Квадратичная взаимность - Quadratic reciprocity

В теории чисел , то закон квадратичной взаимности теорема о модульной арифметики , которая дает условия разрешимости квадратичных уравнений по модулю простых чисел . Из-за своей тонкости в нем много формулировок, но наиболее стандартным из них является:

Этот закон вместе с его дополнениями позволяет легко вычислить любой символ Лежандра, давая возможность определить, существует ли целочисленное решение для любого квадратного уравнения вида для нечетного простого числа ; то есть, чтобы определить "полные квадраты" по модулю . Однако это неконструктивный результат: он не помогает найти конкретное решение; для этого требуются другие методы. Например, в случае использования критерия Эйлера можно дать явную формулу для «квадратных корней» по модулю квадратичного вычета , а именно, ${\ Displaystyle х ^ {2} \ эквив а {\ bmod {p}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle п \ эквив 3 {\ bmod {4}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle \ pm a ^ {\ frac {p + 1} {4}}}$

действительно,

${\ displaystyle \ left (\ pm a ^ {\ frac {p + 1} {4}} \ right) ^ {2} = a ^ {\ frac {p + 1} {2}} = a \ cdot a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ Equiv a \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = a {\ bmod {p}}.}$

Эта формула работает только в том случае, если заранее известно, что это квадратичный вычет , который можно проверить с помощью закона квадратичной взаимности. ${\ displaystyle a}$

Квадратичная теорема взаимности была выдвинута Эйлером и Лежандром и впервые доказана Гауссом , который назвал ее «фундаментальной теоремой» в своих Disquisitiones Arithmeticae и своих статьях, написав

Фундаментальную теорему, безусловно, следует рассматривать как одну из самых элегантных в своем роде. (Статья 151)

В частном порядке Гаусс называл это «золотой теоремой». Он опубликовал шесть доказательств этого, еще два были найдены в его посмертных работах. В настоящее время опубликовано более 240 доказательств. Кратчайшее Известное доказательство включено ниже , вместе с краткими доказательствами добавка этого закона (символы Лежандра -1 и 2).

Обобщение закона взаимности на высшие степени было ведущей проблемой в математике и имело решающее значение для развития многих механизмов современной алгебры , теории чисел и алгебраической геометрии , достигнув высшей точки во взаимности Артина , теории поля классов и теории Ленглендса. программа .

Мотивирующие примеры

Квадратичная взаимность возникает из некоторых тонких шаблонов факторизации, включающих точные квадратные числа. В этом разделе мы приводим примеры, которые приводят к общему случаю.

Факторинг n ²  - 5

Рассмотрим многочлен и его значения . Простые факторизации этих значений задаются следующим образом: ${\ Displaystyle е (п) = п ^ {2} -5}$${\ Displaystyle п \ in \ mathbb {N}.}$

п	${\ displaystyle f (n)}$			п	${\ displaystyle f (n)}$			п	${\ displaystyle f (n)}$
1	−4	−2 2		16	251	251		31 год	956	2 2 ⋅239
2	−1	−1		17	284	2 2 ⋅71		32	1019	1019
3	4	2 2		18	319	11⋅29		33	1084	2 2 ⋅271
4	11	11		19	356	2 2 ⋅89		34	1151	1151
5	20	2 2 ⋅5		20	395	5⋅79		35 год	1220	2 2 ⋅5⋅61
6	31 год	31 год		21 год	436	2 2 ⋅109		36	1291	1291
7	44 год	2 2 ⋅11		22	479	479		37	1364	2 2 ⋅11⋅31
8	59	59		23	524	2 2 ⋅131		38	1439	1439
9	76	2 2 ⋅19		24	571	571		39	1516	2 2 ⋅379
10	95	5⋅19		25	620	2 2 ⋅5⋅31		40	1595	5⋅11⋅29
11	116	2 2 ⋅29		26 год	671	11⋅61		41 год	1676	2 2 ⋅419
12	139	139		27	724	2 2 ⋅181		42	1759	1759
13	164	2 2 ⋅41		28 год	779	19⋅41		43 год	1844 г.	2 2 ⋅461
14	191	191		29	836	2 2 ⋅11⋅19		44 год	1931 г.	1931 г.
15	220	2 2 ⋅5⋅11		30	895	5⋅179		45	2020 г.	2 2 ⋅5⋅101

Эти простые множители разделительные являются , и каждым простым, окончательной цифрой или ; простые числа, оканчивающиеся на или когда-либо появляющиеся. Теперь, является простым делителем некоторых всякий раз , когда , то есть всякий раз , когда то есть всякий раз, когда 5 является квадратичным вычетом по модулю . Это происходит для и тех простых чисел с, и последних чисел, и это в точности квадратичные вычеты по модулю . Следовательно, за исключением , у нас есть квадратичный вычет по модулю тогда и только тогда, когда он является квадратичным вычетом по модулю . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f (n)}$${\ displaystyle p = 2,5}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 9}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 7}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n ^ {2} -5}$${\ Displaystyle п ^ {2} -5 \ эквив 0 {\ bmod {p}}}$${\ Displaystyle п ^ {2} \ эквив 5 {\ bmod {p}},}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p = 2,5}$${\ Displaystyle п \ эквив 1,4 {\ bmod {5}},}$${\ displaystyle 1 = (\ pm 1) ^ {2}}$${\ displaystyle 4 = (\ pm 2) ^ {2}}$${\ displaystyle 5}$${\ displaystyle p = 2,5}$${\ displaystyle 5}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 5}$

Закон квадратичной взаимности дает аналогичную характеристику простых делителей для любого простого q , что приводит к характеристике для любого целого числа . ${\ displaystyle f (n) = n ^ {2} -q}$${\ displaystyle q}$

Паттерны среди квадратичных вычетов

Пусть p нечетное простое число. Число по модулю p является квадратичным вычетом, если оно конгруэнтно квадрату (по модулю p ); в противном случае это квадратичный невычет. («Квадратичный» можно отбросить, если это ясно из контекста.) Здесь мы исключаем ноль как частный случай. Тогда, как следствие того факта, что мультипликативная группа конечного поля порядка p является циклической группой порядка p-1 , справедливы следующие утверждения:

• Есть равное количество квадратичных вычетов и невычетов; а также
• Произведение двух квадратичных остатков является остатком, произведение остатка и неостаточного остатка является не остатком, а произведение двух неостаточных остатков является остатком.

Во избежание сомнений, эти утверждения не верны, если модуль не является простым. Например, в мультипликативной группе по модулю 15 всего 3 квадратичных вычета (1, 4 и 9). Более того, хотя 7 и 8 являются квадратичными невычетами, их произведение 7x8 = 11 также является квадратичным невычетом, в отличие от к первому случаю.

