Оператор позиции - Position operator

В квантовой механике , то оператор положения является оператором , который соответствует положению наблюдаемому из частицы .

Когда оператор положения рассматривается в достаточно широкой области (например, в пространстве умеренных распределений ), его собственные значения являются возможными векторами положения частицы.

В одном измерении, если по символу

${\ Displaystyle | х \ rangle}$

мы обозначаем унитарный собственный вектор оператора положения, соответствующий собственному значению , а затем представляет состояние частицы, в котором мы с уверенностью знаем, что сама частица находится в положении . ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle | х \ rangle}$${\ displaystyle x}$

Поэтому, обозначая оператор положения символом  - в литературе мы находим и другие символы для оператора положения, например (из лагранжевой механики) и т. Д. - мы можем написать ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathrm {x}}}}$

${\ Displaystyle Х | х \ rangle = х | х \ rangle,}$

для каждой реальной позиции . ${\ displaystyle x}$

Одной из возможных реализаций унитарного состояния с положением является распределение дельты (функции) Дирака с центром в положении , часто обозначаемое как . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ delta _ {x}}$

В квантовой механике упорядоченное (непрерывное) семейство всех распределений Дирака, т. Е. Семейство

${\ displaystyle \ delta = (\ delta _ {x}) _ {x \ in \ mathbb {R}},}$

называется (унитарным) базисом позиции (в одном измерении) просто потому, что он является (унитарным) собственным базисом оператора позиции . ${\ displaystyle X}$

Важно заметить, что существует только один линейный непрерывный эндоморфизм на пространстве умеренных распределений такой, что ${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle Х (\ дельта _ {х}) = х \ дельта _ {х},}$

для каждой реальной точки . Можно доказать, что единственный указанный выше эндоморфизм обязательно определяется формулой ${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle X (\ psi) = \ mathrm {x} \ psi,}$

для каждого умеренного распределения , где обозначает координатную функцию позиционной линии, определяемую от реальной линии до комплексной плоскости как ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ mathrm {x}}$

${\ displaystyle \ mathrm {x}: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}: x \ mapsto x.}$

Вступление

В одном измерении - для частицы, заключенной в прямую линию - квадратный модуль

${\ Displaystyle | \ psi | ^ {2} = \ psi ^ {*} \ psi,}$

нормированной квадратично интегрируемой волновой функции

${\ displaystyle \ psi: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C},}$

представляет собой плотность вероятности нахождения частицы в некотором положении реальной линии в определенное время. ${\ displaystyle x}$

Другими словами, если - в определенный момент времени - частица находится в состоянии, представленном квадратично интегрируемой волновой функцией и предполагая, что волновая функция имеет норму равную 1, ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ | \ psi \ | ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | \ psi | ^ {2} d \ mathrm {x} = 1,}$

тогда вероятность найти частицу в диапазоне положений равна ${\ Displaystyle [а, б]}$

${\ displaystyle \ pi _ {X} (\ psi) ([a, b]) = \ int _ {a} ^ {b} | \ psi | ^ {2} d \ mathrm {x}.}$

Следовательно, ожидаемым значением измерения положения частицы является значение ${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ langle X \ rangle _ {\ psi} = \ int _ {\ mathbb {R}} \ mathrm {x} | \ psi | ^ {2} d \ mathrm {x} = \ int _ {\ mathbb {R}} \ psi ^ {*} \ mathrm {x} \ psi d \ mathrm {x},}$

где:

1. предполагается, что частица находится в состоянии ;${\ displaystyle \ psi}$
2. функция предполагается интегрируемой, т. е. классной ;${\ Displaystyle \ mathrm {x} | \ psi | ^ {2}}$${\ displaystyle L ^ {1}}$
3. мы указываем координатной функцией позиционной оси.${\ displaystyle \ mathrm {x}}$

Соответственно, квантово-механический оператор, соответствующий наблюдаемому положению, также обозначается через ${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle X = {\ шляпа {\ mathrm {x}}},}$

и определил

${\ displaystyle \ left ({\ hat {\ mathrm {x}}} \ psi \ right) (x) = x \ psi (x),}$

для каждой волновой функции и для каждой точки реальной линии. ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle x}$

Циркумфлексом над функцией на левой стороне указывает на присутствие оператора, так что это уравнение можно следующим образом: ${\ displaystyle \ mathrm {x}}$

результат действия оператора положения на любую волновую функцию равен координатной функции, умноженной на волновую функцию .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ mathrm {x}}$${\ displaystyle \ psi}$

Или проще,

оператор умножает любую волновую функцию на координатную функцию .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ mathrm {x}}$

Примечание 1. Для большей ясности мы ввели координатную функцию

${\ displaystyle \ mathrm {x}: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}: x \ mapsto x,}$

который просто погружает позиционную линию в комплексную плоскость, это не что иное, как каноническое вложение действительной прямой в комплексную плоскость.

