Конечное целое число - Profinite integer

В математике , А проконечная целое число является элементом кольца (иногда произносится как Zee-шляпы или ZED-шлем)

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} = \ varprojlim \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} = \ prod _ {p} \ mathbb {Z} _ {p}}$

где

${\ Displaystyle \ varprojlim \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}}$

указует на проконечное завершение в индексе пробегает все простые числа , и это кольцо р -адических чисел . Эта группа важна из-за ее связи с теорией Галуа , этальной теорией гомотопий и кольцом Адель . Кроме того, он представляет собой простой послушный пример проконечной группы. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$

Строительство и отношения

Конкретно проконечные целые числа будут набором последовательностей, таких что и . Поточечное сложение и умножение делают его коммутативным кольцом. Если последовательность целых чисел сходится по модулю для каждого, тогда предел будет существовать как проконечное целое число. Существует вложение целых чисел в кольцо проконечных целых чисел, поскольку существует каноническая инъекция ${\ displaystyle \ upsilon}$ ${\ Displaystyle \ upsilon (п) \ в \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle м \ | \ п \ подразумевает \ ипсилон (м) \ эквив \ ипсилон (п) {\ bmod {м}}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle m}$

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ hookrightarrow {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}

где

{\ displaystyle n \ mapsto (n {\ bmod {1}}, n {\ bmod {2}}, \ dots).}

Использование китайской теоремы об остатках

Другой способ понять конструкцию проконечных целых чисел - использовать китайскую теорему об остатках . Напомним, что для целого числа с разложением на простые множители ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle n =: p_ {1} ^ {a_ {1}} \ cdots p_ {k} ^ {a_ {k}}}

неповторяющихся простых чисел существует изоморфизм колец

{\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ quad \ cong \ quad \ mathbb {Z} / p_ {1} ^ {a_ {1}} \ times \ cdots \ times \ mathbb {Z} / p_ {k} ^ {a_ {k}}}

из теоремы. Более того, любая сюръекция

{\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ to \ mathbb {Z} / m}

будет просто отображением лежащих в основе разложений, где есть индуцированные сюръекции

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p_ {i} ^ {a_ {i}} \ to \ mathbb {Z} / p_ {i} ^ {b_ {i}}}

так как мы должны иметь . Должно быть намного яснее, что при определении обратного предела проконечных целых чисел мы имеем изоморфизм ${\ displaystyle a_ {i} \ geq b_ {i}}$

{\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ cong \ prod _ {p} \ mathbb {Z} _ {p}}

с прямым произведением целых p-адических чисел.

Топологические свойства

Множество проконечных целых чисел имеет индуцированную топологию, в которой оно является компактным хаусдорфовым пространством , исходя из того факта, что его можно рассматривать как замкнутое подмножество бесконечного прямого произведения

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ subset \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$

который компактен со своей топологией произведения по теореме Тихонова . Обратите внимание, что топология каждой конечной группы задана как дискретная топология . Поскольку сложение проконечных целых чисел непрерывно, является компактной абелевой группой по Хаусдорфу, и, следовательно, ее двойственная по Понтрягину группа должна быть дискретной абелевой группой. На самом деле двойственная к Понтрягину группа является дискретной абелевой группой . Этот факт демонстрирует спаривание ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z} \ times {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ к U (1), \, (q, a) \ mapsto \ chi (qa)}$

где - характер индуцированного . ${\ displaystyle \ chi}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbb {Q}, f}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z} \ к U (1), \, \ alpha \ mapsto e ^ {2 \ pi i \ alpha}}$

Отношения с аделями

Тензорное произведение - это кольцо конечных аделей ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbb {Q}, f} = {\ prod _ {p}} '\ mathbb {Q} _ {p}}$

из которых символ означает ограничить продукт . Есть изоморфизм ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle '}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbb {Q}} \ cong \ mathbb {R} \ times ({\ hat {\ mathbb {Z}}} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb { Q})}$