Квадратичные остатки представлены в следующей таблице:

Квадраты модифицируют простые числа

п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21 год	22	23	24	25
п 2	1	4	9	16	25	36	49	64	81 год	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	441	484	529	576	625
мод 3	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1
мод 5	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0	1	4	4	1	0
мод 7	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2
мод 11	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9	5	3	3	5	9	4	1	0	1	4	9
мод 13	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1	0	1	4	9	3	12	10	10	12	3	9	4	1
мод 17	1	4	9	16	8	2	15	13	13	15	2	8	16	9	4	1	0	1	4	9	16	8	2	15	13
мод 19	1	4	9	16	6	17	11	7	5	5	7	11	17	6	16	9	4	1	0	1	4	9	16	6	17
мод 23	1	4	9	16	2	13	3	18	12	8	6	6	8	12	18	3	13	2	16	9	4	1	0	1	4
мод 29	1	4	9	16	25	7	20	6	23	13	5	28 год	24	22	22	24	28 год	5	13	23	6	20	7	25	16
мод 31	1	4	9	16	25	5	18	2	19	7	28 год	20	14	10	8	8	10	14	20	28 год	7	19	2	18	5
мод 37	1	4	9	16	25	36	12	27	7	26 год	10	33	21 год	11	3	34	30	28 год	28 год	30	34	3	11	21 год	33
мод 41	1	4	9	16	25	36	8	23	40	18	39	21 год	5	32	20	10	2	37	33	31 год	31 год	33	37	2	10
мод 43	1	4	9	16	25	36	6	21 год	38	14	35 год	15	40	24	10	41 год	31 год	23	17	13	11	11	13	17	23
мод 47	1	4	9	16	25	36	2	17	34	6	27	3	28 год	8	37	21 год	7	42	32	24	18	14	12	12	14

Эта таблица является полной для нечетных простых чисел меньше 50. Чтобы проверить, является ли число m квадратичным вычетом по модулю одного из этих простых чисел p , найдите a ≡ m (mod p ) и 0 ≤ a < p . Если a находится в строке p , то m - вычет (mod p ); если a не находится в строке p таблицы, то m не является остатком (mod p ).

Квадратичный закон взаимности - это утверждение, что определенные закономерности, найденные в таблице, в целом верны.

Версия Лежандра

Другой способ организации данных - увидеть, какие простые числа являются остатками по модулю других простых чисел, как показано в следующей таблице. Запись в строке p столбца q - это R, если q - квадратичный вычет (mod p ); если это невычет запись является N .

Если строка, столбец или оба имеют значение ≡ 1 (mod 4), запись будет синей или зеленой; если и строка, и столбец ≡ 3 (mod 4), он желтый или оранжевый.

Синие и зеленые элементы симметричны относительно диагонали: запись для строки p , столбца q является R (соответственно N ) тогда и только тогда, когда запись в строке q , столбце p является R (соответственно N ).

Желтый и оранжевый, с другой стороны, антисимметричны: запись для строки p , столбца q является R (соответственно N ) тогда и только тогда, когда запись в строке q , столбце p равна N (соответственно R ).

Закон взаимности гласит, что эти закономерности верны для всех p и q .

Легенда

р	q - вычет (mod p )	q ≡ 1 (mod 4) или p ≡ 1 (mod 4) (или оба)
N	q не является остатком (mod p )
р	q - вычет (mod p )	как q ≡ 3 (mod 4), так и p ≡ 3 (mod 4)
N	q не является остатком (mod p )

		q
		3	5	7	11	13	17	19	23	29	31 год	37	41 год	43 год	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
п	3		N	р	N	р	N	р	N	N	р	р	N	р	N	N	N	р	р	N	р	р	N	N	р
	5	N		N	р	N	N	р	N	р	р	N	р	N	N	N	р	р	N	р	N	р	N	р	N
	7	N	N		р	N	N	N	р	р	N	р	N	р	N	р	N	N	р	р	N	р	N	N	N
	11	р	р	N		N	N	N	р	N	р	р	N	N	р	р	р	N	р	р	N	N	N	р	р
	13	р	N	N	N		р	N	р	р	N	N	N	р	N	р	N	р	N	N	N	р	N	N	N
	17	N	N	N	N	р		р	N	N	N	N	N	р	р	р	р	N	р	N	N	N	р	р	N
	19	N	р	р	р	N	р		р	N	N	N	N	р	р	N	N	р	N	N	р	N	р	N	N
	23	р	N	N	N	р	N	N		р	р	N	р	N	р	N	р	N	N	р	р	N	N	N	N
	29	N	р	р	N	р	N	N	р		N	N	N	N	N	р	р	N	р	р	N	N	р	N	N
	31 год	N	р	р	N	N	N	р	N	N		N	р	N	р	N	р	N	р	р	N	N	N	N	р
	37	р	N	р	р	N	N	N	N	N	N		р	N	р	р	N	N	р	р	р	N	р	N	N
	41 год	N	р	N	N	N	N	N	р	N	р	р		р	N	N	р	р	N	N	р	N	р	N	N
	43 год	N	N	N	р	р	р	N	р	N	р	N	р		р	р	р	N	р	N	N	р	р	N	р
	47	р	N	р	N	N	р	N	N	N	N	р	N	N		р	р	р	N	р	N	р	р	р	р
	53	N	N	р	р	р	р	N	N	р	N	р	N	р	р		р	N	N	N	N	N	N	р	р
	59	р	р	р	N	N	р	р	N	р	N	N	р	N	N	р		N	N	р	N	р	N	N	N
	61	р	р	N	N	р	N	р	N	N	N	N	р	N	р	N	N		N	N	р	N	р	N	р
	67	N	N	N	N	N	р	р	р	р	N	р	N	N	р	N	р	N		р	р	N	р	р	N
	71	р	р	N	N	N	N	р	N	р	N	р	N	р	N	N	N	N	N		р	р	р	р	N
	73	р	N	N	N	N	N	р	р	N	N	р	р	N	N	N	N	р	р	р		р	N	р	р
	79	N	р	N	р	р	N	р	р	N	р	N	N	N	N	N	N	N	р	N	р		р	р	р
	83	р	N	р	р	N	р	N	р	р	р	р	р	N	N	N	р	р	N	N	N	N		N	N
	89	N	р	N	р	N	р	N	N	N	N	N	N	N	р	р	N	N	р	р	р	р	N		р
	97	р	N	N	р	N	N	N	N	N	р	N	N	р	р	р	N	р	N	N	р	р	N	р

Дополнения к квадратичной взаимности

В приложениях представлены решения конкретных случаев квадратичной взаимности. Их часто цитируют как частичные результаты, не прибегая к полной теореме.

q = ± 1 и первое дополнение

Тривиально 1 - квадратичный вычет для всех простых чисел. Для −1 вопрос становится более интересным. Изучая таблицу, мы находим −1 в строках 5, 13, 17, 29, 37 и 41, но не в строках 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43 или 47. Первый набор простых чисел конгруэнтен с 1 по модулю 4, а последние сравнимы с 3 по модулю 4.

Первое дополнение к квадратичной взаимности. Сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда оно сравнимо с 1 по модулю 4.${\ Displaystyle х ^ {2} \ эквив -1 {\ bmod {p}}}$${\ displaystyle p}$

q = ± 2 и второе дополнение

Изучая таблицу, мы находим 2 в строках 7, 17, 23, 31, 41 и 47, но не в строках 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37 или 43. Все первые простые числа ≡ ± 1 (mod 8), а все последние равны ± 3 (mod 8). Это ведет к

Второе дополнение к квадратичной взаимности. Сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда оно сравнимо с ± 1 по модулю 8.${\ Displaystyle х ^ {2} \ эквив 2 {\ bmod {p}}}$${\ displaystyle p}$

−2 находится в строках 3, 11, 17, 19, 41, 43, но не в строках 5, 7, 13, 23, 29, 31, 37 или 47. Первые - ≡ 1 или 3 (mod 8) , а последние - 5, 7 (mod 8).

q = ± 3

3 находится в строках 11, 13, 23, 37 и 47, но не в строках 5, 7, 17, 19, 29, 31, 41 или 43. Первые равны ± 1 (mod 12), а вторые - все ≡ ± 5 (mod 12).