Примечание 2. Ожидаемое значение оператора положения для волновой функции (состояния) может быть переинтерпретировано как скалярное произведение: ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ langle X \ rangle _ {\ psi} = \ int _ {\ mathbb {R}} \ mathrm {x} | \ psi | ^ {2} = \ int _ {\ mathbb {R}} \ psi ^ {*} (\ mathrm {x} \ psi) = \ langle \ psi | X (\ psi) \ rangle,}$

предположение, что частица находится в состоянии, и предположение, что функция является классной,  что сразу означает, что функция является интегрируемой, то есть классовой . ${\ displaystyle \ psi \ in L ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathrm {x} \ psi}$${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathrm {x} | \ psi | ^ {2}}$${\ displaystyle L ^ {1}}$

Примечание 3. Строго говоря, наблюдаемое положение можно точечно определить как ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ left ({\ hat {\ mathrm {x}}} \ psi \ right) (x) = x \ psi (x),}$

для каждой волновой функции и для каждой точки реальной линии, от волновых функций, которые являются точно определенными точками. В случае классов эквивалентности определение читается прямо следующим образом ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ psi \ in L ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ шляпа {\ mathrm {x}}} \ psi = \ mathrm {x} \ psi,}$

для каждой волновой функции . ${\ displaystyle \ psi \ in L ^ {2}}$

Основные свойства

В приведенном выше определении, как сразу заметит внимательный читатель, не существует какой-либо четкой спецификации области и ко-области для оператора положения (в случае частицы, ограниченной линией). В литературе, более или менее явно, мы находим по существу три основных направления решения этой фундаментальной проблемы.

1. Оператор положения определяются на подпространстве в образованном тех классах эквивалентности , произведение которых вложение жизни в пространстве , а также. В этом случае оператор позиции${\ displaystyle D_ {X}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ mathrm {x}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$
   $${\ Displaystyle X: D_ {X} \ в L ^ {2}: \ psi \ mapsto \ mathrm {x} \ psi}$$

   
   обнаруживает не непрерывный (неограниченный относительно топологии, индуцированной каноническим скалярным произведением ), без собственных векторов, без собственных значений, следовательно, с пустым собственным спектром (набором собственных значений).${\ displaystyle L ^ {2}}$
2. Оператор положения определен в пространстве комплекснозначных функций Шварца (гладкие комплексные функции, определенные на вещественной прямой и быстро убывающие на бесконечности со всеми их производными). Произведение функции Шварца на вложение всегда живет в пространстве , которое является подмножеством . В этом случае оператор позиции${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathrm {x}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$
   $${\ Displaystyle X: {\ mathcal {S}} _ {1} \ to {\ mathcal {S}} _ {1}: \ psi \ mapsto \ mathrm {x} \ psi}$$

   
   обнаруживает непрерывный (относительно канонической топологии ), инъективный, без собственных векторов, без собственных значений, следовательно, с пустым собственным спектром (набором собственных значений). Он (полностью) самосопряжен относительно скалярного произведения в том смысле, что${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$
   $${\ Displaystyle \ langle X (\ psi) | \ phi \ rangle = \ langle \ psi | X (\ phi) \ rangle,}$$

   
   для каждого и принадлежащего его домену .${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1}}$
3. На практике это наиболее широко используемый выбор в литературе по квантовой механике, хотя он никогда явно не подчеркивается. Оператор положения определен в пространстве комплекснозначных умеренных распределений (топологически двойственный к функциональному пространству Шварца ). Продукт умеренного распределения за счет вложения всегда живет в пространстве , которое вмещает . В этом случае оператор позиции${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathrm {x}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$
   $${\ displaystyle X: {\ mathcal {S}} _ {1} ^ {\ prime} \ to {\ mathcal {S}} _ {1} ^ {\ prime}: \ psi \ mapsto \ mathrm {x} \ psi}$$

   
   выявляет непрерывный (относительно канонической топологии ), сюръективный, наделенный полными семействами собственных векторов, вещественными собственными значениями и собственным спектром (набором собственных значений), равным вещественной прямой. Он самосопряжен относительно скалярного произведения в том смысле, что его оператор транспонирования${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$
   $${\ displaystyle {} ^ {t} X: {\ mathcal {S}} _ {1} \ to {\ mathcal {S}} _ {1}: \ phi \ mapsto \ mathrm {x} \ phi,}$$

   
   который является оператором положения в функциональном пространстве Шварца, является самосопряженным:
   $${\ displaystyle \ left \ langle \ left. \, {} ^ {t} X (\ phi) \ right | \ psi \ right \ rangle = \ left \ langle \ phi | \, {} ^ {t} X ( \ psi) \ right \ rangle,}$$

   
   для каждой (тестовой) функции и принадлежащей пространству .${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {1}}$

Собственные состояния

Собственные функции оператора положения (в пространстве умеренных распределений), представленные в пространстве позиций , являются дельта-функциями Дирака .

