Уравнение Пуассона - Poisson's equation

Симеон Дени Пуассон

Уравнение Пуассона - это эллиптическое уравнение в частных производных, широко используемое в теоретической физике . Например, решением уравнения Пуассона является потенциальное поле, вызванное заданным электрическим зарядом или распределением плотности массы; зная потенциальное поле, можно вычислить электростатическое или гравитационное (силовое) поле. Это обобщение уравнения Лапласа , которое также часто встречается в физике. Уравнение названо в честь французского математика и физика Симеона Дени Пуассона .

Постановка уравнения

Уравнение Пуассона имеет вид

где есть оператор Лапласа , а также и являются реальными или комплексными значными функциями на многообразии . Обычно дается и ищут. Когда многообразие представляет собой евклидово пространство , оператор Лапласа часто обозначается как 2, и поэтому уравнение Пуассона часто записывается как

В трехмерных декартовых координатах он принимает вид

При тождестве получаем уравнение Лапласа .

Уравнение Пуассона можно решить с помощью функции Грина :

где интеграл ведется по всему пространству. Общее изложение функции Грина для уравнения Пуассона дается в статье об экранированном уравнении Пуассона . Существуют различные методы численного решения, такие как метод релаксации , итерационный алгоритм.

Ньютоновская гравитация

В случае гравитационного поля g, создаваемого притягивающим массивным объектом с плотностью ρ , закон Гаусса для гравитации в дифференциальной форме может быть использован для получения соответствующего уравнения Пуассона для гравитации,

Поскольку гравитационное поле является консервативным (и безвихревым ), его можно выразить через скалярный потенциал Φ ,

Подставляя в закон Гаусса

дает уравнение Пуассона для гравитации,

Если плотность массы равна нулю, уравнение Пуассона сводится к уравнению Лапласа. Соответствующая функция Грина может быть использована для расчета потенциала на расстоянии г от центральной точки массового м (т.е. фундаментального решения ). В трех измерениях потенциал равен

что эквивалентно закону всемирного тяготения Ньютона .

Электростатика

Одним из краеугольных камней электростатики является постановка и решение задач, описываемых уравнением Пуассона. Решение уравнения Пуассона сводится к нахождению электрического потенциала φ для заданного распределения заряда .

Математические детали уравнения Пуассона в электростатике следующие ( используются единицы СИ , а не гауссовы , которые также часто используются в электромагнетизме ).

Исходя из закона Гаусса для электричества (также одного из уравнений Максвелла ) в дифференциальной форме, мы имеем

где - оператор дивергенции , D = электрическое поле смещения , а ρ f = объемная плотность свободного заряда (описывающая заряды, принесенные извне).

Предполагая, что среда является линейной, изотропной и однородной (см. Плотность поляризации ), мы имеем определяющее уравнение :

где ε = диэлектрическая проницаемость среды и E = электрическое поле .

Подставляя это в закон Гаусса и предполагая, что ε является пространственно постоянным в интересующей области, получаем

где - полная объемная плотность заряда. В электростатическом поле мы предполагаем, что магнитное поле отсутствует (следующий аргумент справедлив и при наличии постоянного магнитного поля). Тогда у нас есть это

где ∇ × - оператор ротора . Это уравнение означает, что мы можем записать электрическое поле как градиент скалярной функции φ (называемой электрическим потенциалом), поскольку ротор любого градиента равен нулю. Таким образом, мы можем написать,

где знак минус введен так, что φ определяется как потенциальная энергия на единицу заряда.

В этих условиях вывести уравнение Пуассона несложно. Подставляя градиент потенциала для электрического поля,

непосредственно дает уравнение Пуассона для электростатики, которое

Решение уравнения Пуассона для потенциала требует знания распределения плотности заряда. Если плотность заряда равна нулю, то получается уравнение Лапласа . Если плотность заряда следует распределению Больцмана , то получается уравнение Пуассона-Больцмана . Уравнение Пуассона – Больцмана играет важную роль в развитии теории Дебая – Хюккеля разбавленных растворов электролитов .

