Квантовый логический вентиль - Quantum logic gate

В квантовых вычислений и конкретно схемы квантовой модели вычислений , А квантовый логический элемент (или просто квантовый вентиль ) является основным рабочим квантовой цепи на небольшом количестве кубитов . Они являются строительными блоками квантовых схем, как классические логические вентили для обычных цифровых схем.

В отличие от многих классических логических вентилей, квантовые логические вентили обратимы . Однако можно выполнять классические вычисления, используя только обратимые вентили. Например, обратимый вентиль Тоффоли может реализовывать все логические функции, часто за счет использования вспомогательных битов . У ворот Тоффоли есть прямой квантовый эквивалент, показывающий, что квантовые схемы могут выполнять все операции, выполняемые классическими схемами.

Квантовые вентили являются унитарными операторами и описываются как унитарные матрицы относительно некоторого базиса . Обычно мы используем расчетную базу , которая , если не сравнивать его с чем - то, просто означает , что для г -уровны квантовой системы (например, кубита , в квантовом регистре , или qutrits и qudits ) мы обозначили ортогональные базисные векторы , или использования двоичная запись .

Общие квантовые логические элементы по имени (включая аббревиатуру), форме (формам) схемы и соответствующим унитарным матрицам.

История

Квантовый полный сумматор , данный Фейнманом в 1986 году. Он состоит только из вентилей Тоффоли и CNOT . Вентиль, окруженный пунктирным квадратом на этом рисунке, может быть опущен, если невычисления для восстановления выхода B не требуются.

Нынешняя нотация квантовых вентилей была разработана многими из основоположников квантовой информатики, включая Адриано Баренко, Чарльза Беннета , Ричарда Клив , Дэвида П. Ди Винченцо , Нормана Марголуса , Питера Шора , Тихо Слиатора , Джона А. Смолина и Харальда Вайнфуртера, опираясь на обозначения, введенные Ричардом Фейнманом .

Представление

Состояния одиночного кубита, которые не запутаны и не имеют глобальной фазы, могут быть представлены как точки на поверхности сферы Блоха , записанные как Вращения вокруг осей x, y, z сферы Блоха представлены вентилями оператора вращения .

Квантовые логические вентили представлены унитарными матрицами . Вентиль, который действует на кубиты , представлен унитарной матрицей, а множество всех таких вентилей с групповой операцией умножения матриц является группой симметрии U (2 n ) . В квантовых состояниях , что ворота действуют на являются единичными векторами в сложных измерениях, где норма представляет собой модуль в квадрате. В базисных векторов (иногда называемые собственные состояния ) являются возможные результаты , если измеренные и квантовое состояние представляет собой линейную комбинацию из этих результатов. Наиболее распространенные квантовые вентили работают с векторными пространствами из одного или двух кубитов, точно так же, как обычные классические логические вентили работают с одним или двумя битами .

Несмотря на то, что квантовые логические вентили принадлежат к непрерывной группе симметрии, реальное оборудование неточно и, следовательно, ограничено в точности. Применение вентилей обычно приводит к ошибкам, и точность квантовых состояний со временем снижается. Если используется исправление ошибок , используемые вентили дополнительно ограничиваются конечным набором. Позже в этой статье это иногда игнорируется, поскольку основное внимание уделяется математическим свойствам квантовых вентилей.

Квантовые состояния обычно представлены «кетами» из обозначения, известного как bra-ket .

Векторное представление отдельного кубита:

Здесь и - комплексные амплитуды вероятностей кубита. Эти значения определяют вероятность измерения 0 или 1 при измерении состояния кубита. Подробнее см. Измерения ниже.

Нулевое значение представлено кетом , а значение один представлено кетом .

Тензорное произведение (или произведение Кронекера ) используется для объединения квантовых состояний. Комбинированное состояние двух кубитов является тензорным произведением двух кубитов. Тензорное произведение обозначается символом .

Векторное представление двух кубитов:

Действие логического элемента на конкретное квантовое состояние определяется путем умножения вектора, представляющего состояние, на матрицу, представляющую логический элемент. Результат - новое квантовое состояние :

Известные примеры

Существует бесчисленное множество ворот. Некоторые из них были названы разными авторами, а ниже следуют некоторые из наиболее часто используемых в литературе.

Ворота идентичности

Идентификационный вентиль - это единичная матрица , обычно обозначаемая как I , и определяется для отдельного кубита как

где I не зависит от базиса и не изменяет квантовое состояние. Идентификационный вентиль наиболее полезен при математическом описании результата различных операций вентильного элемента или при обсуждении многокубитовых схем.

Ворота Паули ( X , Y , Z )

Ворота Паули представляют собой три матрицы Паули и действуют на один кубит. X , Y и Z Паули приравниваются, соответственно, к вращению вокруг осей x , y и z сферы Блоха на радианы.

Паули Х ворот квантовый эквивалент НЕ - вентилем для классических компьютеров по отношению к стандартной основе , , который отличает г ось на сфере Блоха . Иногда его называют переворотом битов, поскольку он сопоставляется с и с . Точно так же Pauli- Y отображается в и в . Pauli Z оставляет базовое состояние без изменений и отображается в . Из-за этой природы его иногда называют переворотом фазы.

Эти матрицы обычно представляют как

Матрицы Паули инволютивны , что означает, что квадрат матрицы Паули является единичной матрицей .

Например, матрицы Паули также антикоммутируют .

Квадратный корень из логического элемента НЕ ( НЕ )

Квантовая принципиальная схема элемента извлечения квадратного корня из НЕ

Квадратный корень из логического элемента НЕ (или квадратный корень из Pauli- X , ) действует на один кубит. Он отображает базовое состояние в и в . В матричной форме это дается выражением

,

такой, что

Эта операция представляет собой поворот на π / 2 вокруг оси x на сфере Блоха.