Неофициальное доказательство. Чтобы показать, что возможные собственные векторы оператора положения обязательно должны быть дельта-распределениями Дирака, предположим, чтоэто собственное состояние оператора положения с собственным значением. Запишем уравнение на собственные значения в координатах положения, ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ mathrm {x}}} \ psi (x) = \ mathrm {x} \ psi (x) = x_ {0} \ psi (x)}$

вспоминая, что просто умножает волновые функции на функцию в позиционном представлении. Поскольку функция является переменной, а является константой, она должна быть равна нулю везде, кроме точки . Ясно, что никакая непрерывная функция не удовлетворяет таким свойствам, более того, мы не можем просто определить волновую функцию как комплексное число в этой точке, потому что ее -норма будет равна 0, а не 1. Это предполагает необходимость «функционального объекта», сконцентрированного в точке. точка и с интегралом, отличным от 0: любое кратное дельте Дирака с центром в${\ displaystyle {\ hat {\ mathrm {x}}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}. \ blacksquare}$

Нормированное решение уравнения

${\ Displaystyle \ mathrm {x} \ psi = x_ {0} \ psi}$

является

${\ Displaystyle \ psi (х) = \ дельта (х-х_ {0}),}$

или лучше

${\ displaystyle \ psi = \ delta _ {x_ {0}}}$ .

Доказательство. Здесь мы строго доказываем, что

${\ displaystyle \ mathrm {x} \ delta _ {x_ {0}} = x_ {0} \ delta _ {x_ {0}}.}$

Действительно, вспоминая, что произведение любой функции на распределение Дирака с центром в точке - это значение функции в этой точке, умноженное на само распределение Дирака, мы немедленно получаем

${\ displaystyle \ mathrm {x} \ delta _ {x_ {0}} = \ mathrm {x} (x_ {0}) \ delta _ {x_ {0}} = x_ {0} \ delta _ {x_ {0 }}. \ blacksquare}$

Значение дельта-волны Дирака. Хотя такие состояния Дирака физически нереализуемы и, строго говоря, они не являются функциями, распределение Дирака с центром в котором можно рассматривать как «идеальное состояние», положение которого точно известно (любое измерение положения всегда возвращает собственное значение ). Следовательно, по принципу неопределенности ничего не известно об импульсе такого состояния. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Три измерения

Обобщение на три измерения несложно.

Волновая функция пространства-времени теперь равна, а математическое ожидание оператора положения в состоянии равно ${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {\ mathbf {r}}} \ right \ rangle _ {\ psi} = \ int \ mathbf {r} | \ psi | ^ {2} d ^ {3} \ mathbf {р} }$

где интеграл берется по всему пространству. Оператор позиции

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}} \ psi = \ mathbf {r} \ psi}$

Импульсное пространство

Обычно в квантовой механике под представлением в импульсном пространстве мы подразумеваем представление состояний и наблюдаемых относительно канонического унитарного импульсного базиса.

${\ displaystyle \ eta = \ left (\ left [(2 \ pi \ hbar) ^ {- {\ frac {1} {2}}} e ^ {(\ iota / \ hbar) (\ mathrm {x} | p)} \ right] \ right) _ {p \ in \ mathbb {R}}.}$

В импульсном пространстве оператор положения в одном измерении представлен следующим дифференциальным оператором

${\ displaystyle \ left ({\ hat {\ mathrm {x}}} \ right) _ {P} = i \ hbar {\ frac {d} {d \ mathrm {p}}} = i {\ frac {d } {d \ mathrm {k}}},}$

где:

• представление оператора положения в импульсном базисе естественным образом определяется для каждой волновой функции (умеренное распределение) ;${\ displaystyle \ left ({\ hat {\ mathrm {x}}} \ right) _ {P} (\ psi) _ {P} = \ left ({\ hat {\ mathrm {x}}} \ psi \ справа) _ {P}}$${\ displaystyle \ psi}$
• ${\ displaystyle \ mathrm {p}}$представляет координатную функцию на линии импульса, а функция волнового вектора определяется как .${\ displaystyle \ mathrm {k}}$${\ Displaystyle \ mathrm {k} = \ mathrm {p} / \ hbar}$

