0,$ то биквадратичная функция

{\ Displaystyle Q (x) = a_ {4} x ^ {4} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {0} \, \!}

определяет биквадратное уравнение , которое легко решить.

Пусть вспомогательная переменная $z = x 2$ . Тогда $Q (x)$ становится квадратичным $q$ по $z$ : $q (z) = a 4 z 2 + a 2 z + a 0$ . Пусть $z +$ и $z -$ корни $q (z)$ . Тогда корни нашей квартики $Q (x)$ равны

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} & = + {\ sqrt {z _ {+}}}, \\ x_ {2} & = - {\ sqrt {z _ {+}}}, \\ x_ {3} & = + {\ sqrt {z _ {-}}}, \\ x_ {4} & = - {\ sqrt {z _ {-}}}. \ End {align}}}

Квазипалиндромное уравнение

Полином

{\ Displaystyle P (x) = a_ {0} x ^ {4} + a_ {1} x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} mx + a_ {0} m ^ {2}}

почти палиндромно , так как $P (mx) = х 4 / м 2 P (м / Икс)$ (палиндромно, если $m = 1$ ). Замена переменных $z = x + м / Икс$ в $Р (х) / х 2 = 0$ дает квадратное уравнение $a 0 z 2 + a 1 z + a 2 - 2 ma 0 = 0$ . Поскольку $x 2 - xz + m = 0$ , уравнение четвертой степени $P (x) = 0$ может быть решено путем двойного применения формулы корней квадратного уравнения .

Методы решения

Преобразование в депрессивную квартику

В целях решения, как правило, лучше преобразовать квартику в пониженную квартику следующей простой заменой переменной. Все формулы проще, и некоторые методы работают только в этом случае. Корни исходной квартики легко восстанавливаются из корней пониженной квартики путем обратной замены переменной.

Позволять

{\ displaystyle a_ {4} x ^ {4} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {1} x + a_ {0} = 0}

- общее уравнение квартики, которое мы хотим решить.

Деление на $более 4$ , обеспечивает эквивалентное уравнение $х 4 + BX 3 + сх 2 + дх + е = 0$ , при $Ь = а 3 / а 4$ , $c = а 2 / а 4$ , $d = а 1 / а 4$ , и $e = а 0 / а 4$ . Подставляя $y - б / 4$ для $x$ дает после перегруппировки членов уравнение $y 4 + py 2 + qy + r = 0$ , где

{\ displaystyle {\ begin {align} p & = {\ frac {8c-3b ^ {2}} {8}} = {\ frac {8a_ {2} a_ {4} -3 {a_ {3}} ^ { 2}} {8 {a_ {4}} ^ {2}}} \\ q & = {\ frac {b ^ {3} -4bc + 8d} {8}} = {\ frac {{a_ {3}} ^ {3} -4a_ {2} a_ {3} a_ {4} + 8a_ {1} {a_ {4}} ^ {2}} {8 {a_ {4}} ^ {3}}} \\ r & = {\ frac {-3b ^ {4} + 256e-64bd + 16b ^ {2} c} {256}} = {\ frac {-3 {a_ {3}} ^ {4} + 256a_ {0} { a_ {4}} ^ {3} -64a_ {1} a_ {3} {a_ {4}} ^ {2} + 16a_ {2} {a_ {3}} ^ {2} a_ {4}} {256 {a_ {4}} ^ {4}}}. \ end {align}}}

Если $y 0$ является корнем этой вдавленной квартики, то $y 0 - б / 4$ (то есть $y 0 - а 3 / 4 а 4)$ является корнем исходной квартики, и каждый корень исходной квартики может быть получен этим процессом.

Решение Ferrari

Как объяснялось в предыдущем разделе, мы можем начать с уравновешенного уравнения четвертой степени.

