Вероятностные интерпретации - Probability interpretations

Слово « вероятность » использовалось по-разному с тех пор, как оно впервые было применено к математическому изучению азартных игр . Измеряет ли вероятность реальную, физическую тенденцию чего-то, что должно произойти, или это мера того, насколько сильно человек верит, что это произойдет, или он основан на обоих этих элементах? Отвечая на такие вопросы, математики интерпретируют значения вероятностей теории вероятностей .

Есть две широкие категории вероятностных интерпретаций, которые можно назвать «физической» и «доказательной» вероятностями. Физические вероятности, которые также называются объективными или частотными вероятностями , связаны со случайными физическими системами, такими как колеса рулетки, игральные кости и радиоактивные атомы. В таких системах событие данного типа (например, игра на кубике с получением шестерки) имеет тенденцию происходить с постоянной скоростью или «относительной частотой» в течение длительного периода испытаний. Физические вероятности либо объясняют, либо используются для объяснения этих стабильных частот. Двумя основными видами теории физической вероятности являются частотные теории (например, Венна, Райхенбаха и фон Мизеса) и теории склонностей (например, Поппера, Миллера, Гиера и Фетцера).

Доказательная вероятность, также называемая байесовской вероятностью , может быть отнесена к любому утверждению, даже когда не задействован случайный процесс, как способ представить его субъективную правдоподобность или степень, в которой утверждение поддерживается доступными доказательствами. В большинстве случаев доказательная вероятность считается степенью уверенности, определяемой в терминах склонности к игре с определенными шансами. Четыре основных доказательных интерпретации - это классическая (например, интерпретация Лапласа), субъективная интерпретация ( де Финетти и Сэвидж), эпистемическая или индуктивная интерпретация ( Рамси , Кокс ) и логическая интерпретация ( Кейнс и Карнап ). Существуют также доказательные интерпретации групп вероятностного покрытия, которые часто обозначаются как «интерсубъективные» (предложенные Гиллисом и Роуботтомом).

Некоторые интерпретации вероятности связаны с подходами к статистическому выводу , включая теории оценки и проверки гипотез . Физическая интерпретация, например, используется последователями «частотных» статистических методов, такими как Рональд Фишер , Ежи Нейман и Эгон Пирсон . Статистики противоположной байесовской школы обычно принимают частотную интерпретацию, когда она имеет смысл (хотя и не как определение), но относительно физических вероятностей согласия меньше. Байесовцы считают расчет доказательной вероятности действительным и необходимым в статистике. Однако в этой статье основное внимание уделяется интерпретациям вероятности, а не теориям статистического вывода.

Терминология этой темы довольно сбивает с толку, отчасти потому, что вероятности изучаются в самых разных академических областях. Слово «частотный» особенно сложно. Для философов это относится к определенной теории физической вероятности, от которой более или менее отказались. С другой стороны, для ученых « частотная вероятность » - это просто другое название физической (или объективной) вероятности. Те, кто продвигает байесовский вывод, рассматривают « частотную статистику » как подход к статистическому выводу, основанный на частотной интерпретации вероятности, обычно полагающийся на закон больших чисел и характеризующийся тем, что называется «проверкой значимости нулевой гипотезы» (NHST). Также слово «объективный» применительно к вероятности иногда означает именно то, что здесь означает «физический», но также используется для доказательных вероятностей, которые фиксируются рациональными ограничениями, такими как логические и эпистемологические вероятности.

Все согласны с тем, что статистика так или иначе зависит от вероятности. Но что касается того, что такое вероятность и как она связана со статистикой, то со времен Вавилонской башни редко было такое полное разногласие и нарушение связи. Несомненно, большая часть разногласий носит чисто терминологический характер и исчезнет при достаточно тщательном анализе.

- (Сэвидж, 1954, стр. 2)

Философия

Философия вероятности представляет проблемы главным образом в вопросах гносеологии и непростой интерфейс между математическими понятиями и обычным языком , как он используется не-математиков. Теория вероятностей - это устоявшаяся область изучения математики. Она берет свое начало в переписке, в которой обсуждалась математика азартных игр между Блезом Паскалем и Пьером де Ферма в семнадцатом веке, и была формализована и сделана аксиоматической как отдельная ветвь математики Андреем Колмогоровым в двадцатом веке. В аксиоматической форме математические утверждения о теории вероятностей несут такую же эпистемологическую уверенность в философии математики, как и другие математические утверждения.