−3 находится в строках 7, 13, 19, 31, 37 и 43, но не в строках 5, 11, 17, 23, 29, 41 или 47. Первые равны ≡ 1 (mod 3), а вторые 2 (мод 3).

Поскольку единственный вычет (mod 3) равен 1, мы видим, что −3 является квадратичным вычетом по модулю любого простого числа, которое является вычетом по модулю 3.

q = ± 5

5 находится в строках 11, 19, 29, 31 и 41, но не в строках 3, 7, 13, 17, 23, 37, 43 или 47. Первые равны ≡ ± 1 (mod 5), а вторые - ≡ ± 2 (по модулю 5).

Поскольку единственные вычеты (по модулю 5) равны ± 1, мы видим, что 5 является квадратичным вычетом по модулю каждого простого числа, которое является вычетом по модулю 5.

−5 находится в строках 3, 7, 23, 29, 41, 43 и 47, но не в строках 11, 13, 17, 19, 31 или 37. Первые - ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20 ), а последние - 11, 13, 17, 19 (mod 20).

Высшее q

Наблюдения относительно −3 и 5 остаются в силе: −7 является вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда p является вычетом по модулю 7, −11 является вычетом по модулю p тогда и только тогда, когда p является вычетом по модулю 11, 13 является остаток (по модулю p ) тогда и только тогда, когда p является вычетом по модулю 13 и т. д. Более сложные на вид правила для квадратичных характеров чисел 3 и −5, которые зависят от сравнений по модулю 12 и 20 соответственно, являются просто правилами для - 3 и 5 работают с первым дополнением.

Пример. Чтобы −5 был остатком (mod p ), либо оба 5, и −1 должны быть остатками (mod p ), либо они оба не должны быть остатками: т.е. p ≡ ± 1 (mod 5) и p ≡ 1 (mod 4) или p ≡ ± 2 (mod 5) и p ≡ 3 (mod 4). Используя китайскую теорему об остатках, они эквивалентны p ≡ 1, 9 (mod 20) или p ≡ 3, 7 (mod 20).

Обобщение правил для −3 и 5 - это утверждение Гаусса о квадратичной взаимности.

Формулировка теоремы

Квадратичная взаимность (утверждение Гаусса). Если то сравнение разрешимо тогда и только тогда , когда разрешима. Если и то сравнение разрешимо тогда и только тогда , когда разрешима. ${\ Displaystyle д \ эквив 1 {\ bmod {4}}}$${\ Displaystyle х ^ {2} \ Equiv p {\ bmod {q}}}$${\ Displaystyle х ^ {2} \ Equiv q {\ bmod {p}}}$${\ Displaystyle д \ эквив 3 {\ bmod {4}}}$${\ Displaystyle п \ эквив 3 {\ bmod {4}}}$${\ Displaystyle х ^ {2} \ Equiv p {\ bmod {q}}}$${\ Displaystyle х ^ {2} \ Equiv -q {\ bmod {p}}}$

Квадратичная взаимность (комбинированное утверждение). Определить . Тогда сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда оно разрешимо. ${\ displaystyle q ^ {*} = (- 1) ^ {\ frac {q-1} {2}} q}$${\ Displaystyle х ^ {2} \ Equiv p {\ bmod {q}}}$${\ Displaystyle х ^ {2} \ Equiv q ^ {*} {\ bmod {p}}}$

Квадратичная взаимность (утверждение Лежандра). Если p или q сравнимы с 1 по модулю 4, то: разрешима тогда и только тогда, когда разрешима. Если p и q сравнимы с 3 по модулю 4, то: разрешима тогда и только тогда, когда не разрешима. ${\ Displaystyle х ^ {2} \ Equiv q {\ bmod {p}}}$${\ Displaystyle х ^ {2} \ Equiv p {\ bmod {q}}}$${\ Displaystyle х ^ {2} \ Equiv q {\ bmod {p}}}$${\ Displaystyle х ^ {2} \ Equiv p {\ bmod {q}}}$

Последнее немедленно эквивалентно современной форме, указанной во введении выше. Это простое упражнение, чтобы доказать, что утверждения Лежандра и Гаусса эквивалентны - оно требует не более чем первого дополнения и фактов об умножении вычетов и невычетов.

Доказательство

По-видимому, самое короткое из известных доказательств было опубликовано Б. Веклычем в American Mathematical Monthly .

Доказательства добавок

Значение символа Лежандра (использованного в приведенном выше доказательстве) следует непосредственно из критерия Эйлера : ${\ displaystyle -1}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right) \ Equiv (-1) ^ {\ frac {p-1} {2}} {\ bmod {p}}}$

по критерию Эйлера, но обе стороны этого сравнения являются числами формы , поэтому они должны быть равны. ${\ displaystyle \ pm 1}$

Можно сделать вывод о том, является ли квадратичный вычет, если мы знаем количество решений уравнения, с которыми можно решить стандартными методами. А именно, все его решения where могут быть сгруппированы в октуплеты формы , и то, что осталось, - это четыре решения формы и, возможно, четыре дополнительных решения, где и , которые существуют точно, если является квадратичным вычетом. То есть является квадратичным вычетом в точности, если количество решений этого уравнения делится на . И это уравнение может быть решено здесь точно так же, как и над рациональными числами: замените там , где мы требуем этого (исключая два решения ), тогда исходное уравнение преобразуется в ${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 2}$${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {Z} _ {p},}$${\ displaystyle xy \ neq 0, x \ neq \ pm y}$${\ Displaystyle (\ pm x, \ pm y), (\ pm y, \ pm x)}$${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1)}$${\ displaystyle x ^ {2} = 2, y = 0}$${\ displaystyle x = 0, y ^ {2} = 2}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 8}$${\ displaystyle x = a + 1, y = at + 1}$${\ Displaystyle а \ neq 0}$${\ displaystyle (1, \ pm 1)}$

${\ displaystyle a = - {\ frac {2 (t + 1)} {(t ^ {2} +1)}}.}$

Здесь может иметь любое значение , которое не делает знаменатель - ноль, которой есть возможности (то есть , если есть остаток, если нет) , - а также не делает нуль, что исключает еще один вариант, . Таким образом, есть ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle 1+ \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right)}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle t = -1}$

${\ displaystyle p- \ left (1+ \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right) \ right) -1}$

возможностей для , и поэтому вместе с двумя исключенными решениями есть общие решения исходного уравнения. Следовательно, является вычетом по модулю тогда и только тогда, когда делит . Это переформулировка указанного выше условия. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle p- \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right)}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 8}$${\ displaystyle p - (- 1) ^ {\ frac {p-1} {2}}}$

История и альтернативные утверждения

Теорема была сформулирована многими способами до ее современной формы: Эйлер и Лежандр не использовали нотацию сравнения Гаусса, а Гаусс не имел символа Лежандра.