Контролируемые ворота

Принципиальная схема управляемых ворот Паули (слева направо): CNOT (или управляемый- X ), управляемый- Y и управляемый- Z .

Управляемые вентили действуют на 2 или более кубитов, где один или несколько кубитов действуют как элемент управления для некоторой операции. Например, управляемый вентиль НЕ (или CNOT или CX) действует на 2 кубита и выполняет операцию НЕ на втором кубите только тогда, когда есть первый кубит , и в противном случае оставляет его без изменений. Что касается основы , , , , оно представлено матрицей:

Вентиль CNOT (или управляемый Pauli- X ) можно описать как вентиль, который отображает базовые состояния , где - XOR .

В более общем смысле, если U - вентиль, который работает с одним кубитом с матричным представлением

тогда управляемый U-вентиль - это вентиль, который работает с двумя кубитами таким образом, что первый кубит служит в качестве элемента управления. Он отображает базовые состояния следующим образом.

Схематическое изображение управляемого U- образного элемента

Матрица, представляющая управляемый U, имеет вид

Когда U является одним из операторов Паули, X , Y , Z , иногда используются соответствующие термины «управляемый- X », «управляемый- Y » или «управляемый- Z ». Иногда сокращается до всего лишь C X , C Y и C Z .

Управление может быть распространено на гейты с произвольным количеством кубитов и функций на языках программирования.

Управляемая функция или вентиль ведет себя концептуально по-разному в зависимости от того, приближается ли к ней до измерения или после измерения : с точки зрения до измерения управляемая функция одновременно выполняется на всех этих базовых состояниях суперпозиции ( линейной комбинации ) возможных результатов. , которые соответствуют элементам управления. Если вместо этого подойти к нему с точки зрения после измерения , контролируемая функция либо выполнилась, либо нет, в зависимости от того, какое базовое состояние было измерено.

Фазовые вентили

Фазовый сдвиг - это семейство однокубитовых вентилей, которые отображают базовые состояния и . Вероятность измерения a или не изменяется после применения этого логического элемента, однако он изменяет фазу квантового состояния. Это эквивалентно трассировка горизонтального круга (линия широты) на сфере Блохи от радианов. Фазовый вентиль представлен матрицей:

где - фазовый сдвиг с периодом . Некоторые общие примеры являются Т затвора , где фаза затвора (написана S , хотя S иногда используется для SWAP ворот) , где и Паули Z ворота , где .

Вентили фазового сдвига связаны друг с другом следующим образом:

для всех реальных, кроме 0

Аргумент логического элемента сдвига фазы находится в U (1) , и логический элемент выполняет поворот фазы в U (1) в соответствии с заданным базисным состоянием (например, вращает фазу вокруг ) . U (1) является подгруппой U (n) и содержит фазу квантовой системы. Продление с возможностью вращения вокруг общей фазы оба базисных состояний квантовой системы 2 уровня (а кубит ) может быть сделано с помощью последовательной цепи : . Когда эти ворота являются воротами оператора вращения .

Представляя глобальный фазовый вентиль, мы также получаем личность .

Произвольные однокубитовые вентили с фазовым сдвигом изначально доступны для квантовых процессоров Transmon через синхронизацию микроволновых управляющих импульсов. Объясняется это сменой кадра .

Контролируемый фазовый сдвиг

2-кубитный вентиль с фазовым сдвигом:

Что касается вычислительной основы, он сдвигает фазу только в том случае, если действует на состояние :

CZ ворота это особый случай , когда .

Ворота оператора вращения

Оператор вращения ворота и являются аналоговые матрицы поворота в трех декартовых осей из SO (3) , оси на сфере Блоха проекции:

Поскольку матрицы Паули связаны с генератором вращений, эти операторы вращения могут быть записаны в виде матричных экспонент с матрицами Паули в аргументе. Любую унитарную матрицу в SU (2) можно записать как произведение (т. Е. Последовательную схему ) трех или менее поворотных вентилей. Обратите внимание, что для двухуровневых систем, таких как кубиты и спиноры , эти вращения имеют период . Поворот на (360 градусов) возвращает тот же вектор состояния с другой фазой.

У нас также есть и для всех

Матрицы вращения связаны с матрицами Паули следующим образом:

Ворота Адамара

Ворота Адамара ( французский:  [adamaʁ] ) действуют на один кубит. Он отображает базовые состояния и (т.е. создает суперпозицию, если задано базовое состояние). Он представляет собой вращение вокруг оси на сфере Блоха . Он представлен матрицей Адамара :

Схема ворот Адамара

H - инволютивная матрица. Используя операторы вращения , у нас есть тождества: и Controlled- H gate также можно определить, как описано в разделе контролируемых ворот .

Вентиль Адамара можно рассматривать как унитарное преобразование, которое отображает операции кубита по оси z на ось x и наоборот. Так , например, , , и .

Своп ворота

Схематическое изображение SWAP-ворот

Своп-гейт меняет местами два кубита. Что касается основы , , , , представляется матрицей:

Квадратный корень из своп-ворот

Схематическое представление SWAP- ворот

В SWAP ворот выполняет полпути из двухкубитовой подкачки. Он универсален, так что любой многокубитовый вентиль может быть построен только из SWAP и одиночных кубитовых вентилей. SWAP ворот не является, однако , максимально запутывание; требуется более одного его применения для создания состояния Bell из состояний продукта. Что касается основы , , , , оно представлено матрицей:

Эти ворота естественным образом возникают в системах, использующих обменное взаимодействие .

Ворота Тоффоли (CCNOT)

Схема ворот Тоффоли

Ворота Тоффоли, названные в честь Томмазо Тоффоли ; также называется воротами CCNOT или Deutsch gate ; представляет собой 3-битный вентиль, который универсален для классических вычислений, но не для квантовых вычислений. Квантовый вентиль Тоффоли - это тот же вентиль, определенный для 3 кубитов. Если мы ограничимся приемом только входных кубитов, которые являются и , тогда, если первые два бита находятся в состоянии, он применяет Pauli- X (или НЕ) к третьему биту, иначе он ничего не делает. Это пример управляемых ворот. Поскольку это квантовый аналог классического гейта, он полностью определяется таблицей истинности. Гейт Тоффоли универсален в сочетании с одиночным кубитным вентилем Адамара.