Формализм в L ² ( R , C )

Рассмотрим, например, случай бесспиновой частицы, движущейся в одном пространственном измерении (т.е. по линии). Пространство состояний для такой частицы содержит L ² -пространство ( гильбертово пространство ) из комплексных значений и квадратных интегрируемых (по отношению к мере Лебега ) функций на вещественной прямой . ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}, \ mathbb {C})}$

Оператор позиции в , ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}, \ mathbb {C})}$

${\ displaystyle Q: D_ {Q} \ to L ^ {2} (\ mathbb {R}, \ mathbb {C}): \ psi \ mapsto \ mathrm {q} \ psi,}$

поточечно определяется:

${\ Displaystyle Q (\ psi) (x) = x \ psi (x) = \ mathrm {q} (x) \ psi (x),}$

для каждого поточечно определенного квадратичного интегрируемого класса и для каждого действительного числа x с областью определения ${\ displaystyle \ psi \ in D_ {Q}}$

${\ Displaystyle D_ {Q} = \ left \ {\ psi \ in L ^ {2} ({\ mathbb {R}}) \ mid \ mathrm {q} \ psi \ in L ^ {2} ({\ mathbb {R}}) \ right \},}$

где - координатная функция, отправляющая каждую точку самой себе. ${\ Displaystyle \ mathrm {q}: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle х \ in \ mathbb {R}}$

Поскольку все непрерывные функции с компактным носителем лежит в D (Q) , Q является плотно определен . Q , будучи простым умножением на x , является самосопряженным оператором , таким образом удовлетворяя требованию квантово-механической наблюдаемой.

Непосредственно из определения мы можем вывести, что спектр состоит из всей действительной линии и что Q имеет чисто непрерывный спектр , следовательно, нет дискретных собственных значений .

Аналогично определяется трехмерный случай. В следующем обсуждении мы сохраним предположение об одномерности.

Теория измерений в L ² ( R , C )

Как и в случае с любой квантово-механической наблюдаемой , чтобы обсудить измерение положения , нам необходимо вычислить спектральное разрешение оператора положения

${\ Displaystyle X: D_ {X} \ в L ^ {2} (\ mathbb {R}, \ mathbb {C}): \ psi \ mapsto \ mathrm {x} \ psi}$

который

${\ Displaystyle X = \ int _ {\ mathbb {R}} \ \ lambda \ d \ mu _ {X} (\ lambda) = \ int _ {\ mathbb {R}} \ \ mathrm {x} \ \ mu _ {X} = \ mu _ {X} (\ mathrm {x}),}$

где - так называемая спектральная мера оператора положения. ${\ displaystyle \ mu _ {X}}$

Поскольку оператор является просто оператором умножения на функцию вложения , его спектральное разрешение простое. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathrm {x}}$

Для Бореля подмножество вещественной прямой, пусть обозначим через индикаторную функцию из . Мы видим, что проекционно-значная мера${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ chi _ {B}}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ mu _ {X}: {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}) \ to \ mathrm {Pr} ^ {\ perp} \ left (L ^ {2} (\ mathbb {R} , \ mathbb {C}) \ right)}$

дан кем-то

${\ Displaystyle \ му _ {X} (B) (\ psi) = \ chi _ {B} \ psi,}$

т.е. ортогональная проекция - это оператор умножения на индикаторную функцию . ${\ displaystyle \ mu _ {X} (B)}$${\ displaystyle B}$

Следовательно, если система подготовлена ​​в состоянии , то вероятность того, что измеренное положение частицы принадлежит борелевскому набору, равна ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle \ | \ му _ {X} (B) (\ psi) \ | ^ {2} = \ | \ chi _ {B} \ psi \ | ^ {2} = \ int _ {B} | \ psi | ^ {2} \ \ mu = \ pi _ {X} (\ psi) (B),}$

где - мера Лебега на вещественной прямой. ${\ displaystyle \ mu}$

После любого измерения, направленного на обнаружение частицы в подмножестве B, волновая функция коллапсирует до

${\ displaystyle {\ frac {\ mu _ {X} (B) \ psi} {\ | \ mu _ {X} (B) \ psi \ |}} = {\ frac {\ chi _ {B} \ psi } {\ | \ chi _ {B} \ psi \ |}}}$

или же

${\ displaystyle {\ frac {(1- \ chi _ {B}) \ psi} {\ | (1- \ chi _ {B}) \ psi \ |}},}$

где - норма гильбертова пространства на . ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}, \ mathbb {C})}$

Смотрите также

• Положение и импульсное пространство
• Оператор моментума
• Оператор трансляции (квантовая механика)

Рекомендации