Приложения в теории Галуа и этальной теории гомотопий

Для алгебраического замыкания в виде конечного поля порядка д, группа Галуа может быть вычислена в явном виде. Из того факта, что автоморфизмы задаются эндоморфизмом Фробениуса , группа Галуа алгебраического замыкания группы задается обратным пределом групп , поэтому ее группа Галуа изоморфна группе проконечных целых чисел ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {F}}} _ {q}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {q}}$ ${\ displaystyle {\ text {Gal}} (\ mathbf {F} _ {q ^ {n}} / \ mathbf {F} _ {q}) \ cong \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ overline {\ mathbf {F}}} _ {q} / \ mathbf {F} _ {q}) \ cong {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

что дает вычисление абсолютной группы Галуа конечного поля.

Связь с фундаментальными группами Этале алгебраических торов

Эту конструкцию можно по-разному интерпретировать. Один из них взят из теории гомотопий Этале, которая определяет фундаментальную группу Этале как проконечное пополнение автоморфизмов. ${\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (X)}$

${\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (X) = \ lim _ {i \ in I} {\ text {Aut}} (X_ {i} / X)}$

где есть покрытие Этальное . Тогда проконечные целые числа изоморфны группе ${\ displaystyle X_ {i} \ to X}$

${\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} ({\ text {Spec}} (\ mathbf {F} _ {q})) \ cong {\ hat {\ mathbb {Z}}}}$

из более раннего вычисления проконечной группы Галуа. Кроме того, существует вложение проконечных целых чисел внутрь фундаментальной группы Этале алгебраического тора

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {Z}}} \ hookrightarrow \ pi _ {1} ^ {et} (\ mathbb {G} _ {m})}$

так как покрывающие карты происходят от полиномиальных отображений

${\ displaystyle (\ cdot) ^ {n}: \ mathbb {G} _ {m} \ to \ mathbb {G} _ {m}}$

из карты коммутативных колец

${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}] \ to \ mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}]}$ отправка ${\ Displaystyle х \ mapsto х ^ {п}}$

с тех пор . Если алгебраический тор рассматривается над полем , то фундаментальная группа Этале содержит действие также из фундаментальной точной последовательности в этальной теории гомотопий. ${\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m} = {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}])}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (\ mathbb {G} _ {m} / {\ text {Spec (k)}})}$ ${\ displaystyle {\ text {Gal}} ({\ overline {k}} / k)}$

Теория поля классов и проконечные целые числа

Теория полей классов - это раздел алгебраической теории чисел, изучающий абелевы полевые расширения поля. Учитывая глобальное поле , абелианизация его абсолютной группы Галуа ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle {\ text {Gal}} ({\ overline {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q}) ^ {ab}}$

тесно связано с ассоциированным кольцом аделей и группой проконечных целых чисел. В частности, есть карта, которая называется карта Артина. ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}}}$

${\ displaystyle \ Psi _ {\ mathbb {Q}}: \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}} ^ {\ times} / \ mathbb {Q} ^ {\ times} \ to {\ text {Gal }} ({\ overline {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q}) ^ {ab}}$

что является изоморфизмом. Это частное можно явно определить как

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}} ^ {\ times} / \ mathbb {Q} ^ {\ times} & \ cong (\ mathbb {R} \ times { \ hat {\ mathbb {Z}}}) / \ mathbb {Z} \\ & = {\ underset {\ leftarrow} {\ lim}} \ mathbb {(} {\ mathbb {R}} / m \ mathbb { Z}) \\ & = {\ underset {x \ mapsto x ^ {m}} {\ lim}} S ^ {1} \\ & = {\ hat {\ mathbb {Z}}} \ end {выровнено} }}$

давая желаемое отношение. Аналогичное утверждение существует для локальной теории полей классов, поскольку каждое конечное абелево расширение поля индуцируется из конечного расширения поля . ${\ Displaystyle К / \ mathbb {Q} _ {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p ^ {n}} / \ mathbb {F} _ {p}}$

Смотрите также

Заметки

Внешние ссылки

Эта статья по алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

Languages

In other projects