В этой статье p и q всегда относятся к различным положительным нечетным простым числам, а x и y - к неопределенным целым числам.

Ферма

Ферма доказал (или утверждал, что доказал) ряд теорем о выражении простого числа квадратичной формой:

${\ displaystyle {\ begin {align} p = x ^ {2} + y ^ {2} \ qquad & \ Longleftrightarrow \ qquad p = 2 \ quad {\ text {or}} \ quad p \ Equiv 1 {\ bmod {4}} \\ p = x ^ {2} + 2y ^ {2} \ qquad & \ Longleftrightarrow \ qquad p = 2 \ quad {\ text {или}} \ quad p \ Equiv 1,3 {\ bmod { 8}} \\ p = x ^ {2} + 3y ^ {2} \ qquad & \ Longleftrightarrow \ qquad p = 3 \ quad {\ text {или}} \ quad p \ Equiv 1 {\ bmod {3}} \\\ конец {выровнен}}}$

Он не сформулировал закон квадратичной взаимности, хотя случаи -1, ± 2 и ± 3 легко выводятся из этих и других его теорем.

Он также утверждал, что у него есть доказательство того, что если простое число p оканчивается на 7 (с основанием 10), а простое число q оканчивается на 3, и p ≡ q ≡ 3 (mod 4), то

${\ displaystyle pq = x ^ {2} + 5y ^ {2}.}$

Эйлер предположил, а Лагранж доказал, что

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} p & \ Equiv 1,9 {\ bmod {20}} \ quad \ Longrightarrow \ quad p = x ^ {2} + 5y ^ {2} \\ p, q & \ Equiv 3, 7 {\ bmod {20}} \ quad \ Longrightarrow \ quad pq ​​= x ^ {2} + 5y ^ {2} \ end {align}}}$

Доказательство этих и других утверждений Ферма было одной из вещей, которые привели математиков к теореме взаимности.

Эйлер

В переводе на современные обозначения Эйлер заявил, что для различных нечетных простых чисел p и q :

1. Если q ≡ 1 (mod 4), то q является квадратичным вычетом (mod p ) тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число b такое, что p ≡ b ² (mod q ).
2. Если q ≡ 3 (mod 4), то q является квадратичным вычетом (mod p ) тогда и только тогда, когда существует некоторое целое число b, которое нечетно и не делится на q такое, что p ≡ ± b ² (mod 4 q ).

Это эквивалентно квадратичной взаимности.

Он не мог доказать этого, но доказал вторую добавку.

Лежандр и его символ

Ферма доказал, что если p - простое число, а a - целое,

${\ displaystyle a ^ {p} \ Equiv a {\ bmod {p}}.}$

Таким образом, если p не делит a , используя неочевидный факт (см., Например, Ирландию и Розен ниже), что вычеты по модулю p образуют поле и, следовательно, в частности, мультипликативная группа является циклической, следовательно, может быть не более двух решений для квадратное уравнение:

${\ displaystyle a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ Equiv \ pm 1 {\ bmod {p}}.}$

Лежандр позволяет a и A представлять положительные простые числа 1 (mod 4), а b и B - положительные простые числа ≡ 3 (mod 4), и составляет таблицу из восьми теорем, которые вместе эквивалентны квадратичной взаимности:

Теорема	Когда	следует, что
я	${\ Displaystyle б ^ {\ гидроразрыва {а-1} {2}} \ эквив 1 {\ bmod {а}}}$	${\ Displaystyle а ^ {\ гидроразрыва {b-1} {2}} \ Equiv 1 {\ bmod {b}}}$
II	${\ Displaystyle а ^ {\ гидроразрыва {b-1} {2}} \ Equiv -1 {\ bmod {b}}}$	${\ Displaystyle б ^ {\ гидроразрыва {а-1} {2}} \ эквив -1 {\ bmod {а}}}$
III	${\ Displaystyle а ^ {\ гидроразрыва {А-1} {2}} \ эквив 1 {\ bmod {А}}}$	${\ Displaystyle А ^ {\ гидроразрыва {а-1} {2}} \ эквив 1 {\ bmod {а}}}$
IV	${\ Displaystyle а ^ {\ гидроразрыва {A-1} {2}} \ Equiv -1 {\ bmod {A}}}$	${\ Displaystyle А ^ {\ гидроразрыва {а-1} {2}} \ эквив -1 {\ bmod {а}}}$
V	${\ Displaystyle а ^ {\ гидроразрыва {b-1} {2}} \ Equiv 1 {\ bmod {b}}}$	${\ Displaystyle б ^ {\ гидроразрыва {а-1} {2}} \ эквив 1 {\ bmod {а}}}$
VI	${\ Displaystyle б ^ {\ гидроразрыва {а-1} {2}} \ эквив -1 {\ bmod {а}}}$	${\ Displaystyle а ^ {\ гидроразрыва {b-1} {2}} \ Equiv -1 {\ bmod {b}}}$
VII	${\ displaystyle b ^ {\ frac {B-1} {2}} \ Equiv 1 {\ bmod {B}}}$	${\ Displaystyle B ^ {\ гидроразрыва {b-1} {2}} \ Equiv -1 {\ bmod {b}}}$
VIII	${\ displaystyle b ^ {\ frac {B-1} {2}} \ Equiv -1 {\ bmod {B}}}$	${\ Displaystyle B ^ {\ гидроразрыва {b-1} {2}} \ Equiv 1 {\ bmod {b}}}$

Он говорит, что, поскольку выражения формы

${\ displaystyle N ^ {\ frac {c-1} {2}} {\ bmod {c}}, \ qquad \ gcd (N, c) = 1}$

будет появляться так часто, что он будет сокращать их как:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {N} {c}} \ right) \ Equiv N ^ {\ frac {c-1} {2}} {\ bmod {c}} = \ pm 1.}$

Теперь это известно как символ Лежандра , и сегодня используется эквивалентное определение: для всех целых чисел a и всех нечетных простых чисел p

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = {\ begin {case} 0 & a \ Equiv 0 {\ bmod {p}} \\ 1 & a \ not \ Equiv 0 {\ bmod {p }} {\ text {and}} \ exists x: a \ Equiv x ^ {2} {\ bmod {p}} \\ - 1 & a \ not \ Equiv 0 {\ bmod {p}} {\ text {и там такого не бывает}} x. \ end {ases}}}$

Версия квадратичной взаимности Лежандра

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = {\ begin {case} \ left ({\ tfrac {q} {p}} \ right) & p \ Equiv 1 {\ bmod { 4}} \ quad {\ text {или}} \ quad q \ Equiv 1 {\ bmod {4}} \\ - \ left ({\ tfrac {q} {p}} \ right) & p \ Equiv 3 {\ bmod {4}} \ quad {\ text {и}} \ quad q \ Equiv 3 {\ bmod {4}} \ end {case}}}$

Он отмечает, что их можно комбинировать:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {{\ frac {p-1} {2}} {\ frac {q-1} {2}}}.}$

Ряд доказательств, особенно те, которые основаны на лемме Гаусса , явно вычисляют эту формулу.