{\ displaystyle y ^ {4} + py ^ {2} + qy + r = 0.}

Эта пониженная квартика может быть решена с помощью метода, открытого Лодовико Феррари . Углубленное уравнение можно переписать (это легко проверить, развернув квадрат и перегруппировав все члены в левой части) как

{\ displaystyle \ left (y ^ {2} + {\ frac {p} {2}} \ right) ^ {2} = - qy-r + {\ frac {p ^ {2}} {4}}.}

Затем мы вводим переменную $m$ в множитель в левой части, добавляя $2 y 2 m + pm + m 2$ к обеим сторонам. После перегруппировки коэффициентов при мощности $y$ в правой части это дает уравнение

{\ displaystyle \ left (y ^ {2} + {\ frac {p} {2}} + m \ right) ^ {2} = 2my ^ {2} -qy + m ^ {2} + mp + {\ frac {p ^ {2}} {4}} - r,}

( 1 )

что эквивалентно исходному уравнению, какое бы значение ни было присвоено $m$ .

Поскольку значение $m$ может быть выбрано произвольно, мы выберем его, чтобы заполнить квадрат справа. Это означает, что дискриминант по $y$ этого квадратного уравнения равен нулю, то есть $m$ является корнем уравнения

{\ displaystyle (-q) ^ {2} -4 (2m) \ left (m ^ {2} + pm + {\ frac {p ^ {2}} {4}} - r \ right) = 0, \, }

который можно переписать как

{\ displaystyle 8m ^ {3} + 20pm ^ {2} + (2p ^ {2} -8r) mq ^ {2} = 0.}

( 1а )

Это резольвентная кубика уравнения четвертой степени. Таким образом, значение $m$ может быть получено из формулы Кардано . Когда $m$ является корнем этого уравнения, правая часть уравнения ( 1 ) представляет собой квадрат

{\ displaystyle \ left ({\ sqrt {2m}} y - {\ frac {q} {2 {\ sqrt {2m}}}} \ right) ^ {2}.}

Однако это вызывает деление на ноль, если $m = 0$ . Это означает, что $q = 0$ , и, таким образом, депрессивное уравнение является биквадратичным и может быть решено более простым методом (см. Выше). Это не было проблемой во времена Ferrari, когда решались только явно заданные уравнения с числовыми коэффициентами. Таким образом, для общей формулы, которая всегда верна, нужно выбрать корень кубического уравнения так, чтобы $m 0$ . Это всегда возможно, за исключением подавленного уравнения $y 4 = 0$ .

Теперь, если $m$ - корень кубического уравнения, такой что $m \neq 0$ , уравнение ( 1 ) принимает вид

{\ displaystyle \ left (y ^ {2} + {\ frac {p} {2}} + m \ right) ^ {2} = \ left (y {\ sqrt {2m}} - {\ frac {q}) {2 {\ sqrt {2m}}}} \ right) ^ {2}.}

Это уравнение имеет вид $M 2 = N 2$ , который можно переформатировать как $M 2 - N 2 = 0$ или $(M + N) (M - N) = 0$ . Следовательно, уравнение ( 1 ) можно переписать как

{\ displaystyle \ left (y ^ {2} + {\ frac {p} {2}} + m + {\ sqrt {2m}} y - {\ frac {q} {2 {\ sqrt {2m}}}}} \ right) \ left (y ^ {2} + {\ frac {p} {2}} + m - {\ sqrt {2m}} y + {\ frac {q} {2 {\ sqrt {2m}}}}} \ right) = 0.}

Это уравнение легко решить, применив к каждому множителю формулу корней квадратного уравнения . Решая их, мы можем записать четыре корня как

{\ displaystyle y = {\ pm _ {1} {\ sqrt {2m}} \ pm _ {2} {\ sqrt {- \ left (2p + 2m \ pm _ {1} {{\ sqrt {2}}) q \ over {\ sqrt {m}}} \ right)}} \ over 2},}

где $\pm 1$ и $\pm 2$ обозначают либо $+,$ либо $-$ . Поскольку два появления $\pm 1$ должны обозначать один и тот же знак, это оставляет четыре возможности, по одной для каждого корня.

Следовательно, решения исходного уравнения четвертой степени имеют вид

{\ displaystyle x = - {a_ {3} \ over 4a_ {4}} + {\ pm _ {1} {\ sqrt {2m}} \ pm _ {2} {\ sqrt {- \ left (2p + 2m \ pm _ {1} {{\ sqrt {2}} q \ over {\ sqrt {m}}} \ right)}} \ over 2}.}

Сравнение с общей формулой выше показывает , что $\sqrt 2 м = 2 S$ .