Математический анализ возник в результате наблюдений за поведением игрового оборудования, такого как игральные карты и кости , которые разработаны специально для введения случайных и уравновешенных элементов; с математической точки зрения они безразличны . Это не единственный способ использования вероятностных утверждений в обычном человеческом языке: когда люди говорят, что « вероятно, будет дождь », они обычно не означают, что результат дождя по сравнению с отсутствием дождя является случайным фактором, которому в настоящее время благоприятствуют шансы; вместо этого такие утверждения, возможно, лучше понять как квалифицирующие их ожидание дождя с некоторой степенью уверенности. Точно так же, когда написано, что «наиболее вероятное объяснение» названия Ладлоу, штат Массачусетс, «состоит в том, что оно было названо в честь Роджера Ладлоу », здесь имеется в виду не то, что Роджеру Ладлоу благоприятствует случайный фактор, а скорее то, что это наиболее правдоподобное объяснение свидетельств, которое допускает другие, менее правдоподобные объяснения.

Томас Байес попытался предоставить логику, которая могла бы работать с разной степенью уверенности; как таковая, байесовская вероятность - это попытка переработать представление вероятностных утверждений как выражение степени уверенности, которой придерживаются выражаемые ими убеждения.

Хотя изначально вероятность имела несколько приземленных мотивов, ее современное влияние и использование широко распространено - от доказательной медицины , через шесть сигм , вплоть до вероятностно проверяемых доказательств и теории струн .

Краткое изложение некоторых интерпретаций вероятности
	Классический	Частотник	Субъективный	Склонность
Основная гипотеза	Принцип безразличия	Частота появления	Степень веры	Степень причинной связи
Концептуальная основа	Гипотетическая симметрия	Прошлые данные и ссылочный класс	Знания и интуиция	Текущее состояние системы
Концептуальный подход	Предположительный	Эмпирический	Субъективный	Метафизический
Возможен единичный случай	да	Нет	да	да
Точный	да	Нет	Нет	да
Проблемы	Принципиальная двусмысленность безразличия	Круговое определение	Проблема эталонного класса	Спорная концепция

Классическое определение

Первая попытка математической строгости в области вероятности, отстаиваемая Пьером-Симоном Лапласом , теперь известна как классическое определение . Разработанный на основе исследований азартных игр (таких как бросание кубиков ), он утверждает, что вероятность делится поровну между всеми возможными исходами, при условии, что эти исходы можно считать равновероятными. (3.1)

Теория случайности состоит в том, чтобы свести все события одного и того же вида к определенному количеству случаев, в равной степени возможных, то есть к таким, в отношении которых мы можем в равной степени не определиться в отношении их существования, и в определении количества случаев. благоприятный для события, вероятность которого ищется. Отношение этого числа к числу всех возможных случаев является мерой этой вероятности, которая, таким образом, представляет собой просто дробь, числитель которой является числом благоприятных случаев, а знаменатель - числом всех возможных случаев.

- Пьер-Симон Лаплас, Философское эссе о вероятностях

Классическое определение вероятности хорошо работает для ситуаций с конечным числом равновероятных исходов.

Математически это можно представить следующим образом: если случайный эксперимент может привести к N взаимоисключающим и равновероятным результатам, и если N _A из этих результатов приводят к возникновению события A , вероятность A определяется следующим образом:

{\ displaystyle P (A) = {N_ {A} \ over N}.}

У классического определения есть два очевидных ограничения. Во-первых, это применимо только к ситуациям, в которых существует только «конечное» число возможных результатов. Но некоторые важные случайные эксперименты, такие как подбрасывание монеты до тех пор, пока она не поднимется орлом, приводят к бесконечному множеству результатов. А во-вторых, вам необходимо заранее определить, что все возможные исходы одинаково вероятны, не полагаясь на понятие вероятности, чтобы избежать замкнутости - например, из соображений симметрии.

Частотность

Для частотников вероятность попадания шара в любую лунку может быть определена только путем повторных испытаний, в которых наблюдаемый результат сходится с лежащей в основе вероятностью в долгосрочной перспективе .