Дополнительные законы с использованием символов Лежандра

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right) & = (- 1) ^ {\ frac {p-1} {2}} = {\ begin { case} 1 & p \ Equiv 1 {\ bmod {4}} \\ - 1 & p \ Equiv 3 {\ bmod {4}} \ end {ases}} \\\ left ({\ frac {2} {p}} \ right ) & = (- 1) ^ {\ frac {p ^ {2} -1} {8}} = {\ begin {cases} 1 & p \ эквив 1,7 {\ bmod {8}} \\ - 1 & p \ эквив 3,5 {\ bmod {8}} \ end {case}} \ end {align}}}$

Из этих двух дополнений мы можем получить третий закон взаимности для квадратичного характера -2 следующим образом:

Для -2 быть квадратичным вычетом, либо 1 или -2 являются квадратичными остатками, или оба невычетами: . ${\ displaystyle {\ bmod {p}}}$

Итак, либо: оба четные, либо оба нечетные. Сумма этих двух выражений равна ${\ displaystyle {\ frac {p-1} {2}} {\ text {или}} {\ frac {p ^ {2} -1} {8}}}$

${\ displaystyle {\ frac {p ^ {2} + 4p-5} {8}}}$которое является целым числом. Следовательно,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac {-2} {p}} \ right) & = (- 1) ^ {\ frac {p ^ {2} + 4p-5} {8} } = {\ begin {case} 1 & p \ Equiv 1,3 {\ bmod {8}} \\ - 1 & p \ Equiv 5,7 {\ bmod {8}} \ end {cases}} \ end {выровнены}}}$

Попытка Лежандра доказать взаимность основана на его теореме:

Теорема Лежандра. Пусть a , b и c - целые числа, где любая пара из трех взаимно просты. Более того, предположим, что хотя бы один из ab , bc или ca отрицателен (т.е. они не все имеют одинаковый знак). Если

${\ displaystyle {\ begin {align} u ^ {2} & \ Equiv -bc {\ bmod {a}} \\ v ^ {2} & \ Equiv -ca {\ bmod {b}} \\ w ^ { 2} & \ Equiv -ab {\ bmod {c}} \ конец {выровнено}}}$

разрешимы, то следующее уравнение имеет нетривиальное решение в целых числах:

${\ displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} = 0.}$

Пример. Теорема I обрабатывается, полагая a ≡ 1 и b ≡ 3 (mod 4) простыми числами и предполагая, что и вопреки теореме, что Then имеет решение, и взятие сравнений (mod 4) приводит к противоречию. ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {b} {a}} \ right) = 1}$${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {a} {b}} \ right) = - 1.}$${\ displaystyle x ^ {2} + ay ^ {2} -bz ^ {2} = 0}$

Этот метод не работает для теоремы VIII. Пусть b ≡ B ≡ 3 (mod 4), и предположим

${\ displaystyle \ left ({\ frac {B} {b}} \ right) = \ left ({\ frac {b} {B}} \ right) = - 1.}$

Тогда, если существует другое простое число p ≡ 1 (mod 4) такое, что

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {b}} \ right) = \ left ({\ frac {p} {B}} \ right) = - 1,}$

Разрешимость приводит к противоречию (mod 4). Но Лежандру не удалось доказать, что такое простое число p должно быть ; Позже он смог показать, что все, что требуется, это: ${\ displaystyle Bx ^ {2} + по ^ {2} -pz ^ {2} = 0}$

Лемма Лежандра. Если p - простое число, сравнимое с 1 по модулю 4, то существует нечетное простое число q такое, что${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {p} {q}} \ right) = - 1.}$

но и этого он доказать не мог. Символ Гильберта (ниже) обсуждает, как можно заставить работать методы, основанные на существовании решений . ${\ displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} = 0}$

Гаусс

Гаусс первым доказывает дополнительные законы. Он закладывает основу для индукции, доказывая теоремы для ± 3 и ± 5. Отметив, что для −3 и +5 легче сформулировать, чем для +3 или −5, он формулирует общую теорему в форме:

Если p является простым числом формы 4 n  + 1, то p , но если p имеет вид 4 n + 3, то - p является квадратичным вычетом (соответственно невычетом) каждого простого числа, которое с положительным знаком является вычетом (соответственно невычетом) числа p . В следующем предложении он окрестил ее «фундаментальной теоремой» (Гаусс никогда не использовал слово «взаимность»).

Вводя обозначение a R b (соответственно a N b ) для обозначения a является квадратичным вычетом (соответственно невычетом) (mod b ), и позволяя a , a 'и т. Д. Представлять положительные простые числа ≡ 1 (mod 4) и b , b ′ и т. д. положительные простые числа ≡ 3 (mod 4), он разбивает его на те же 8 случаев, что и Лежандр:

Случай	Если	потом
1)	± a R a ′	± a ′ R a
2)	± a N a ′	± a ′ N a
3)	+ a R b - a N b	± b R a
4)	+ a N b - a R b	± b N a
5)	± b R a	+ a R b - a N b
6)	± b N a	+ a N b - a R b
7)	+ b R b ′ - b N b ′	- b ′ N b + b ′ R b
8)	- b N b ′ + b R b ′	+ b ′ R b - b ′ N b

В следующей статье он обобщает это на основные правила символа Якоби (см . Ниже) . Пусть A , A ′ и т. Д. Представляют любые (простые или составные) положительные числа ≡ 1 (mod 4) и B , B ′ и т. Д. Положительные числа ≡ 3 (mod 4):

Случай	Если	потом
9)	± a R A	± A R a
10)	± b R A	+ A R b - A N b
11)	+ а R B	± B R a
12)	- а R B	± B N a
13)	+ b R B	- Б Н б + Н Р б
14)	- б Р Б	+ B R b - B N b

Все эти случаи принимают форму «если простое число является вычетом (по модулю составного числа), то составное число является вычетом или невычетом (по модулю простого числа), в зависимости от сравнений (по модулю 4)». Он доказывает, что это следует из случаев 1) - 8).

Гауссу нужна была лемма, аналогичная той, что требовалась Лежандру, и он смог ее доказать:

Лемма Гаусса. Если p простое число, сравнимое с 1 по модулю 8, то существует нечетное простое число q такое, что:

${\ displaystyle q <2 {\ sqrt {p}} + 1 \ quad {\ text {and}} \ quad \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = - 1.}$

Доказательство квадратичной взаимности использует полную индукцию .

Версия Гаусса в легандровых символах.

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = {\ begin {case} \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) & q \ Equiv 1 {\ bmod { 4}} \\\ left ({\ frac {-q} {p}} \ right) & q \ Equiv 3 {\ bmod {4}} \ end {case}}}$

Их можно комбинировать:

Комбинированная версия Гаусса в символах Лежандра. Позволять

${\ displaystyle q ^ {*} = (- 1) ^ {\ frac {q-1} {2}} q.}$

Другими словами:

${\ displaystyle | q ^ {*} | = | q | \ quad {\ text {and}} \ quad q ^ {*} \ Equiv 1 {\ bmod {4}}.}$

Потом:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = \ left ({\ frac {q ^ {*}} {p}} \ right).}$

Ряд доказательств теоремы, особенно те, которые основаны на суммах Гаусса, выводят эту формулу. или расщепление простых чисел в полях алгебраических чисел ,

Прочие заявления

Утверждения в этом разделе эквивалентны квадратичной взаимности: если, например, предполагается версия Эйлера, версия Лежандра-Гаусса может быть выведена из нее, и наоборот.