Решение Декарта

Декарт ввел в 1637 г. метод нахождения корней многочлена четвертой степени путем разложения его на два квадратичных. Позволять

{\ displaystyle {\ begin {align} x ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e & = (x ^ {2} + sx + t) (x ^ {2} + ux + v) \\ & = x ^ {4} + (s + u) x ^ {3} + (t + v + su) x ^ {2} + (sv + tu) x + tv \ end {выровнено} }}

По приравнивая коэффициенты , это приводит к следующей системе уравнений:

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} b = s + u \\ c = t + v + su \\ d = sv + tu \\ e = tv \ end {array}} \ right .}

Это может быть упрощено, начав снова с нажатой квартике $у 4 + р 2 + QY + г$ , которое может быть получено путем подстановки $у - Ь / 4$ для $х$ . Поскольку коэффициент при $y 3$ равен $0$ , получаем $s = - u$ , и:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} p + u ^ {2} = t + v \\ q = u (tv) \\ r = tv \ end {array}} \ right.}

Теперь можно устранить как $t, так$ и $v$ , выполнив следующие действия:

{\ displaystyle {\ begin {align} u ^ {2} (p + u ^ {2}) ^ {2} -q ^ {2} & = u ^ {2} (t + v) ^ {2} - u ^ {2} (tv) ^ {2} \\ & = u ^ {2} [(t + v + (tv)) (t + v- (tv))] \\ & = u ^ {2} ( 2t) (2v) \\ & = 4u ^ {2} tv \\ & = 4u ^ {2} r \ end {выровнено}}}

Если положить $U = u 2$ , то решение этого уравнения сводится к нахождению корней резольвентной кубики

{\ Displaystyle U ^ {3} + 2pU ^ {2} + (p ^ {2} -4r) Uq ^ {2},}

( 2 )

что сделано в другом месте . Эта резольвентная кубика эквивалентна резольвентной кубике, приведенной выше (уравнение (1a)), что можно увидеть, подставив U = 2m.

Если $u$ является квадратным корнем из ненулевого корня этой резольвенты (такой ненулевой корень существует за исключением квартики $x 4$ , которая тривиально факторизуется),

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} s = -u \\ 2t = p + u ^ {2} + q / u \\ 2v = p + u ^ {2} -q / u \ end {array}} \ right.}

Симметрии в этом решении следующие. У кубики есть три корня, соответствующие трем способам разложения квартики на две квадратики, и выбор положительных или отрицательных значений $u$ вместо квадратного корня из $U$ просто меняет местами две квадратики друг с другом.

Приведенное выше решение показывает, что многочлен четвертой степени с рациональными коэффициентами и нулевым коэффициентом при кубическом члене факторизуем в квадратики с рациональными коэффициентами тогда и только тогда, когда либо резольвентная кубика ( 2 ) имеет ненулевой корень, который является квадратом рационального , или $p 2 - 4 r$ - квадрат рационального числа и $q = 0$ ; это легко проверить с помощью критерия рационального корня .

Решение Эйлера

Вариант предыдущего метода принадлежит Эйлеру . В отличие от предыдущих методов, оба из которых используют некоторый корень резольвентной кубики, метод Эйлера использует их все. Рассмотрим вдавленную четверку $x 4 + px 2 + qx + r$ . Заметим, что если

$x 4 + px 2 + qx + r = (x 2 + sx + t) (x 2 - sx + v)$ ,
$r 1$ и $r 2$ являются корнями $x 2 + sx + t$ ,
$r 3$ и $r 4$ являются корнями $x 2 - sx + v$ ,

тогда

корни $x 4 + px 2 + qx + r$ равны $r 1$ , $r 2$ , $r 3$ и $r 4$ ,
$г 1 + г 2 = - с$ ,
$г 3 + г 4 = с$ .

Следовательно, $(r 1 + r 2) (r 3 + r 4) = - s 2$ . Другими словами, $- (r 1 + r 2) (r 3 + r 4)$ является одним из корней резольвентной кубики ( 2 ), и это предполагает, что корни этой кубики равны $- (r 1 + r 2) (r 3 + r 4)$ , $- (r 1 + r 3) (r 2 + r 4)$ и $- (r 1 + r 4) (r 2 + r 3)$ . Это действительно так, и это следует из формул Виета . Из формул Виета вместе с тем фактом, что мы работаем с вдавленной квартикой, также следует, что $r 1 + r 2 + r 3 + r 4 = 0$ . (Конечно, это также следует из того факта, что $r 1 + r 2 + r 3 + r 4 = - s + s$ .) Следовательно, если $α$ , $β$ и $γ$ - корни резольвентной кубики, то числа $r 1$ , $r 2$ , $r 3$ и $r 4$ таковы, что

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} r_ {1} + r_ {2} + r_ {3} + r_ {4} = 0 \\ (r_ {1} + r_ {2}) (r_ {3} + r_ {4}) = - \ alpha \\ (r_ {1} + r_ {3}) (r_ {2} + r_ {4}) = - \ beta \\ (r_ {1} + r_ {4}) (r_ {2} + r_ {3}) = - \ gamma {\ text {.}} \ end {array}} \ right.}

Следствием первых двух уравнений является то, что $r 1 + r 2$ является квадратным корнем из $α$ и что $r 3 + r 4$ является другим квадратным корнем из $α$ . По той же причине,

$r 1 + r 3$ - квадратный корень из $β$ ,
$r 2 + r 4$ - другой квадратный корень из $β$ ,
$r 1 + r 4$ - квадратный корень из $γ$ ,
$r 2 + r 3$ - другой квадратный корень из $γ$ .

Следовательно, числа $r 1$ , $r 2$ , $r 3$ и $r 4$ таковы, что

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} r_ {1} + r_ {2} + r_ {3} + r_ {4} = 0 \\ r_ {1} + r_ {2} = { \ sqrt {\ alpha}} \\ r_ {1} + r_ {3} = {\ sqrt {\ beta}} \\ r_ {1} + r_ {4} = {\ sqrt {\ gamma}} {\ text {;}} \ end {array}} \ right.}

Знак квадратного корня будет рассмотрен ниже. Единственное решение этой системы:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} r_ {1} = {\ frac {{\ sqrt {\ alpha}} + {\ sqrt {\ beta}} + {\ sqrt {\ gamma}) }} {2}} \\ [2 мм] r_ {2} = {\ frac {{\ sqrt {\ alpha}} - {\ sqrt {\ beta}} - {\ sqrt {\ gamma}}} {2} } \\ [2 мм] r_ {3} = {\ frac {- {\ sqrt {\ alpha}} + {\ sqrt {\ beta}} - {\ sqrt {\ gamma}}} {2}} \\ [ 2 мм] r_ {4} = {\ frac {- {\ sqrt {\ alpha}} - {\ sqrt {\ beta}} + {\ sqrt {\ gamma}}} {2}} {\ text {.}} \ end {array}} \ right.}

Поскольку, как правило, есть два варианта для каждого квадратного корня, может показаться, что это дает $8 (= 2 3)$ вариантов для набора ${r 1, r 2, r 3, r 4$ }, но на самом деле он предоставляет не более $2$ таких вариантов, поскольку следствием замены одного из квадратных корней симметричным является то, что набор ${r 1, r 2, r 3, r 4$ } становится набором ${- r 1, - r 2, - r 3, - r 4$ }.

Чтобы определить правильный знак квадратных корней, нужно просто выбрать некоторый квадратный корень для каждого из чисел $α$ , $β$ и $γ$ и использовать их для вычисления чисел $r 1$ , $r 2$ , $r 3$ и $r 4$ из числа предыдущие равенства. Затем вычисляется число $\sqrt α \sqrt β \sqrt γ$ . Поскольку $α$ , $β$ и $γ$ являются корнями уравнения ( 2 ), из формул Виета следует, что их произведение равно $q 2$ и, следовательно, $\sqrt α \sqrt β \sqrt γ = \pm q$ . Но прямое вычисление показывает, что

\sqrt & alpha; \sqrt & beta; \sqrt & gamma = г 1 г 2 г 3 + г 1 г 2 г 4 + г 1 г 3 г 4 + г 2 г 3 г 4 .

Если это число $- q$ , то выбор квадратных корней был удачным (опять же, по формулам Виета); в противном случае корни многочлена будут $- r 1$ , $- r 2$ , $- r 3$ и $- r 4$ , которые являются числами, полученными, если один из квадратных корней заменить симметричным (или, что составляет то же самое, если каждый из трех квадратных корней заменить симметричным).

Этот аргумент предлагает другой способ выбора квадратных корней:

возьмем любой квадратный корень $\sqrt α$ из $α$ и любой квадратный корень $\sqrt β$ из $β$ ;
определим $\sqrt γ$ как . ${\ displaystyle - {\ frac {q} {{\ sqrt {\ alpha}} {\ sqrt {\ beta}}}}}$

Конечно, это не будет иметь смысла, если $α$ или $β$ равны $0$ , но $0$ является корнем ( 2 ) только тогда, когда $q = 0$ , то есть только когда мы имеем дело с биквадратным уравнением , и в этом случае существует гораздо более простой подход.

Решение резольвентой Лагранжа

В симметрической группы $S 4$ на четыре элемента имеет Klein четыре группы в качестве нормальной подгруппы . Это предполагает использование резольвентная кубика , корни которой могут быть по-разному описаны как дискретное преобразование Фурье илиматричноепреобразование корнейАдамара; общий методсм. в разделе «Резольвенты Лагранжа». Обозначим через $x i$ для $i$ от $0$ до $3$ четыре корня $x 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e$ . Если мы установим

{\ displaystyle {\ begin {align} s_ {0} & = {\ tfrac {1} {2}} (x_ {0} + x_ {1} + x_ {2} + x_ {3}), \\ [ 4pt] s_ {1} & = {\ tfrac {1} {2}} (x_ {0} -x_ {1} + x_ {2} -x_ {3}), \\ [4pt] s_ {2} & = {\ tfrac {1} {2}} (x_ {0} + x_ {1} -x_ {2} -x_ {3}), \\ [4pt] s_ {3} & = {\ tfrac {1} {2}} (x_ {0} -x_ {1} -x_ {2} + x_ {3}), \ end {align}}}

тогда, поскольку преобразование является инволюцией, мы можем точно так же выразить корни через четыре $s i$ . Поскольку мы знаем значение $s 0 = - б / 2$ , нам нужны только значения для $s 1$ , $s 2$ и $s 3$ . Это корни многочлена

{\ displaystyle (s ^ {2} - {s_ {1}} ^ {2}) (s ^ {2} - {s_ {2}} ^ {2}) (s ^ {2} - {s_ {3) }} ^ {2}).}

Подставляя $s i$ их значениями в $x i$ , этот многочлен можно разложить в многочлен от $s$ , коэффициенты которого являются симметричными многочленами от $x i$ . Согласно основной теореме о симметричных многочленах , эти коэффициенты могут быть выражены как многочлены от коэффициентов монической квартики. Если для упрощения предположить, что квартика вдавлена, то есть $b = 0$ , это приводит к полиному

{\ displaystyle s ^ {6} + 2cs ^ {4} + (c ^ {2} -4e) s ^ {2} -d ^ {2}}

( 3 )

Этот многочлен имеет шестую степень, но только третью степень по $s 2$ , поэтому соответствующее уравнение разрешимо методом, описанным в статье о кубической функции . Подставляя корни в выражение $x i$ через $s i$ , мы получаем выражение для корней. Фактически мы получаем, по-видимому, несколько выражений в зависимости от нумерации корней кубического многочлена и знаков, поставленных их квадратным корням. Все эти различные выражения можно вывести из одного из них, просто изменив нумерацию $x i$ .

Эти выражения излишне усложнены и включают кубические корни из единицы , которых можно избежать следующим образом. Если $s$ - любой ненулевой корень из ( 3 ), и если мы положим

{\ displaystyle {\ begin {align} F_ {1} (x) & = x ^ {2} + sx + {\ frac {c} {2}} + {\ frac {s ^ {2}} {2}} - {\ frac {d} {2s}} \\ F_ {2} (x) & = x ^ {2} -sx + {\ frac {c} {2}} + {\ frac {s ^ {2}} {2}} + {\ frac {d} {2s}} \ end {align}}}

тогда

{\ displaystyle F_ {1} (x) \ times F_ {2} (x) = x ^ {4} + cx ^ {2} + dx + e.}

Поэтому мы можем решить квартику, решив относительно $s,$ а затем решив корни двух множителей, используя формулу корней квадратного уравнения .

Это дает в точности ту же формулу для корней, что и метод Декарта .

Решение с алгебраической геометрией

Существует альтернативное решение с использованием алгебраической геометрии.Короче говоря, корни интерпретируются как пересечение двух квадратичных кривых, а затем находятся три приводимые квадратичные кривые (пары прямых), которые проходят через эти точки (это соответствует резольвентной кубике, пары линий, являющихся резольвентами Лагранжа), а затем используйте эти линейные уравнения для решения квадратичной.

Четыре корня вдавленной квартики $x 4 + px 2 + qx + r = 0$ также могут быть выражены как координаты $x$ пересечений двух квадратных уравнений $y 2 + py + qx + r = 0$ и $y - x 2 = 0$ т. Е. Использование замены $y = x 2,$ что две квадратичные системы пересекаются в четырех точках, является примером теоремы Безу . Явно четыре точки - это $P i ≔ (x i, x i 2)$ для четырех корней $x i$ квартики.

Эти четыре точки не коллинеарны, потому что они лежат на неприводимой квадратичной $y = x 2,$ и, следовательно, существует однопараметрическое семейство квадратичных точек ( пучок кривых ), проходящих через эти точки. Запись проективизации двух квадратичных форм в виде квадратичных форм от трех переменных:

{\ displaystyle {\ begin {align} F_ {1} (X, Y, Z) &: = Y ^ {2} + pYZ + qXZ + rZ ^ {2}, \\ F_ {2} (X, Y, Z) &: = YZ-X ^ {2} \ end {align}}}

пучок задается формами $λF 1 + μF 2$ для любой точки $[λ, μ]$ проективной прямой - другими словами, где $λ$ и $μ$ не равны нулю, и умножение квадратичной формы на константу не меняет ее квадратичная кривая нулей.

Этот пучок состоит из трех приводимых квадратичных, каждая из которых соответствует паре линий, каждая проходящая через две из четырех точек, что может быть сделано = $6$ различными способами. Обозначим эти $Q$ $1$ $=$ $L$ $12$ $+$ $L$ $34$ , $Q$ $2$ $=$ $L$ $13$ $+$ $L$ $24$ и $Q$ $3$ $=$ $L$ $14$ $+$ $L$ $23$ . Учитывая любые два из них, их пересечение имеет ровно четыре точки. ${\ displaystyle \ textstyle {\ binom {4} {2}}}$

Приводимые квадратики, в свою очередь, могут быть определены путем выражения квадратичной формы $λF 1 + μF 2$ в виде матрицы $3 \times 3$ : приводимые квадратики соответствуют этой матрице, являющейся сингулярной, что эквивалентно нулю ее определителя, а определитель является однородный многочлен третьей степени по $λ$ и $μ$ и соответствует резольвентной кубике.

Смотрите также

Линейная функция - линейное отображение или полиномиальная функция первой степени.
Квадратичная функция - Полиномиальная функция второй степени
Кубическая функция - Полиномиальная функция степени 3
Quintic function - Полиномиальная функция степени 5

использованная литература

дальнейшее чтение

Карпентер, В. (1966). «О растворе настоящей квартики». Математический журнал . 39 (1): 28–30. DOI : 10.2307 / 2688990 . JSTOR 2688990 .
Якуб, доктор медицины; Фрейденрайх, Г. (июль 2012 г.). «Решение уравнения четвертой степени». Математический вестник . 96 : 271–275. DOI : 10,1017 / s002555720000454x .

Languages

In other projects