Таблица истинности Матричная форма
ВХОД ВЫХОД
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 0

Гейт Тоффоли связан с классическими операциями AND ( ) и XOR ( ), поскольку он выполняет отображение состояний в вычислительной основе.

Фредкин (CSWAP) ворота

Схематическое изображение ворот Фредкина

Шлюз Фредкина (также CSWAP или CS-шлюз), названный в честь Эдварда Фредкина , представляет собой 3-битный шлюз, который выполняет управляемую замену . Он универсален для классических вычислений. Он имеет то полезное свойство, что повсюду сохраняется количество нулей и единиц, что в модели бильярдного шара означает, что на входе выводится одинаковое количество шаров.

Таблица истинности Матричная форма
ВХОД ВЫХОД
C Я 1 Я 2 C O 1 O 2
 0   0   0   0   0   0 
0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0
1 1 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1

Сцепные ворота Изинг

Вентили связи Изинга R xx , R yy и R zz представляют собой 2-кубитные вентили, которые изначально реализованы в некоторых квантовых компьютерах с захваченными ионами . Эти ворота определены как

Воображаемый своп (iSWAP)

Для систем с Ising-подобными взаимодействиями иногда более естественно ввести воображаемый swap или шлюз iSWAP, определяемый как

где его квадратная корневая версия дается выражением


Учтите, что и ездят, так и .

Немецкие ворота

Ворота Дойча (или ), названные в честь физика Дэвида Дойча, представляют собой ворота с тремя кубитами. Он определяется как

К сожалению, работающий шлюз Deutsch остался вне досягаемости из-за отсутствия протокола. Есть предложения реализовать вентиль Дойча с диполь-дипольным взаимодействием в нейтральных атомах.

Универсальные квантовые ворота

Оба CNOT и являются универсальными двухкубитными вентилями и могут быть преобразованы друг в друга.

Набор универсальных квантовых вентилей - это любой набор вентилей, к которым может быть сведена любая операция, возможная на квантовом компьютере, то есть любая другая унитарная операция может быть выражена как конечная последовательность вентилей из набора. Технически это невозможно с чем-то меньшим, чем несчетный набор вентилей, поскольку количество возможных квантовых вентилей неисчислимо, тогда как количество конечных последовательностей из конечного множества счетно . Чтобы решить эту проблему, нам нужно только, чтобы любая квантовая операция могла быть аппроксимирована последовательностью вентилей из этого конечного набора. Более того, для унитарных систем на постоянном числе кубитов теорема Соловая – Китаева гарантирует, что это может быть сделано эффективно.

Операторы вращения R x ( θ ) , R y ( θ ) , R z ( θ ) , фазовый вентиль P ( φ ) и CNOT образуют широко используемый универсальный набор квантовых вентилей.

Распространенным универсальным набором вентилей является набор вентилей Clifford + T , который состоит из вентилей CNOT, H , S и T. Само по себе множество Клиффорда не универсально и может эффективно моделироваться классическим методом с помощью теоремы Готтесмана-Книлла .

Ворот Toffoli формирует набор универсальных ворот для обратимых логических схем. Двухэлементный набор универсальных квантовых вентилей, содержащий вентиль Тоффоли, может быть построен путем добавления в этот набор вентилей Адамара.

Набор универсальных квантовых вентилей с одним вентилем также может быть сформулирован с использованием трехкубитного гейта Дойча .

Универсальный логический вентиль для обратимых классических вычислений, вентиль Тоффоли, сводится к вентилю Дойча , тем самым показывая, что все обратимые классические логические операции могут выполняться на универсальном квантовом компьютере.

Также существует единственный двухкубитовый вентиль, достаточный для универсальности, учитывая, что он может быть применен к любым парам кубитов в цепи ширины .

Состав схемы

Последовательно подключенные ворота

Два входа Y и X последовательно. Порядок, в котором они появляются на проводе, меняется на обратный при их умножении.

Предположим, что у нас есть два элемента A и B , которые действуют на кубиты. Когда Б помещают после того, как A в последовательной цепи, то эффект от двух ворот может быть описан в виде одного затвора C .

Где это умножение матриц . В результате чего ворота С будет иметь те же размеры, что A и B . Порядок, в котором вентили появляются на принципиальной схеме, меняется на обратный при их умножении.

Например, размещение гейта Паули X после логического элемента Паули Y , оба из которых действуют на один кубит, можно описать как один комбинированный вентиль C :

Символ продукта ( ) часто опускается.

Экспоненты квантовых вентилей

Все действительные показатели унитарных матриц также являются унитарными матрицами, и все квантовые вентили являются унитарными матрицами.

Положительные целые показатели эквивалентны последовательностям последовательно соединенных вентилей (например ), а действительные показатели являются обобщением последовательной схемы. Например, и оба являются действительными квантовыми вентилями.

для любой унитарной матрицы . Единичная матрица ( ) ведет себя как NOP и может быть представлена в виде неизолированного провода в квантовых схемах, или не показан вообще.

Все ворота унитарные матрицы, так что и , где это сопряженное транспонирование . Это означает , что отрицательные показатели ворота являются унитарными обратными их положительно экспоненцируются коллеги: . Например, некоторые отрицательные экспоненты вентилей сдвига фазы равны и .

Параллельные ворота

Два ворот и параллельно равносильно воротам

Тензорное произведение (или продукт Кронекера ) из двух квантовых вентилей являются воротами , что равно двум ворот параллельно.

