Проблема множественной общности - Problem of multiple generality
Проблема несколько общности имен сбой в традиционных логиках для описания некоторых интуитивно действительных выводов. Например, интуитивно понятно, что если:
- Какого-то кота боится каждая мышь
тогда логически следует, что:
- Все мыши боятся хотя бы одной кошки .
Синтаксис традиционной логики (TL) допускает ровно четыре типа предложений: «Все как есть B», «Нет, как есть B», «Некоторые как есть B» и «Некоторые как не являются B». Каждый тип - это количественное предложение, содержащее ровно один квантификатор. Поскольку каждое из приведенных выше предложений содержит два квантора («некоторые» и «каждый» в первом предложении и «все» и «хотя бы один» во втором предложении), они не могут быть адекватно представлены в языке TL. Лучшее, что может сделать TL, - это включить второй квантификатор из каждого предложения во второй термин, тем самым превратив искусственно звучащие термины «боятся каждой мыши» и «боятся хотя бы одной кошки». По сути, это «хоронит» эти количественные показатели, которые необходимы для достоверности вывода, внутри терминов, поставленных через дефис. Следовательно, предложению «Какая-то кошка боится всякая мышь» придана та же логическая форма, что и предложению «Какая-то кошка голодна». Итак, логическая форма в TL:
- Некоторые как Bs
- Все C - это D
что явно недействительно.
Первое логическое исчисление способно иметь дело с такими умозаключениями было Фреге «ы Begriffsschrift (1879 г.), предок современной логики предикатов , которая касается кванторов с помощью привязок переменных. Скромно, Фреге не утверждал, что его логика более выразительна, чем существующие логические исчисления, но комментаторы логики Фреге считают это одним из его ключевых достижений.
Используя современное исчисление предикатов , мы быстро обнаруживаем неоднозначность утверждения.
- Какого-то кота боится каждая мышь
может означать (Некоторые кошки боятся) каждой мышью (можно перефразировать, как Каждая мышь боится какой-то кошки ), т.е.
- Для каждой мыши m существует кошка c, такая, что m боится c,
в этом случае вывод тривиален.
Но это также может означать, что какая-то кошка (боится каждой мыши) (можно перефразировать, как « Есть кошка, которой боятся все мыши» ), т.е.
- Существует одна кошка c, такая что для каждой мыши m, c боится m.
Этот пример иллюстрирует важность определения объема таких квантификаторов, как для всех, так и для существующих .
дальнейшее чтение
- Патрик Суппес , Введение в логику , Д. Ван Ностранд, 1957, ISBN 978-0-442-08072-3 .
- А.Г. Гамильтон, Логика для математиков , Cambridge University Press, 1978, ISBN 0-521-29291-3 .
- Пол Халмос и Стивен Гивант, Логика как алгебра , MAA, 1998, ISBN 0-88385-327-2 .
 |
Эта статья о логике - незавершенная . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |