Циклическая симметрия в трех измерениях - Cyclic symmetry in three dimensions

Группы точек в трех измерениях
Группа полиэдров , [n, 3], (* n32)
Инволюционная симметрия C _s , (*) [] =	Циклическая симметрия C _nv , (* nn) [n] =	Диэдральная симметрия D _nh , (* n22) [n, 2] =
Тетраэдрическая симметрия T _d , (* 332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия O _h , (* 432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I _h , (* 532) [5,3] =

В трехмерной геометрии есть четыре бесконечных серии точечных групп в трех измерениях ( n ≥1) с n- кратной симметрией вращения или отражения относительно одной оси (под углом 360 ° / n ), которые не изменяют объект.

Это конечные группы симметрии на конусе . При n = ∞ они соответствуют четырем группам фризов . Используется обозначение Шенфлиса . Термины горизонтальный (h) и вертикальный (v) подразумевают наличие и направление отражений относительно вертикальной оси симметрии. Также показаны обозначения Кокстера в скобках, а в скобках - орбифолдные обозначения .

Пример дерева подгрупп симметрии для диэдральной симметрии: D _4h , [4,2], (* 224)

Типы

Хиральный

C _n , [n] ⁺ , ( nn ) порядка n - n- кратная вращательная симметрия - акро-n-угольная группа (абстрактная группа Z _n ); для n = 1: нет симметрии ( тривиальная группа )

Ахирал

Часть сыпучей амортизации с C _2h симметрии

C _nh , [n ⁺ , 2], ( n *) порядка 2 n - призматическая симметрия или орто-n-угольная группа (абстрактная группа Z _n × Dih ₁ ); для n = 1 это обозначается C _s (1 *) и называется симметрией отражения , а также двусторонней симметрией . Он обладает симметрией отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси вращения n-го порядка.
C _nv , [n], (* nn ) порядка 2 n - пирамидальная симметрия или полная акро-n-угольная группа (абстрактная группа Dih _n ); в биологии C _2v называется бирадиальной симметрией . При n = 1 снова имеем C _s (1 *). Имеет вертикальные зеркальные плоскости. Это группа симметрии для правильной n- сторонней пирамиды .
S _2n , [2 ⁺ , 2n ⁺ ], ( n ×) порядка 2 n - гиро-n-угольная группа (не путать с симметричными группами , для которых используются те же обозначения; абстрактная группа Z _2n ); Он имеет 2 н -кратной rotoreflection ось, также называется 2 п -кратно неправильной оси вращения, то есть, группа симметрии содержит комбинацию отражения в горизонтальной плоскости и поворота на угол 180 ° / л. Таким образом, как и D _nd , он содержит ряд неправильных поворотов, но не содержит соответствующих поворотов.
- для n = 1 имеем S ₂ ( 1 × ), также обозначаемую C _i ; это инверсионная симметрия .

C _2h , [2,2 ⁺ ] (2 *) и C _2v , [2], (* 22) порядка 4 - это два из трех типов трехмерных групп симметрии с четырехгруппой Клейна в качестве абстрактной группы. C _2v применяется, например, к прямоугольной плитке, верхняя сторона которой отличается от нижней.

Фриз-группы

В пределе эти четыре группы представляют евклидовы плоские _{фризовые} группы как C _∞ , C _∞h , C _∞v и S _∞ . Вращения становятся переводами в пределе. Части бесконечной плоскости также можно разрезать и соединить в бесконечный цилиндр.

Фриз-группы
Обозначения				Примеры
IUC	Орбифолд	Coxeter	Schönflies ^*	Евклидова плоскость	Цилиндрические (n = 6)
p1	∞∞	[∞] ⁺	C _∞
p1m1	* ∞∞	[∞]	C _∞v
p11m	∞ *	[∞ ⁺ , 2]	C _∞h
p11g	∞ ×	[∞ ⁺ , 2 ⁺ ]	S _∞

Примеры

S ₂ / C _i (1x):	C _4v (* 44):		C _5v (* 55):
Параллелепипед	Квадратная пирамида	Удлиненная квадратная пирамида	Пятиугольная пирамида