Если мы, как на картинке, объединим ворота Паули- Y параллельно с воротами Паули- X , то это можно записать как:

И вентиль Paul- X, и вентиль Paul- Y действуют на один кубит. Результирующий вентиль действует на два кубита.

Преобразование Адамара

Гейтом является вентиль Адамара ( ), применяемый параллельно к 2 кубитам. Это можно записать так:

Этот «двухкубитный параллельный вентиль Адамара», когда применяется, например, к двухкубитному нулевому вектору ( ), создает квантовое состояние, которое с равной вероятностью будет наблюдаться в любом из четырех возможных результатов; , , , И . Мы можем записать эту операцию как:

Пример: преобразование Адамара в 3- кубитном регистре .

Здесь амплитуда для каждого измеряемого состояния равна 12 . Вероятность наблюдать какое-либо состояние - это квадрат абсолютного значения амплитуды измеряемых состояний, что в приведенном выше примере означает, что каждый четвертый наблюдаем любой из четырех отдельных случаев. Подробности см. В разделе " Измерение" .

выполняет преобразование Адамара на двух кубитах. Аналогично ворота выполняет преобразование Адамара на регистр из кубитов.

При применении к регистру кубитов, все инициализированные в , преобразование Адамара помещает квантовый регистр в суперпозицию с равной вероятностью измерения в любом из его возможных состояний:

Это состояние представляет собой однородную суперпозицию, и оно генерируется как первый шаг в некоторых алгоритмах поиска, например, при усилении амплитуды и оценке фазы .

При измерении этого состояния получается случайное число от до . Насколько случайным будет число, зависит от точности логических вентилей. Если не измерять, это квантовое состояние с равной амплитудой вероятности для каждого из возможных состояний.

Преобразование Адамара действует на регистр с кубитами следующим образом:

Применение на запутанных состояниях

Если два или более кубита рассматриваются как одно квантовое состояние, это комбинированное состояние равно тензорному произведению составляющих кубитов. Любое состояние, которое может быть записано как тензорное произведение составляющих подсистем, называется сепарабельным состоянием . С другой стороны, запутанное состояние - это любое состояние, которое не может быть тензорно-факторизовано, или, другими словами: запутанное состояние не может быть записано как тензорное произведение составляющих его состояний кубитов. Следует проявлять особую осторожность при применении вентилей к составляющим кубитам, которые составляют запутанные состояния.

Если у нас есть набор из N запутанных кубитов, и мы хотим применить квантовый вентиль к M < N кубитов в этом наборе, нам нужно будет расширить вентиль, чтобы принять N кубитов. Это приложение можно выполнить, комбинируя вентиль с единичной матрицей , так что их тензорное произведение становится вентилем, который действует на N кубитов. Единичная матрица ( ) является представлением логического элемента, который отображает каждое состояние в себя (т. Е. Вообще ничего не делает). На принципиальной схеме единичный вентиль или матрица часто выглядят как голый провод.

Пример приведен в тексте. Вентиль Адамара действует только на 1 кубит, но представляет собой запутанное квантовое состояние, охватывающее 2 кубита. В нашем примере

Например, вентиль Адамара ( ) действует на один кубит, но если мы, например, скармливаем ему первый из двух кубитов, составляющих запутанное состояние Белла , мы не сможем легко написать эту операцию. Нам нужно расширить вентиль Адамара с помощью шлюза идентичности, чтобы мы могли воздействовать на квантовые состояния, охватывающие два кубита:

Теперь вентиль можно применить к любому двухкубитному состоянию, запутанному или нет. Вентиль оставит второй кубит нетронутым и применит преобразование Адамара к первому кубиту. Если применить к состоянию Bell в нашем примере, мы можем записать это как:

Вычислительная сложность и тензорное произведение

Временная сложность для умножения два -матрицы, по крайней мере , при использовании классической машины. Поскольку размер логического элемента, работающего с кубитами, равен . По этой причине считается трудноосуществимым моделировать большие запутанные квантовые системы с помощью классических компьютеров. Подмножества вентилей, такие как вентили Клиффорда или тривиальный случай схем, которые реализуют только классические булевы функции (например, комбинации X , CNOT , Toffoli ), однако, могут быть эффективно смоделированы на классических компьютерах.

Вектор состояния квантового регистра с кубитами - это комплексные элементы. Хранение амплитуд вероятности в виде списка значений с плавающей запятой в большинстве случаев не поддается обработке .

Унитарная инверсия ворот

Пример: унитарное обратное произведение Адамара-CNOT. Три ворота , и их собственные унитарный обратные.

Поскольку все квантовые логические вентили обратимы , любая композиция из нескольких вентилей также обратима. Все произведения и тензорные произведения (т. Е. Последовательные и параллельные комбинации) унитарных матриц также являются унитарными матрицами. Это означает, что можно построить инверсию всех алгоритмов и функций, если они содержат только вентили.

Инициализация, измерение, ввод-вывод и спонтанная декогеренция - это побочные эффекты в квантовых компьютерах. Однако ворота чисто функциональны и биективны .

Если - унитарная матрица , то и . Крестик ( ) обозначает комплексное сопряжение из транспонированной . Его еще называют эрмитово сопряженным .

Если функция является продуктом ворота, , унитарные обратный по отношению к функции может быть построено:

Потому что у нас после повторного нанесения на себя

Аналогично, если функция состоит из двух вентилей и параллельно, то и .

Гейты, которые являются собственными унитарными обратными, называются эрмитовыми или самосопряженными операторами . Некоторые элементарные вентили, такие как вентили Адамара ( H ) и Паули ( I , X , Y , Z ), являются эрмитовыми операторами, в то время как другие, такие как вентили с фазовым сдвигом ( S , T , P , CPHASE), обычно таковыми не являются. Неэрмитовы вентили называются косоэрмитовыми или присоединенными операторами .