Формулировка Эйлера квадратичной взаимности. Если тогда${\ Displaystyle п \ эквив \ пм д {\ bmod {4a}}}$${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {a} {p}} \ right) = \ left ({\ tfrac {a} {q}} \ right).}$

Это можно доказать с помощью леммы Гаусса .

Квадратичная взаимность (Гаусс; четвертое доказательство). Пусть a , b , c , ... - неравные положительные нечетные простые числа, произведение которых равно n , и пусть m - их количество, равное ≡ 3 (mod 4); проверьте, является ли n / a остатком a , является ли n / b остатком b , .... Число найденных невычетов будет четным, когда m 0, 1 (mod 4), и будет нечетным, если м 2, 3 (мод 4).

Четвертое доказательство Гаусса состоит из доказательства этой теоремы (путем сравнения двух формул для значений сумм Гаусса) и последующего ограничения его двумя простыми числами. Затем он приводит пример: Пусть a = 3, b = 5, c = 7 и d = 11. Три из них, 3, 7 и 11 3 (mod 4), поэтому m 3 (mod 4). 5 × 7 × 11 R 3; 3 × 7 × 11 R 5; 3 × 5 × 11 R 7; и 3 × 5 × 7 N 11, поэтому имеется нечетное количество невычетов.

Формулировка Эйзенштейна квадратичной взаимности. Предполагать

${\ Displaystyle p \ neq q, \ quad p '\ neq q', \ quad p \ Equiv p '{\ bmod {4}}, \ quad q \ Equiv q' {\ bmod {4}}.}$

потом

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = \ left ({\ frac {p '} {q'} } \ right) \ left ({\ frac {q '} {p'}} \ right).}$

Формулировка квадратичной взаимности Морделла. Пусть a , b и c - целые числа. Для каждого простого числа p , делящего abc, если сравнение

${\ displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} \ Equiv 0 {\ bmod {\ tfrac {4abc} ​​{p}}}}$

имеет нетривиальное решение, то также:

${\ displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} \ Equiv 0 {\ bmod {4abc}}.}$

Формулировка дзета-функции

Как упоминалось в статье о дзета-функциях Дедекинда , квадратичная взаимность эквивалентна дзета-функции квадратичного поля, являющегося произведением дзета-функции Римана и некоторой L-функции Дирихле.

Символ Якоби

Символ Якоби является обобщением символа Лежандра; основное отличие состоит в том, что нижнее число должно быть положительным и нечетным, но не обязательно простым. Если это простое число, два символа совпадают. Он подчиняется тем же правилам манипуляции, что и символ Лежандра. Особенно

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac {-1} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {n-1} {2}} & = {\ begin { case} 1 & n \ Equiv 1 {\ bmod {4}} \\ - 1 & n \ Equiv 3 {\ bmod {4}} \ end {ases}} \\\ left ({\ frac {2} {n}} \ right ) = (- 1) ^ {\ frac {n ^ {2} -1} {8}} & = {\ begin {cases} 1 & n \ экв 1,7 {\ bmod {8}} \\ - 1 & n \ эквив 3,5 {\ bmod {8}} \ end {ases}} \\\ left ({\ frac {-2} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {n ^ {2} + 4n-5} {8}} & = {\ begin {cases} 1 & n \ Equiv 1,3 {\ bmod {8}} \\ - 1 & n \ Equiv 5,7 {\ bmod {8}} \ end {case }} \ end {выровнены}}}$

и если оба числа положительные и нечетные (это иногда называют «законом взаимности Якоби»):

${\ displaystyle \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {(m-1) (n-1)} {4}} \ left ({\ frac {n} {m}} \ right).}$

Однако, если символ Якоби равен 1, но знаменатель не является простым, из этого не обязательно следует, что числитель является квадратичным остатком знаменателя. Случаи Гаусса 9) - 14) выше могут быть выражены в терминах символов Якоби:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {M} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {(p-1) (M-1)} {4}} \ left ({\ frac {p} {M}} \ right),}$

и поскольку p простое число, левая часть является символом Лежандра, и мы знаем, является ли M вычетом по модулю p или нет.

Формулы, перечисленные в предыдущем разделе, верны для символов Якоби, пока символы определены. Формулу Эйлера можно записать

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {m}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {m \ pm 4an}} \ right), \ qquad n \ in \ mathbb {Z} , m \ pm 4an> 0.}$

Пример.

${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {7}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {15}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {23}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {31}} \ right) = \ cdots = 1.}$

2 - вычет по модулю простых чисел 7, 23 и 31:

${\ Displaystyle 3 ^ {2} \ эквив 2 {\ bmod {7}}, \ квад 5 ^ {2} \ экви 2 {\ bmod {23}}, \ квад 8 ^ {2} \ экви 2 {\ bmod {31}}.}$

Но 2 не является квадратичным вычетом по модулю 5, поэтому он не может быть единицей по модулю 15. Это связано с проблемой Лежандра: если тогда a является невычетом по модулю каждого простого числа в арифметической прогрессии m + 4 a , m + 8 , ..., если есть какие - либо простые числа в этой серии, но это не было доказано до десятилетий после Лежандра. ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {a} {m}} \ right) = - 1,}$

Формула Эйзенштейна требует условий относительной простоты (которые верны, если числа простые)

Позвольте быть положительные нечетные целые числа такие, что: ${\ displaystyle a, b, a ', b'}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gcd & (a, b) = \ gcd (a ', b') = 1 \\ & a \ Equiv a '{\ bmod {4}} \\ & b \ Equiv b' {\ bmod {4}} \ конец {выровнено}}}$

потом

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) \ left ({\ frac {b} {a}} \ right) = \ left ({\ frac {a '} {b'} } \ right) \ left ({\ frac {b '} {a'}} \ right).}$

Символ Гильберта

Квадратичный закон взаимности может быть сформулирован в терминах символа Гильберта, где a и b - любые два ненулевых рациональных числа, а v пробегает все нетривиальные абсолютные значения рациональных чисел (архимедово и p -адические абсолютные значения для простых чисел р ). Символ Гильберта равен 1 или -1. Он определяется как 1 тогда и только тогда, когда уравнение имеет решение в дополнении рациональных чисел в v, отличное от . Закон Гильберт взаимности утверждает , что при фиксированном и б и изменяющееся V , является 1 для всех , кроме конечного числа v и произведение по всему v равно 1. (Это формально напоминают остаток теорему из комплексного анализа.) ${\ Displaystyle (а, б) _ {v}}$${\ Displaystyle (а, б) _ {v}}$${\ displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} = z ^ {2}}$${\ displaystyle x = y = z = 0}$${\ Displaystyle (а, б) _ {v}}$${\ Displaystyle (а, б) _ {v}}$

Доказательство гильбертовой взаимности сводится к проверке нескольких частных случаев, а нетривиальные случаи оказываются эквивалентными основному закону и двум дополнительным законам квадратичной взаимности для символа Лежандра. В законе взаимности Гильберта нет взаимности; его название просто указывает на исторический источник результата квадратичной взаимности. В отличие от квадратичной взаимности, которая требует знаковых условий (а именно положительности задействованных простых чисел) и особой обработки простого числа 2, закон взаимности Гильберта рассматривает все абсолютные значения рациональных чисел на равной основе. Следовательно, это более естественный способ выражения квадратичной взаимности с точки зрения обобщения: закон взаимности Гильберта с очень небольшими изменениями распространяется на все глобальные поля, и это расширение по праву можно считать обобщением квадратичной взаимности на все глобальные поля.