Специалисты по частотности постулируют, что вероятность события - это его относительная частота во времени (3.4), т. Е. Его относительная частота появления после повторения процесса большое количество раз в аналогичных условиях. Это также известно как случайная вероятность. Предполагается, что событиями управляют некоторые случайные физические явления, которые являются либо явлениями, которые в принципе предсказуемы при наличии достаточной информации (см. Детерминизм ); или явления, которые по существу непредсказуемы. Примеры первого типа включают бросание игральных костей или вращение колеса рулетки ; пример второго типа - радиоактивный распад . В случае подбрасывания справедливой монеты частотные специалисты говорят, что вероятность выпадения орла равна 1/2, не потому, что есть два равновероятных исхода, а потому, что повторяющиеся серии большого числа испытаний демонстрируют, что эмпирическая частота сходится к пределу 1 / 2, поскольку количество попыток стремится к бесконечности.

Если мы обозначаем количество вхождений события в судебные процессы, то если мы так говорим . ${\ displaystyle \ textstyle n_ {a}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} {n_ {a} \ over n} = p}$ ${\ displaystyle \ textstyle P ({\ mathcal {A}}) = p}$

У частотной точки зрения есть свои проблемы. Конечно, фактически невозможно выполнить бесконечное количество повторений случайного эксперимента для определения вероятности события. Но если выполнить только конечное число повторений процесса, разные относительные частоты появятся в разных сериях испытаний. Если эти относительные частоты должны определять вероятность, вероятность будет немного отличаться каждый раз при ее измерении. Но реальная вероятность всегда должна быть одинаковой. Если мы признаем тот факт, что мы можем измерить вероятность только с некоторой ошибкой измерения, мы все равно столкнемся с проблемами, поскольку ошибка измерения может быть выражена только как вероятность, то самое понятие, которое мы пытаемся определить. Это делает даже определение частоты круговым; см., например, « Какова вероятность землетрясения? ”

Субъективизм

Субъективисты, также известные как байесовцы или последователи эпистемической вероятности , придают понятию вероятности субъективный статус, рассматривая его как меру «степени убежденности» человека, оценивающего неопределенность конкретной ситуации. Эпистемическая или субъективная вероятность иногда называется доверием , в отличие от термина « вероятность» для обозначения вероятности предрасположенности. Некоторые примеры эпистемической вероятности состоят в том, чтобы приписать вероятность утверждению о том, что предложенный закон физики истинен, или определить, насколько вероятно, что подозреваемый совершил преступление, на основе представленных доказательств. Использование вероятности байесовского поднимает философские дебаты относительно того , может ли это способствовать действительные оправдания по вере . Байесовцы указывают на работу Рамсея (стр. 182) и де Финетти (стр. 103) как доказательство того, что субъективные убеждения должны подчиняться законам вероятности , чтобы быть последовательными. Свидетельства ставят под сомнение то, что у людей будут последовательные убеждения. Использование байесовской вероятности включает определение априорной вероятности . Это может быть получено из рассмотрения того, является ли требуемая априорная вероятность большей или меньшей, чем эталонная вероятность, связанная с моделью урны или мысленным экспериментом . Проблема в том, что для данной проблемы можно применить несколько мысленных экспериментов, и выбор одного - это вопрос суждения: разные люди могут назначать разные априорные вероятности, известные как проблема эталонного класса . Пример тому - « проблема восхода солнца ».

Склонность

Теоретики склонности рассматривают вероятность как физическую склонность, или предрасположенность, или тенденцию определенного типа физической ситуации приводить к определенному результату или давать долгосрочную относительную частоту такого исхода. Такого рода объективную вероятность иногда называют «случайностью».