Например, алгоритм сложения может использоваться для вычитания, если он «выполняется в обратном порядке», как его унитарно-обратный. Обратное квантовое преобразование Фурье является унитарным обратное. Унитарные инверсии также могут использоваться для невычисления . Языки программирования для квантовых компьютеров, таких как Microsoft «s Q # и Бернхард Омера ККЛ , содержат функцию инверсии как программирование понятий.

Измерение

Схема измерения. Две линии с правой стороны представляют собой классический бит, а единственная линия с левой стороны представляет собой кубит.

Измерение (иногда называемое наблюдением ) необратимо и, следовательно, не является квантовым вентилем, поскольку оно присваивает наблюдаемому квантовому состоянию единственное значение. Измерение берет квантовое состояние и проецирует его на один из базисных векторов с вероятностью, равной квадрату глубины вектора ( норма - это квадрат модуля ) вдоль этого базисного вектора. Это известно как правило Борна и выглядит как стохастическая необратимая операция, поскольку оно вероятностно устанавливает квантовое состояние равным базисному вектору, который представляет измеряемое состояние (состояние " схлопывается " до определенного единственного значения). Почему и как, или даже если квантовое состояние коллапсирует при измерении, называется проблемой измерения .

Вероятность измерения значения с амплитудой вероятности равна , где - модуль .

Измерение единого кубита, чей квантовое состояние представлена вектором , приведет с вероятностью , и с вероятностью .

Например, измерение кубита с квантовым состоянием с равной вероятностью даст либо или .

Для одного кубита у нас есть единичная сфера с квантовым состоянием, такое что . Состояние можно переписать как , или и . Примечание: вероятность измерения и вероятность измерения .

Квантовое состояние , что пролеты п кубитов можно записать в виде вектора в сложных размерах: . Это потому, что тензорное произведение n кубитов является вектором размерности. Таким образом, регистр из n кубитов может быть измерен до различных состояний, аналогично тому, как регистр из n классических битов может хранить различные состояния. В отличие от битов классических компьютеров, квантовые состояния могут иметь ненулевые амплитуды вероятности в нескольких измеряемых значениях одновременно. Это называется суперпозицией .

Сумма всех вероятностей для всех исходов всегда должна быть равна 1 . Другой способ сказать это: теорема Пифагора, обобщенная на, гласит, что все квантовые состояния с n кубитами должны удовлетворять , где - амплитуда вероятности для измеримого состояния . Геометрическая интерпретация этого является то, что возможное значение пространстве квантового состояния с п кубитов является поверхность единичной сферы в и что унитарные преобразования (т.е. квантовых логических) применительно к ней вращения на сфере. Вращения, выполняемые воротами, относятся к группе симметрии U (2 n ) . Тогда измерение - это вероятностная проекция точек на поверхности этой сложной сферы на базисные векторы, которые охватывают пространство (и маркируют результаты).

Во многих случаях пространство представляется как гильбертово пространство, а не как какое-то конкретное -мерное комплексное пространство. Количество измерений (определяемых базисными векторами и, следовательно, также возможными результатами измерения) часто подразумевается операндами, например, как требуемое пространство состояний для решения проблемы . В алгоритме Гровера , Lov назвал этот общий базисный вектор набор «база данных» .

Выбор базисных векторов для измерения квантового состояния повлияет на результат измерения. Смотрите изменение базиса и энтропию фон Неймана для деталей. В этой статье, мы всегда используем расчетную базу , а это значит , что мы пометили базисные векторы в п -qubit регистра , или использовать бинарное представление .

В области квантовых вычислений обычно предполагается, что базисные векторы составляют ортонормированный базис .

Пример использования альтернативной базы измерения - в шифре BB84 .

Влияние измерения на запутанные состояния

Адамара - CNOT ворот, который при введении входа производит состояние Bell .

Если два квантовых состояния (то есть кубиты или регистры ) запутаны (это означает, что их объединенное состояние не может быть выражено как тензорное произведение ), измерение одного регистра влияет или показывает состояние другого регистра, частично или полностью разрушая его состояние. Этот эффект можно использовать для вычислений и используется во многих алгоритмах.

Комбинация Адамара-CNOT действует на нулевое состояние следующим образом:

Состояние Bell в тексте - это где и . Поэтому его можно описать комплексной плоскостью, натянутой на базисные векторы и , как на картинке. Единичная сфера ) , которые представляют собой возможное значение-пространство системы 2-кубита пересекает плоскость и лежит на единичной поверхности сфер. Так , существует вероятность равна измерение этого состояния к или , и нулевой вероятности измерения его или .

Это результирующее состояние и есть состояние Белла . Его нельзя описать как тензорное произведение двух кубитов. Нет решения для

потому что, например, w должно быть как ненулевым, так и нулевым в случае xw и yw .

Квантовое состояние охватывает два кубита. Это называется запутыванием . Измерение одного из двух кубитов, составляющих это состояние Белла, приведет к тому, что другой кубит логически должен иметь то же значение, оба должны быть одинаковыми: либо он будет найден в состоянии , либо в состоянии . Если мы измеряем, например, один из кубитов , то другой кубит также должен быть , потому что их объединенное состояние стало . Измерение одного из кубитов приводит к коллапсу всего квантового состояния, охватывающего два кубита.

Состояние GHZ - это аналогичное запутанное квантовое состояние, охватывающее три или более кубитов.

Этот тип присвоения значений происходит мгновенно на любом расстоянии, и по состоянию на 2018 год это было экспериментально подтверждено QUESS для расстояний до 1200 километров. То, что явление, кажется, происходит мгновенно, в отличие от времени, которое потребовалось бы, чтобы преодолеть расстояние, разделяющее кубиты, со скоростью света, называется парадоксом ЭПР , и в физике остается открытым вопрос, как решить эту проблему. Первоначально она была решена путем отказа от предположения о местном реализме , но появились и другие интерпретации . Для получения дополнительной информации см. Тестовые эксперименты Белла . Теорема об отсутствии связи доказывает, что это явление не может использоваться для передачи классической информации со скоростью, превышающей скорость света .

