Основная ценность - Principal value

В математике , в частности , комплексного анализа , что главные значения из более многозначной функции являются значениями вдоль одной выбранной ветви этой функции , так что она является однозначной . Самый простой случай возникает при извлечении квадратного корня из положительного действительного числа . Например, 4 имеет два квадратных корня: 2 и −2; из них положительный корень 2 считается главным корнем и обозначается как${\ displaystyle {\ sqrt {4}}.}$

Мотивация

Рассмотрим функцию комплексного логарифма log  z . Он определяется как комплексное число w такое, что

${\ displaystyle e ^ {w} = z.}$

Теперь, например, мы хотим найти журнал  i . Это означает, что мы хотим решить

${\ Displaystyle е ^ {ш} = я}$

для ш . Ясно, что i π / 2 - решение. Но разве это единственное решение?

Конечно, есть и другие решения, о чем свидетельствует рассмотрение положения i в комплексной плоскости и, в частности, его аргумента arg i . Мы можем повернуть против часовой стрелки на π / 2 радиан от 1, чтобы сначала достичь i , но если мы повернем еще на 2π, мы снова достигнем i . Итак, мы можем заключить, что i (π / 2 + 2π) также является решением для log  i . Становится ясно, что мы можем добавить любое кратное 2π i к нашему начальному решению, чтобы получить все значения для log  i .

Но это имеет следствие, которое может быть удивительным при сравнении функций с действительными значениями: log  i не имеет одного определенного значения. Для журнала  z имеем

${\ Displaystyle \ журнал {Z} = \ ln {| z |} + я \ влево (\ mathrm {arg} \ z \ right) = \ ln {| z |} + я \ влево (\ mathrm {Arg} \ z + 2 \ pi k \ right)}$

для целого числа k , где Arg  z - (главный) аргумент z, определенный как лежащий в интервале . Поскольку главный аргумент уникален для данного комплексного числа z , он не входит в интервал. Каждое значение k определяет то, что известно как ветвь (или лист ), однозначный компонент многозначной функции журнала. ${\ Displaystyle (- \ пи, \ \ пи]}$${\ displaystyle - \ pi}$

Ветвь, соответствующая k  = 0, известна как главная ветвь , а вдоль этой ветви значения, которые принимает функция, известны как главные значения .

Общий случай

В общем случае, если f ( z ) многозначна, главная ветвь f обозначается

${\ Displaystyle \ mathrm {pv} \, е (г)}$

такая, что для z в области определения f pv  f ( z ) однозначно.

Основные значения стандартных функций

Комплексные элементарные функции могут быть многозначными в некоторых областях. Главное значение некоторых из этих функций может быть получено путем разложения функции на более простые, при этом главное значение простых функций получить просто.

Функция логарифма

Выше мы рассмотрели функцию логарифма , т. Е.

${\ displaystyle \ log {z} = \ ln {| z |} + i \ left (\ mathrm {arg} \ z \ right).}$

Теперь arg  z по сути многозначен. Часто аргумент некоторого комплексного числа определяется как находящийся между (исключающим) и (включительно), поэтому мы принимаем это за главное значение аргумента и пишем функцию аргумента на этой ветви Arg  z (с ведущей заглавной буквы A ). Используя Arg  z вместо arg  z , мы получаем главное значение логарифма и пишем ${\ displaystyle - \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ mathrm {pv} \ log {z} = \ mathrm {Log} \, z = \ ln {| z |} + i \ left (\ mathrm {Arg} \, z \ right).}$

Квадратный корень

Для комплексного числа главное значение квадратного корня : ${\ Displaystyle г = ре ^ {\ фи я} \,}$

${\ displaystyle \ mathrm {pv} {\ sqrt {z}} = {\ sqrt {r}} \, e ^ {я \ phi / 2}}$

с аргументом ${\ Displaystyle - \ пи <\ фи \ leq \ pi.}$

Сложный аргумент

Сравнение Атан и ATAN2 функций

Главное значение аргумента комплексного числа, измеренное в радианах, может быть определено как:

• значения в диапазоне ${\ displaystyle [0,2 \ pi)}$
• значения в диапазоне ${\ displaystyle (- \ pi, \ pi]}$

Для вычисления этих значений можно использовать функции:

• atan2 с главным значением в диапазоне${\ displaystyle (- \ pi, \ pi]}$
• атан с главным значением в диапазоне${\ displaystyle ({\ tfrac {- \ pi} {2}}, {\ tfrac {\ pi} {2}}]}$

Смотрите также

• Главный филиал
• Точка разветвления