Склонности или шансы - это не относительные частоты, а предполагаемые причины наблюдаемых стабильных относительных частот. Пристрастия используются для объяснения того, почему повторение определенного типа эксперимента будет приводить к заданным типам результатов с постоянной скоростью, которые известны как склонности или шансы. Фраквенционисты не могут использовать этот подход, поскольку относительные частоты не существуют для одиночных подбрасываний монеты, а существуют только для больших ансамблей или коллективов (см. «Возможен единичный случай» в таблице выше). Напротив, предрасположенный человек может использовать закон больших чисел для объяснения поведения долгосрочных частот. Этот закон, который является следствием аксиом вероятности, гласит, что если (например) монету подбрасывают многократно много раз таким образом, что вероятность выпадения орла при каждом подбрасывании одинакова, а результаты вероятностно независимо, то относительная частота выпадения орлов будет близка к вероятности выпадения орлов при каждом броске. Этот закон допускает, что стабильные долгосрочные частоты являются проявлением инвариантных однозначных вероятностей. Помимо объяснения появления стабильных относительных частот, идея предрасположенности мотивирована желанием понять однозначные вероятностные атрибуции в квантовой механике, такие как вероятность распада конкретного атома в определенное время.

Основная проблема, с которой сталкиваются теории предрасположенности, - это точно сказать, что означает предрасположенность. (И затем, конечно, чтобы показать, что определенная таким образом склонность обладает необходимыми свойствами.) В настоящее время, к сожалению, ни одно из общепризнанных объяснений склонности даже близко не подходит к решению этой проблемы.

Теория вероятности склонности была предложена Чарльзом Сандерсом Пирсом . Более поздняя теория склонностей была предложена философом Карлом Поппером , который, однако, имел лишь небольшое представление о трудах К.С. Пирса. Поппер отмечал, что результат физического эксперимента определяется определенным набором «порождающих условий». Когда мы повторяем эксперимент, как говорится, мы действительно проводим еще один эксперимент с (более или менее) аналогичным набором порождающих условий. Сказать, что набор порождающих условий имеет склонность p к достижению результата E, означает, что эти точные условия, если они будут повторяться бесконечно, дадут последовательность результатов, в которой E возникнет с предельной относительной частотой p . Тогда для Поппера детерминированный эксперимент будет иметь склонность 0 или 1 для каждого результата, поскольку условия, создающие условия, будут иметь одинаковый результат в каждом испытании. Другими словами, нетривиальные склонности (отличные от 0 и 1) существуют только для действительно недетерминированных экспериментов.

Ряд других философов, в том числе Дэвид Миллер и Дональд А. Гиллис , предложили теории склонностей, несколько похожие на теорию Поппера.

Другие теоретики склонности (например, Рональд Гьер) вообще не определяют явным образом склонности, а скорее видят склонность как определенную теоретической ролью, которую она играет в науке. Они утверждали, например, что физические величины, такие как электрический заряд, также нельзя явно определить в терминах более простых вещей, а только в терминах того, что они делают (например, притягивают и отталкивают другие электрические заряды). Точно так же склонность - это то, что выполняет различные роли, которые физическая вероятность играет в науке.

Какую роль в науке играет физическая вероятность? Каковы его свойства? Одно из центральных свойств случая состоит в том, что, когда оно известно, оно заставляет рациональное убеждение принимать одно и то же числовое значение. Дэвид Льюис назвал это Основным Принципом (3.3 и 3.5), термином, который в основном применяют философы. Например, предположим, что вы уверены, что конкретная монета с предвзятым отношением имеет склонность 0,32 выпадать орел при каждом подбрасывании. Какова же тогда правильная цена для игры, в которой выплачивается 1 доллар, если монета выпадает орлом, и ничего в противном случае? Согласно Основному принципу справедливая цена составляет 32 цента.

Логическая, эпистемологическая и индуктивная вероятность

Широко признано, что термин «вероятность» иногда используется в контекстах, где он не имеет ничего общего с физической случайностью. Рассмотрим, например, утверждение о том, что вымирание динозавров, вероятно, было вызвано падением на Землю большого метеорита. Такие утверждения, как «Гипотеза H, вероятно, верна», были интерпретированы как означающие, что (имеющиеся в настоящее время) эмпирические данные (скажем, E) в высокой степени подтверждают H. Эта степень поддержки H со стороны E была названа логической вероятностью H с учетом E, или эпистемической вероятностью H с учетом E, или индуктивной вероятностью H с учетом E.