Измерение регистров с попарно запутанными кубитами

Влияние унитарного преобразования F на регистр A, который находится в суперпозиции состояний и попарно связан с регистром B. Здесь n равно 3 (каждый регистр имеет 3 кубита).

Возьмите регистр A, в котором инициализированы n кубитов , и пропустите его через параллельный вентиль Адамара . Регистр A затем войдет в состояние, которое с равной вероятностью при измерении находится в любом из своих возможных состояний; к . Возьмем второй регистр B, также с n кубитами, инициализированными и попарно CNOT его кубиты с кубитами в регистре A, так что для каждого p кубиты и формируют состояние .

Если мы теперь измерить кубитов в регистре А, затем зарегистрировать В будет установлено, содержат такое же значение , как A. Если мы , однако , вместо того, чтобы применить квантовый логический элемент F на А , а затем измерить, а затем , где является унитарной обратным из F .

Из - за того , как унитарные обратный ворот действовать . Например, скажем , тогда .

Равенство будет выполняться независимо от того, в каком порядке выполняется измерение (в регистрах A или B), при условии, что F завершился. Измерение может быть даже случайным и одновременно чередующимся кубитом за кубитом, поскольку измерение одного кубита ограничивает возможное пространство значений от других запутанных кубитов.

Несмотря на то, что равенства сохраняются, вероятности измерения возможных результатов могут измениться в результате применения F , как это может быть намерение в алгоритме квантового поиска.

Этот эффект разделения ценностей посредством запутывания используется в алгоритме Шора , оценке фазы и квантовом подсчете . Использование преобразования Фурье для увеличения амплитуд вероятности состояний решения для некоторой проблемы - это общий метод, известный как « ловля Фурье ».

Синтез логических функций

Функции и процедуры, которые используют только вентили, могут быть описаны как матрицы, как и меньшие вентили. Матрица, представляющая квантовую функцию, действующую на кубиты, имеет размер . Например, функция, которая воздействует на «кубит» (регистр из 8 кубитов), может быть описана как матрица с элементами.

Унитарные преобразования, которые не входят в набор вентилей, изначально доступных на квантовом компьютере (примитивные вентили), могут быть синтезированы или аппроксимированы путем объединения доступных примитивных вентилей в схему . Один из способов сделать это - разложить матрицу, кодирующую унитарное преобразование, на произведение тензорных произведений (т. Е. Последовательных и параллельных схем) доступных примитивных вентилей. Группа U (2 кв ) является группой симметрии для ворот , которые действуют на кубитов. Факторизация - это проблема поиска пути в U (2 q ) из порождающего набора примитивных вентилей. Теорема Соловая – Китаева показывает, что при достаточном наборе примитивных вентилей существует эффективное приближение для любого гейта. В общем случае с большим количеством кубитов такой прямой подход к синтезу схем неосуществим .

Поскольку ворота унитарны , все функции должны быть обратимыми и всегда должны быть взаимно однозначными отображениями входа в выход. Всегда должна существовать такая функция , что . Необратимые функции можно сделать обратимыми, добавив вспомогательные кубиты на вход или выход, или и то, и другое. После завершения функции вспомогательные кубиты можно либо не вычислить, либо оставить нетронутыми. Измерение или иное коллапсирование квантового состояния вспомогательного кубита (например, путем повторной инициализации его значения или его спонтанной декогеренции ), которые не были вычислены, может привести к ошибкам, поскольку их состояние может быть связано с кубитами, которые все еще остаются используется в вычислениях.

Логически необратимые операции, например , сложение по модулю два -qubit регистрирует и Ь, , могут быть сделаны логически обратимыми путем добавления информации к выходу, так что входные данные могут быть вычислены с выхода (т.е. существуют функция ). В нашем примере, это может быть сделано путем передачи одной из входных регистров на выходе: . Затем выходные данные можно использовать для вычисления входных данных (т. Е. Заданных выходных данных и , мы можем легко найти входные данные; задано и ), а функция сделана биективной.

Все логические алгебраические выражения могут быть закодированы как унитарные преобразования (квантовые логические вентили), например, с использованием комбинаций вентилей Паули-X , CNOT и Тоффоли . Эти вентили функционально завершены в области логической логики.

В библиотеках Q # , QCL , Qiskit и других языков квантового программирования доступно множество унитарных преобразований . Это также появляется в литературе.

Например, где - количество кубитов, составляющих регистр , в QCL реализовано следующим образом:

Сгенерированная схема, когда . Символы , и обозначает XOR , AND и NOT соответственно, и происходит от булевой представления Паули X с нулем или более кубитов управления применительно к государствам, которые в вычислительном базисе.
cond qufunct inc(qureg x) { // increment register
  int i;
  for i = #x-1 to 0 step -1 {
    CNot(x[i], x[0::i]);     // apply controlled-not from
  }                          // MSB to LSB
}

В QCL декремент выполняется "отменой" приращения. Префикс !используется для запуска унитарной инверсии функции. !inc(x)является инверсией inc(x)и вместо этого выполняет операцию . В ключевом слове означает , что функция может быть условной . cond

В модели вычислений, использованной в этой статье (модель квантовой схемы ), классический компьютер генерирует композицию вентилей для квантового компьютера, а квантовый компьютер ведет себя как сопроцессор, который получает инструкции от классического компьютера о том, к каким примитивным логическим элементам применить какие кубиты. Измерение квантовых регистров приводит к двоичным значениям, которые классический компьютер может использовать в своих вычислениях. Квантовые алгоритмы часто содержат как классическую, так и квантовую часть. Неизмеряемый ввод-вывод (отправка кубитов на удаленные компьютеры без коллапса их квантовых состояний) может использоваться для создания сетей квантовых компьютеров . Затем можно использовать обмен запутывания для реализации распределенных алгоритмов с квантовыми компьютерами, которые не связаны напрямую. Примерами распределенных алгоритмов, которые требуют использования лишь нескольких квантовых логических вентилей, являются сверхплотное кодирование , квантовое византийское соглашение и протокол обмена шифрованными ключами BB84 .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