Используя функцию Грина, потенциал на расстоянии r от центрального точечного заряда Q (т.е. фундаментальное решение) равен:

что является законом электростатики Кулона . (По историческим причинам и в отличие от модели гравитации выше, фактор появляется здесь, а не в законе Гаусса.)

Приведенное выше обсуждение предполагает, что магнитное поле не меняется во времени. То же уравнение Пуассона возникает, даже если оно меняется во времени, пока используется кулоновская калибровка . В этом более общем контексте вычисления φ уже недостаточно для вычисления E , поскольку E также зависит от магнитного векторного потенциала A , который необходимо вычислять независимо. См. Уравнение Максвелла в потенциальной формулировке для получения дополнительной информации о φ и A в уравнениях Максвелла и о том, как уравнение Пуассона получается в этом случае.

Потенциал гауссовой плотности заряда

Если существует статическая сферически-симметричная гауссова плотность заряда

где Q - полный заряд, то решение φ ( r ) уравнения Пуассона,

,

дан кем-то

где erf ( x ) - функция ошибок .

Это решение можно явно проверить, вычислив ∇ 2 φ .

Обратите внимание, что для r, намного большего, чем σ , функция erf приближается к единице, а потенциал φ ( r ) приближается к потенциалу точечного заряда

как и следовало ожидать. Кроме того, функция ошибок очень быстро приближается к 1 по мере увеличения аргумента; на практике при r > 3 σ относительная погрешность меньше одной тысячи.

Реконструкция поверхности

Реконструкция поверхности - обратная задача . Цель состоит в том, чтобы в цифровом виде восстановить гладкую поверхность на основе большого количества точек p i ( облака точек ), где каждая точка также несет оценку локальной нормали к поверхности n i . Уравнение Пуассона можно использовать для решения этой проблемы с помощью метода, называемого реконструкцией поверхности Пуассона.

Цель этого метода - восстановить неявную функцию f , значение которой равно нулю в точках p i, а градиент которой в точках p i равен нормальным векторам n i . Множество ( р I , п я ), таким образом , моделируется как непрерывное векторное поле V . Неявная функция F определяется путем интегрирования векторного поля V . Так как не всякие векторное поле является градиентом функции, то проблема может или не может иметь решения: необходимое и достаточное условие для гладкого векторного поля V , чтобы быть градиентом функции F является то , что ротор из V должен быть тождественно нуль. В случае, если это условие трудно наложить, все еще можно выполнить аппроксимацию методом наименьших квадратов, чтобы минимизировать разницу между V и градиентом f .

Для того , чтобы эффективно применять уравнение Пуассона к задаче восстановления поверхности, необходимо найти хорошую дискретизацию векторного поля V . Основной подход заключается в привязке данных к сетке конечных разностей. Для функции, оцениваемой в узлах такой сетки, ее градиент может быть представлен как оцененный на шахматных сетках, то есть на сетках, узлы которых лежат между узлами исходной сетки. Удобно определить три сетки, расположенные в шахматном порядке, каждая из которых смещена в одном и только в одном направлении, соответствующем компонентам нормальных данных. На каждой шахматной сетке мы выполняем [трилинейную интерполяцию] на множестве точек. Затем веса интерполяции используются для распределения величины соответствующего компонента n i по узлам конкретной смещенной ячейки сетки, содержащей p i . Каждан и соавторы предлагают более точный метод дискретизации с использованием адаптивной конечно-разностной сетки, т.е. ячейки сетки меньше (сетка более мелко разделена) там, где больше точек данных. Они предлагают реализовать эту технику с помощью адаптивного октодерева .

Динамика жидкостей

Для несжимаемых уравнений Навье – Стокса :

Уравнение для поля давления является примером нелинейного уравнения Пуассона:

Обратите внимание, что приведенная выше кривая не определена по знаку.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

  • Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2.
  • Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.). Нью-Йорк: В.А. Бенджамин. ISBN 0-8053-7002-1.
  • Полянин, Андрей Д. (2002). Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых . Бока-Ратон (Флорида): Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.

внешние ссылки