Различия между этими интерпретациями довольно невелики и могут показаться несущественными. Один из основных пунктов разногласий заключается в отношении между вероятностью и верой. Логические вероятности понимаются (например, в « Трактате о вероятности» Кейнса ) как объективные логические отношения между предложениями (или предложениями) и, следовательно, никоим образом не зависят от убеждений. Это степени (частичного) следования или степени логического следствия , а не степени веры . (Тем не менее они диктуют надлежащие степени веры, как обсуждается ниже.) Фрэнк П. Рэмси , с другой стороны, скептически относился к существованию таких объективных логических отношений и утверждал, что (доказательная) вероятность - это «логика частичное убеждение ". (стр 157) Другими словами, Рамсей считал , что эпистемические вероятности просто являются степенями рациональной веры, а не логические отношения , которые лишь ограничивают степени рациональной веры.

Другой момент разногласий касается уникальности доказательной вероятности относительно данного состояния знаний. Рудольф Карнап , например, считал, что логические принципы всегда определяют уникальную логическую вероятность любого утверждения относительно любой совокупности доказательств. Рэмси, напротив, считал, что, хотя степени веры подчиняются некоторым рациональным ограничениям (таким как, но не ограничиваясь, аксиомами вероятности), эти ограничения обычно не определяют уникальное значение. Другими словами, рациональные люди могут несколько отличаться по степени своей веры, даже если все они обладают одинаковой информацией.

Прогноз

Альтернативный подход к вероятности подчеркивает роль предсказания - предсказания будущих наблюдений на основе прошлых наблюдений, а не ненаблюдаемых параметров. В современном виде это в основном байесовская вена. Это была основная функция вероятности до 20 века, но потеряла популярность по сравнению с параметрическим подходом, который моделировал явления как физическую систему, которая наблюдалась с ошибкой, например, в небесной механике .

Современный прогнозный подход был впервые предложен Бруно де Финетти с центральной идеей взаимозаменяемости - что будущие наблюдения должны вести себя так же, как прошлые наблюдения. Эта точка зрения привлекла внимание англоязычного мира с переводом книги де Финетти в 1974 году и с тех пор была высказана такими статистиками, как Сеймур Гейссер .

Аксиоматическая вероятность

Математика вероятности может быть разработана на совершенно аксиоматической основе , которая не зависит от какой - либо интерпретации: см статей по теории вероятностей и аксиомам теории вероятностей для детального лечения.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Коэн, Л. (1989). Введение в философию индукции и вероятности . Оксфорд, Нью-Йорк: Clarendon Press Oxford University Press. ISBN 978-0198750789.
Орел, Антоний (2011). Философия вероятности: современные чтения . Абингдон, Oxon New York: Routledge. ISBN 978-0415483872.
Гиллис, Дональд (2000). Философские теории вероятностей . Лондон Нью-Йорк: Рутледж. ISBN 978-0415182768.Обширная монография, охватывающая четыре основных современных интерпретации: логическое, субъективное, частотное, предрасположенное. Также предлагает новую интерсубективную интерпретацию.
Взлом, Ян (2006). Возникновение вероятности: философское исследование ранних идей о вероятности, индукции и статистическом выводе . Кембридж, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521685573.
Пол Хамфрис , изд. (1994) Патрик Суппес : научный философ , Synthese Library, Springer-Verlag.
- Vol. 1: Вероятность и вероятностная причинность .
- Vol. 2: Философия физики, теория структуры и измерения и теория действия .
Джексон, Франк и Роберт Pargetter (1982) "Физическая Вероятность как Склонность," Нус 16 (4): 567-583.
Хренников, Андрей (2009). Интерпретации вероятности (2-е изд.). Берлин Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер. ISBN 978-3110207484.Охватывает в основном неколмогоровские вероятностные модели, особенно в отношении квантовой физики .
Льюис, Дэвид (1983). Философские статьи . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0195036466.
Платон, Ян фон (1994). Создание современной вероятности: ее математика, физика и философия в исторической перспективе . Кембридж, Англия, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521597357.
Роуботтом, Даррелл (2015). Вероятность . Кембридж: Политика. ISBN 978-0745652573.Очень доступное введение в интерпретацию вероятности. Охватывает все основные интерпретации и предлагает новую интерпретацию на уровне группы (или «интерсубъективную»). Также охватывает заблуждения и применения интерпретаций в социальных и естественных науках.
Скирмс, Брайан (2000). Выбор и шанс: введение в индуктивную логику . Австралия, Белмонт, Калифорния: Уодсворт / Томсон Урнинг. ISBN 978-0534557379.

Languages

In other projects