  1. ^ Б с д е е Colin P. Williams (2011). Исследования в области квантовых вычислений . Springer . ISBN 978-1-84628-887-6.
  2. ^ a b Фейнман, Ричард П. (1986). «Квантово-механические компьютеры». Основы физики . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 16 (6): 507–531. DOI : 10.1007 / bf01886518 . ISSN  0015-9018 .
  3. ^ a b c d e Баренко, Адриано; Беннет, Чарльз Х .; Клив, Ричард; Ди Винченцо, Дэвид П .; Марголус, Норманн; Шор, Петр; Sleator, Тихо; Смолин, Джон А .; Вайнфуртер, Харальд (1995-11-01). «Элементарные ворота для квантовых вычислений». Physical Review . Американское физическое общество (APS). 52 (5): 3457–3467. arXiv : квант-ph / 9503016 . DOI : 10.1103 / physreva.52.3457 . ISSN  1050-2947 .
  4. ^ Б с д е е Нильсен, Майкл А. ; Чуанг, Исаак (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC  43641333 .
  5. ^ Прескилл, Джон (2021-06-06). «Квантовые вычисления 40 лет спустя». С. 10–15. arXiv : 2106.10522 [ квант-ф ].
  6. ^ a b c Yanofsky, Noson S .; Маннуччи, Мирко (2013). Квантовые вычисления для компьютерных ученых . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-87996-5.
  7. ^ «Электронная библиотека» . IBM (Qiskit).
  8. ^ "cQASM: Qubit gate operations" . QuTech.
  9. ^ "Microsoft.Quantum.Intrinsic пространство имен" . Microsoft (Q #).
  10. ^ a b Операции и функции (документация Q #)
  11. ^ a b Ömer, Бернхард (2 сентября 2009 г.). «Структурированное квантовое программирование» (PDF) . Институт теоретической физики Венского технологического университета: 72, 92–107. Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  12. a b Ömer, Bernhard (29 апреля 2003 г.). «Классические концепции квантового программирования». arXiv : квант-ph / 0211100 . DOI : 10.1007 / s10773-005-7071-х . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  13. ^ Дибьенду Чаттерджи, Ариджит Рой (2015). «Схема квантового полусумматора на основе трансмона» . Успехи теоретической и экспериментальной физики . 2015 (9): 7–8. Bibcode : 2015PTEP.2015i3A02C . DOI : 10,1093 / ptep / ptv122 .
  14. Дэвид С. Маккей, Кристофер Дж. Вуд, Сара Шелдон, Джерри М. Чоу, Джей М. Гамбетта (31 августа 2017 г.). «Эффективные Z-ворота для квантовых вычислений». Physical Review . 96 (2). arXiv : 1612.00858 . DOI : 10,1093 / ptep / ptv122 .CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
  15. ^ "qiskit.circuit.library.PhaseGate" . IBM (документация qiskit).
  16. Перейти ↑ Griffiths, DJ (2008). Введение в элементарные частицы (2-е изд.) . Джон Вили и сыновья . С. 127–128. ISBN 978-3-527-40601-2.
  17. Немировский, Джонатан; Саги, Йоав (2021), «Быстрый универсальный двухкубитовый вентиль для нейтральных фермионных атомов в оптическом пинцете» , Physical Review Research , 3 (1): 013113, arXiv : 2008.09819 , Bibcode : 2021PhRvR ... 3a3113N , doi : 10.1103 / PhysRevResearch.3.013113
  18. ^ Б Williams, Colin P. (2011), Williams, Colin P. (ред.), "Quantum Gates" , Исследования в квантовых вычислений , текстов в области компьютерных наук, Лондон: Springer, С. 51-122,. Дои : 10.1007 / 978-1-84628-887-6_2 , ISBN 978-1-84628-887-6, получено 2021-05-14
  19. ^ Ааронова, Дорит (2003-01-09). «Простое доказательство того, что Тоффоли и Адамар квантово универсальны». arXiv : квант-ph / 0301040 .
  20. ^ "Конференция Монро" (PDF) . online.kitp.ucsb.edu .
  21. ^ "Демонстрация небольшого программируемого квантового компьютера с атомными кубитами" (PDF) . Проверено 10 февраля 2019 .
  22. ^ Джонс, Джонатан А. (2003). «Надежные ворота Изинга для практических квантовых вычислений». Physical Review . 67 (1): 012317. Arxiv : колич-фот / 0209049 . Bibcode : 2003PhRvA..67a2317J . DOI : 10.1103 / PhysRevA.67.012317 . S2CID  119421647 .
  23. ^ Расмуссен, SE; Зиннер, Н.Т. (17 июля 2020 г.). «Простая реализация высокоточных управляемых вентилей и возведения в степень квантовых схем неэрмитовых вентилей» . Physical Review Research . 2 (3): 033097. arXiv : 2002.11728 . Bibcode : 2020PhRvR ... 2c3097R . DOI : 10.1103 / PhysRevResearch.2.033097 . ISSN  2643-1564 .
  24. ^ Schuch, Норберт; Сиверт, Йенс (10 марта 2003 г.). «Естественный двухкубитовый вентиль для квантовых вычислений с использованием XY взаимодействия» . Physical Review . 67 (3): 032301. Arxiv : колич-фот / 0209035 . Bibcode : 2003PhRvA..67c2301S . DOI : 10.1103 / PhysRevA.67.032301 . ISSN  1050-2947 .