Связь с круговыми полями

Первые доказательства квадратичной взаимности относительно неинтересны. Ситуация изменилась, когда Гаусс использовал суммы Гаусса, чтобы показать, что квадратичные поля являются подполями круговых полей , и неявно вывел квадратичную взаимность из теоремы взаимности для круговых полей. Его доказательство было отлито в современной форме более поздними теоретиками алгебраических чисел. Это доказательство послужило шаблоном для теории полей классов , которую можно рассматривать как обширное обобщение квадратичной взаимности.

Роберт Ленглендс сформулировал программу Ленглендса , которая дает предположительное обширное обобщение теории поля классов. Он написал:

Признаюсь, что как студент, не знакомый с историей предмета и не знающий о связи с циклотомией, я не нашел закон или его так называемые элементарные доказательства привлекательными. Я полагаю, хотя я не мог (и не мог) выразить себя таким образом, я видел в этом не более чем математическое любопытство, подходящее больше для любителей, чем для внимания серьезного математика, которым я тогда надеялся стать. Только в книге Германа Вейля по алгебраической теории чисел я оценил ее как нечто большее.

Другие кольца

Кроме целых чисел, существуют также квадратичные законы взаимности в кольцах .

Гауссовские целые числа

Во второй своей монографии о квартике взаимности Гаусс заявил квадратную взаимность для кольца из гауссовых целых чисел , говоря , что это вытекает из биквадратичным закона в , но не предоставило доказательство либо теорема. Дирихле показал, что закон можно вывести из закона без использования четверной взаимности. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [я]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [я],}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [я]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Для нечетного гауссовского простого числа и гауссовского целого числа относительно простых, чтобы определить квадратичный характер для : ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ pi,}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [я]}$

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ alpha} {\ pi}} \ right] _ {2} \ Equiv \ alpha ^ {\ frac {\ mathrm {N} \ pi -1} {2}} {\ bmod {\ pi}} = {\ begin {cases} 1 & \ exists \ eta \ in \ mathbb {Z} [i]: \ alpha \ Equiv \ eta ^ {2} {\ bmod {\ pi}} \\ - 1 & {\ text {иначе}} \ end {case}}}$

Пусть будут различные гауссовские простые числа, где a и c нечетные, а b и d четные. потом ${\ Displaystyle \ лямбда = а + би, \ му = с + ди}$

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ lambda} {\ mu}} \ right] _ {2} = \ left [{\ frac {\ mu} {\ lambda}} \ right] _ {2}, \ qquad \ left [{\ frac {i} {\ lambda}} \ right] _ {2} = (- 1) ^ {\ frac {b} {2}}, \ qquad \ left [{\ frac {1+ i} {\ lambda}} \ right] _ {2} = \ left ({\ frac {2} {a + b}} \ right).}$

Целые числа Эйзенштейна

Рассмотрим следующий третий корень из единства:

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {-1 + {\ sqrt {-3}}} {2}} = e ^ {\ frac {2 \ pi \ imath} {3}}.}$

Кольцо целых чисел Эйзенштейна для простого числа Эйзенштейна и целого числа Эйзенштейна с определением квадратичного характера для по формуле ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ omega].}$${\ displaystyle \ pi, \ mathrm {N} \ pi \ neq 3,}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ НОД (\ альфа, \ пи) = 1,}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ omega]}$

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ alpha} {\ pi}} \ right] _ {2} \ Equiv \ alpha ^ {\ frac {\ mathrm {N} \ pi -1} {2}} {\ bmod {\ pi}} = {\ begin {cases} 1 & \ exists \ eta \ in \ mathbb {Z} [\ omega]: \ alpha \ Equiv \ eta ^ {2} {\ bmod {\ pi}} \\ -1 & {\ text {иначе}} \ end {case}}}$

Пусть λ = a + bω и μ = c + dω - различные простые числа Эйзенштейна, где a и c не делятся на 3, а b и d делятся на 3. Эйзенштейн доказал

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ lambda} {\ mu}} \ right] _ {2} \ left [{\ frac {\ mu} {\ lambda}} \ right] _ {2} = (- 1) ^ {{\ frac {\ mathrm {N} \ lambda -1} {2}} {\ frac {\ mathrm {N} \ mu -1} {2}}}, \ qquad \ left [{\ frac {1- \ omega} {\ lambda}} \ right] _ {2} = \ left ({\ frac {a} {3}} \ right), \ qquad \ left [{\ frac {2} {\ lambda }} \ right] _ {2} = \ left ({\ frac {2} {\ mathrm {N} \ lambda}} \ right).}$

Мнимые квадратичные поля

Вышеупомянутые законы являются частными случаями более общих законов, которые выполняются для кольца целых чисел в любом поле мнимых квадратичных чисел . Пусть к мнимое квадратичное числовое поле с кольцом целых чисел За простой идеал с нечетным нормой и определим квадратичную иероглиф , как ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {k}.}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ subset {\ mathcal {O}} _ {k}}$${\ Displaystyle \ mathrm {N} {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ alpha \ in {\ mathcal {O}} _ {k},}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {k}}$

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ alpha} {\ mathfrak {p}}} \ right] _ {2} \ Equiv \ alpha ^ {\ frac {\ mathrm {N} {\ mathfrak {p}} - 1} {2}} {\ bmod {\ mathfrak {p}}} = {\ begin {cases} 1 & \ alpha \ not \ in {\ mathfrak {p}} {\ text {and}} \ exists \ eta \ в {\ mathcal {O}} _ {k} {\ text {такой, что}} \ alpha - \ eta ^ {2} \ in {\ mathfrak {p}} \\ - 1 & \ alpha \ not \ in {\ mathfrak {p}} {\ text {а такого нет}} \ eta \\ 0 & \ alpha \ in {\ mathfrak {p}} \ end {case}}}$

для произвольного идеала, разложенного на простые идеалы, определим ${\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} \ subset {\ mathcal {O}} _ {k}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} = {\ mathfrak {p}} _ {1} \ cdots {\ mathfrak {p}} _ {n}}$

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ alpha} {\ mathfrak {a}}} \ right] _ {2} = \ left [{\ frac {\ alpha} {{\ mathfrak {p}} _ {1 }}} \ right] _ {2} \ cdots \ left [{\ frac {\ alpha} {{\ mathfrak {p}} _ {n}}} \ right] _ {2},}$

и для определения ${\ displaystyle \ beta \ in {\ mathcal {O}} _ {k}}$

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ right] _ {2} = \ left [{\ frac {\ alpha} {\ beta {\ mathcal {O}} _ {k} }} \ right] _ {2}.}$

Пусть т приведен целый базис для For с нечетными нормами определяют (обычные) целые числа а , б , Ĉ , d уравнений, ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {k} = \ mathbb {Z} \ omega _ {1} \ oplus \ mathbb {Z} \ omega _ {2},}$${\ displaystyle \ left \ {\ omega _ {1}, \ omega _ {2} \ right \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {k}.}$${\ displaystyle \ nu \ in {\ mathcal {O}} _ {k}}$${\ Displaystyle \ mathrm {N} \ nu,}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ nu \ omega _ {1} & = a \ omega _ {1} + b \ omega _ {2} \\\ nu \ omega _ {2} & = c \ omega _ {1} + d \ omega _ {2} \ end {выровнено}}}$

