Двугранная симметрия в трех измерениях - Dihedral symmetry in three dimensions

Группы точек в трех измерениях
Группа полиэдров , [n, 3], (* n32)
Инволюционная симметрия C _s , (*) [] =	Циклическая симметрия C _nv , (* nn) [n] =	Диэдральная симметрия D _nh , (* n22) [n, 2] =
Тетраэдрическая симметрия T _d , (* 332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия O _h , (* 432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I _h , (* 532) [5,3] =

В геометрии , двугранный симметрия в трех измерениях является одним из трех бесконечных последовательностей точечных групп в трех измерениях , которые имеют группу симметрии , что в качестве абстрактной группы является группой диэдра DIH _п (для п ≥ 2).

Типы

Есть 3 типа двугранного симметрии в трех измерениях, каждый из которых показан ниже в 3 -х обозначениях: символы шёнфлиса , Косетер обозначение и орбиобразие обозначений .

Хиральный

D _n , [ n , 2] ⁺ , (22 n ) порядка 2 n - диэдральная симметрия или пара-n-угольная группа (абстрактная группа: Dih _n ).

Ахирал

D _nh , [ n , 2], (* 22 n ) порядка 4 n - призматическая симметрия или полная орто-n-угольная группа (абстрактная группа: Dih _n × Z ₂ ).
D _nd (или D _nv ), [2 n , 2 ⁺ ], (2 * n ) порядка 4 n - антипризматическая симметрия или полная гиро-n-угольная группа (абстрактная группа: Dih _{2 n} ).

Для данного n все три имеют n- кратную вращательную симметрию относительно одной оси ( вращение на угол 360 ° / n не изменяет объект) и 2-кратную вращательную симметрию относительно перпендикулярной оси, следовательно, около n из них. При n = ∞ они соответствуют трем группам Фриза . Символы шёнфлис используются с Кокстера обозначениями в скобках, и орбиобразие обозначения в скобках. Термин горизонтальный (h) используется по отношению к вертикальной оси вращения.

В 2D группа симметрии D _n включает отражения в линиях. Когда 2D-плоскость встроена горизонтально в 3D-пространство, такое отражение можно рассматривать либо как ограничение этой плоскости отражения через вертикальную плоскость, либо как ограничение плоскости поворота вокруг линии отражения на 180 °. В 3D различают две операции: группа D _n содержит только вращения, а не отражения. Другая группа - пирамидальная симметрия C _nv того же порядка, 2 n .

При симметрии отражения в плоскости, перпендикулярной оси вращения n-го порядка, имеем D _nh , [n], (* 22 n ).

D _nd (или D _nv ), [2 n , 2 ⁺ ], (2 * n ) имеет вертикальные зеркальные плоскости между горизонтальными осями вращения, а не через них. В результате вертикальная ось представляет собой 2 н -кратно rotoreflection оси.

D _пНа является группой симметрии для обычного п односторонний призмы , а также для обычного п-сторонней бипирамиды . Д - _й является группой симметрии для обычного п односторонний антипризмы , а также для обычного п-стороннего трапецоэдра . D _n - группа симметрии частично повернутой призмы.

n = 1 не включается, потому что три симметрии равны другим:

D ₁ и C ₂ : группа порядка 2 с одним поворотом на 180 °.
D _{1 h} и C _{2 v} : группа порядка 4 с отражением в плоскости и поворотом на 180 ° вокруг линии в этой плоскости.
D _{1 d} и C _{2 h} : группа порядка 4 с отражением в плоскости и поворотом на 180 ° вокруг линии, перпендикулярной этой плоскости.

При n = 2 нет одной главной оси и двух дополнительных осей, а есть три эквивалентных.

D ₂ , [2,2] ⁺ , (222) порядка 4 является одним из трех типов групп симметрии с четырехгруппой Клейна в качестве абстрактной группы. Он имеет три перпендикулярных 2-х кратных оси вращения. Это группа симметрии кубоида с буквой S, написанной на двух противоположных гранях в одной ориентации.
D _{2 h} , [2,2], (* 222) порядка 8 - группа симметрии кубоида.
D _{2 d} , [4,2 ⁺ ], (2 * 2) порядка 8 - это группа симметрии, например:
- Квадратный кубоид с диагональю на одной квадратной грани и перпендикулярной диагональю на другой.
- Правильный тетраэдр, масштабируемый в направлении линии, соединяющей середины двух противоположных ребер ( D _{2 d} - подгруппа T _d ; масштабированием мы уменьшаем симметрию).

Подгруппы

D _2h , [2,2], (* 222)	D _4h , [4,2], (* 224)

Для D _nh , [n, 2], (* 22n) порядок 4n

C _nh , [n ⁺ , 2], (n *), порядок 2n
C _nv , [n, 1], (* nn), порядок 2n
D _n , [n, 2] ⁺ , (22n), порядок 2n

Для D _nd , [2n, 2 ⁺ ], (2 * n), порядок 4n

S _{2 n} , [2n ⁺ , 2 ⁺ ], (n ×), порядок 2n
C _nv , [n ⁺ , 2], (n *), порядок 2n
D _n , [n, 2] ⁺ , (22n), порядок 2n

D _nd также является подгруппой в D _{2 nh} .

Примеры

D _2h , [2,2], (* 222) Заказ 8	D _2d , [4,2 ⁺ ], (2 * 2) Заказать 8	D _3h , [3,2], (* 223) Заказ 12
баскетбольные дорожки	дорожки бейсбольного шва (без учета направленности шва)	Пляжный мяч (без учета цветов)

D _nh , [ n ], (* 22 n ):

призмы

Д _{5 ч} , [5], (* 225):

Пентаграммическая призма	Пентаграммическая антипризма

Пр _{4 пр} , [8,2 ⁺ ], (2 * 4):

Плоская квадратная антипризма

Пр _{5 пр} , [10,2 ⁺ ], (2 * 5):

Пятиугольная антипризма	Пентаграмматическая скрещенная антипризма	пятиугольный трапецоэдр

Пр _{17 д} , [34,2 ⁺ ], (2 * 17):

Гептадекагональная антипризма

Смотрите также

Внешние ссылки

Графический обзор 32 кристаллографических групп точек - формирует первые части (не считая пропуска n = 5) 7 бесконечных серий и 5 из 7 отдельных групп точек 3D.

Languages

In other projects