  25. ^ Далер-Demers, Пьер-Люк; Вильгельм, Франк К. (2016-12-05). «Квантовые ворота и архитектура для квантового моделирования модели Ферми-Хаббарда» . Physical Review . 94 (6): 062304. arXiv : 1606.00208 . Bibcode : 2016PhRvA..94f2304D . DOI : 10.1103 / PhysRevA.94.062304 . ISSN  2469-9926 .
  26. ^ Ши Сяо-Feng (2018-05-22). «Дойч, Тоффоли и др. Гейтс через Ридбергскую блокаду нейтральных атомов» . Применена физическая проверка . 9 (5): 051001. arXiv : 1710.01859 . Bibcode : 2018PhRvP ... 9e1001S . DOI : 10.1103 / PhysRevApplied.9.051001 . ISSN  2331-7019 .
  27. ^ Ааронова, Дорит (2003-01-09). «Простое доказательство того, что Тоффоли и Адамар квантово универсальны». arXiv : квант-ph / 0301040 .
  28. ^ Дойч, Дэвид (8 сентября 1989 г.), «Квантовые вычислительные сети», Proc. R. Soc. Лондон. , +425 (1989): 73-90, Bibcode : 1989RSPSA.425 ... 73D , DOI : 10.1098 / rspa.1989.0099 , S2CID  123073680
  29. ^ Бауш, Йоханнес; Пиддок, Стивен (2017), «Сложность трансляционно-инвариантных низкоразмерных спиновых решеток в 3D», Журнал математической физики , 58 (11): 111901, arXiv : 1702.08830 , Bibcode : 2017JMP .... 58k1901B , doi : 10.1063 / 1.5011338 , S2CID  8502985
  30. Перейти ↑ Raz, Ran (2002). «О сложности матричного произведения». Труды тридцать четвертый ежегодный ACM симпозиум по теории вычислений : 144. DOI : 10,1145 / 509907.509932 . ISBN 1581134959. S2CID  9582328 .
  31. ^ а б ц Омер, Бернхард (2000-01-20). Квантовое программирование в QCL (PDF) (Диссертация). Институт теоретической физики Венского технологического университета . Проверено 24 мая 2021 .
  32. Перейти ↑ Griffiths, DJ (2008). Введение в элементарные частицы (2-е изд.) . Джон Вили и сыновья . С. 115–121, 126. ISBN 978-3-527-40601-2.
  33. ^ Дэвид Альберт (1994). Квантовая механика и опыт . Издательство Гарвардского университета . п. 35. ISBN 0-674-74113-7.
  34. ^ Шон М. Кэрролл (2019). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . Издательство Кембриджского университета . С. 376–394. ISBN 978-1-108-48839-6.
  35. ^ Дэвид Уоллес (2012). Эмерджентная мультивселенная: квантовая теория в соответствии с интерпретацией Эверетта . Издательство Оксфордского университета . ISBN 9780199546961.
  36. ^ Шон М. Кэрролл (2019). Что-то глубоко скрытое: квантовые миры и появление пространства-времени . Penguin Random House . ISBN 9781524743017.
  37. ^ Q # Онлайн-руководство: Измерение
  38. Хуан Инь, Юань Цао, Ю-Хуай Ли и др. (2017). «Спутниковое распределение запутанности на 1200 километров» . Квантовая оптика . 356 : 1140–1144. arXiv : 1707.01339 .CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
  39. ^ Биллингс, Ли. "China Shatters" Жуткое действие на расстоянии "Рекорд, подготовка к квантовому Интернету" . Scientific American .
  40. ^ Popkin, Габриэль (15 июня 2017). «Квантовый спутник Китая совершает« жуткое действие »на рекордном расстоянии» . Наука - AAAS .
  41. ^ Доусон, Кристофер М .; Нильсен, Майкл (01.01.2006). «Алгоритм Соловая-Китаева» . Квантовая информация и вычисления . 6 (1). Раздел 5.1, уравнение 23. arXiv : Quant-ph / 0505030 . DOI : 10.26421 / QIC6.1-6 .
  42. ^ Маттео, Оливия Ди (2016). «Распараллеливание синтеза квантовых схем» . Квантовая наука и технологии . 1 (1): 015003. arXiv : 1606.07413 . Bibcode : 2016QS&T .... 1a5003D . DOI : 10.1088 / 2058-9565 / 1/1/015003 . S2CID  62819073 .
  43. ^ Ааронсон, Скотт (2002). "Квантовая нижняя граница для рекурсивной выборки Фурье". Квантовая информация и вычисления . 3 (2): 165–174. arXiv : квант-ph / 0209060 . Bibcode : 2002quant.ph..9060A . DOI : 10.26421 / QIC3.2-7 .
  44. ^ Q # онлайн-руководство: квантовое управление памятью
  45. Ре, Асака; Кадзумицу, Сакаи; Рёко, Яхаги (2020). «Квантовая схема для быстрого преобразования Фурье» . Квантовая обработка информации . 19 (277): 277. arXiv : 1911.03055 . Bibcode : 2020QuIP ... 19..277A . DOI : 10.1007 / s11128-020-02776-5 . S2CID  207847474 .
  46. ^ Монтасер, Раш (2019). «Новый дизайн обратимого полного сумматора / вычитателя с использованием R-ворот». Международный журнал теоретической физики . 58 (1): 167–183. arXiv : 1708.00306 . Bibcode : 2019IJTP ... 58..167M . DOI : 10.1007 / s10773-018-3921-1 . S2CID  24590164 .
  47. ^ Исходный код QCL 0.6.4, файл "lib / examples.qcl"
  48. ^ SJ Pauka, К. Дас, Р. Калра, А. Моини, Ю. Ян, М. тренер, А. Буске, С. Cantaloube, Н. Дик, АЯ Гарднер, МДж (2021). «Криогенный КМОП-чип для генерации управляющих сигналов для нескольких кубитов» . Природа Электроника . 4 (4): 64–70. arXiv : 1912.01299 . DOI : 10.1038 / s41928-020-00528-у .CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )

Источники