и функция

${\ displaystyle \ chi (\ nu): = \ imath ^ {(b ^ {2} -a + 2) c + (a ^ {2} -b + 2) d + ad}.}$

Если m = Nμ и n = Nν оба нечетны , Герглотц доказал

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ mu} {\ nu}} \ right] _ {2} \ left [{\ frac {\ nu} {\ mu}} \ right] _ {2} = (- 1) ^ {{\ frac {m-1} {2}} {\ frac {n-1} {2}}} \ chi (\ mu) ^ {m {\ frac {n-1} {2}} } \ chi (\ nu) ^ {- n {\ frac {m-1} {2}}}.}$

Кроме того, если

${\ Displaystyle \ му \ эквив \ му '{\ bmod {4}} \ квад {\ текст {и}} \ квад \ ню \ эквив \ ню' {\ bmod {4}}}$

потом

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ mu} {\ nu}} \ right] _ {2} \ left [{\ frac {\ nu} {\ mu}} \ right] _ {2} = \ left [{\ frac {\ mu '} {\ nu'}} \ right] _ {2} \ left [{\ frac {\ nu '} {\ mu'}} \ right] _ {2}.}$

Полиномы над конечным полем

Пусть F быть конечное поле с д = р ^п элементов, где р представляет собой нечетное простое число , а п является положительным, и пусть F [ х ] будет кольцо многочленов от одной переменной с коэффициентами из F . Если и е является неприводимым , унитарным , и имеет положительную степень, определяют квадратичный характер для F [ х ] в обычном порядке: ${\ displaystyle f, g \ in F [x]}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {g} {f}} \ right) = {\ begin {cases} 1 & \ gcd (f, g) = 1 {\ text {and}} \ существует h, k \ in F [x] {\ text {такой, что}} gh ^ {2} = kf \\ - 1 & \ gcd (f, g) = 1 {\ text {and}} g {\ text {не квадрат}} {\ bmod {f}} \\ 0 & \ gcd (f, g) \ neq 1 \ end {case}}}$

Если - произведение монических неприводимых, пусть ${\ displaystyle f = f_ {1} \ cdots f_ {n}}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {g} {f}} \ right) = \ left ({\ frac {g} {f_ {1}}} \ right) \ cdots \ left ({\ frac {g} {f_ {n}}} \ right).}$

Дедекинд доказал, что если монические и имеют положительные степени, ${\ displaystyle f, g \ in F [x]}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {g} {f}} \ right) \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) = (- 1) ^ {{\ frac {q-1} {2}} (\ deg f) (\ deg g)}.}$

Высшие силы

Попытка обобщить квадратичную взаимность для степеней выше второй была одной из главных целей, которые привели математиков XIX века, в том числе Карла Фридриха Гаусса , Питера Густава Лежена Дирихле , Карла Густава Якоба Якоби , Готтхольда Эйзенштейна , Ричарда Дедекинда , Эрнста Куммера и Давида. Гильберта к изучению общих полей алгебраических чисел и их колец целых чисел; В частности, Куммер изобрел идеалы, чтобы установить и доказать высшие законы взаимности.

Девятый в списке 23 нерешенных проблем , которые Давид Гильберт предложил в Математическом конгрессе в 1900 году попросил «Доказательство наиболее общего закона взаимности [F] или поля произвольное число». Основываясь на работах Филиппа Фуртвенглера , Тейджи Такаги , Гельмута Хассе и других, Эмиль Артин открыл в 1923 году взаимность Артина , общую теорему, для которой все известные законы взаимности являются частными случаями, и доказал ее в 1927 году.

Смотрите также

• Дзета-функция Дедекинда
• Закон рациональной взаимности
• Лемма Золотарева

Примечания

использованная литература

Disquisitiones Arithmeticae был переведен (с латинского) на английском и немецком языках. Немецкое издание включает все работы Гаусса по теории чисел: все доказательства квадратичной взаимности, определение знака суммы Гаусса, исследования биквадратичной взаимности и неопубликованные заметки. Сноски, относящиеся к Disquisitiones Arithmeticae, имеют форму «Gauss, DA, Art. N ».

• Гаусс, Карл Фридрих; Кларк, Артур А. (переводчик на английский язык) (1986), Disquisitiones Arithemeticae (второе, исправленное издание) , Нью-Йорк: Springer , ISBN 0-387-96254-9
• Гаусс, Карл Фридрих; Мазер, Герман (перевод на немецкий) (1965), Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae и другие статьи по теории чисел) (второе издание) , Нью-Йорк: Челси, ISBN 0-8284-0191-8

Две опубликованные Гауссом монографии по биквадратной взаимности имеют последовательно пронумерованные разделы: первая содержит §§ 1–23, а вторая §§ 24–76. Ссылки на них имеют форму «Gauss, BQ, § n ».

• Гаусс, Карл Фридрих (1828), Theoria резидуум biquadraticorum, Commentatio prima , Геттинген: Комментарий. Soc. regiae sci, Göttingen 6
• Гаусс, Карл Фридрих (1832), Theoria резидуум biquadraticorum, Commentatio secunda , Геттинген: Комментарий. Soc. regiae sci, Göttingen 7

Они находятся в Werke Гаусса , том II, стр. 65–92 и 93–148. Немецкие переводы находятся на стр. 511–533 и 534–586 Untersuchungen über höhere Arithmetik.

Каждый учебник по элементарной теории чисел (и немало по алгебраической теории чисел ) содержит доказательство квадратичной взаимности. Особого внимания заслуживают два:

Franz Lemmermeyer в Взаимности Законы: От Эйлера до Эйзенштейн имеет много доказательств (некоторые в упражнениях) как квадратичные и более мощных законов взаимности и обсуждение их истории. Его обширная библиография включает цитаты из 196 различных опубликованных доказательств квадратичного закона взаимности .

Кеннет Ирландии и Майкл Розен «s Классическое введение в современную теорию чисел и имеет много доказательств квадратичной взаимности (и многих упражнений), и охватывает кубические и биквадратичные случаи. Упражнение 13.26 (с. 202) говорит само за себя.

Подсчитайте количество доказательств закона квадратичной взаимности, приведенных до сих пор в этой книге, и придумайте еще одно.

• Бах, Эрик; Шаллит, Джеффри (1966), теория алгоритмических чисел (том I: эффективные алгоритмы) , Кембридж: MIT Press , ISBN 0-262-02405-5
• Эдвардс, Гарольд (1977), Последняя теорема Ферма , Нью-Йорк: Спрингер , ISBN 0-387-90230-9
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-12893-0 , ISBN 3-540-66957-4, Руководство по ремонту  1761696
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Спрингер , ISBN 0-387-97329-X

внешние ссылки

• "Квадратичный закон взаимности" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Квадратичная теорема взаимности из MathWorld
• Игра сравнение двух доказательств квадратичного закона взаимности
• Доказательство этой теоремы на PlanetMath
• Другое доказательство на MathPages
• Хронология и библиография доказательств квадратичного закона взаимности Ф. Леммермейером (332 доказательства)