Группа Пуанкаре - Poincaré group

Анри Пуанкаре

Группа Пуанкаре , названный в честь Анри Пуанкаре (1906), впервые был определен Герман Минковский (1908) в качестве группы из Минковского пространственно - временных изометрии . Это десятимерная неабелева группа Ли , которая важна как модель для нашего понимания самых основных основ физики .

Обзор

А Минковского пространства - времени изометрия обладает тем свойством , что интервал между событиями остается инвариантным. Например, если все было отложено на два часа, включая два события и путь, который вы выбрали для перехода от одного к другому, то временной интервал между событиями, записанными секундомером, который вы носили с собой, был бы таким же. Или, если бы все было сдвинуто на пять километров к западу или повернулось на 60 градусов вправо, вы также не увидели бы никаких изменений в интервале. Оказывается, такой сдвиг не влияет и на правильную длину объекта. Поворот времени или пространства (отражение) также является изометрией этой группы.

В пространстве Минковского (т. Е. Игнорируя эффекты гравитации ) существует десять степеней свободы изометрий , которые можно рассматривать как перемещение во времени или пространстве (четыре степени, по одной на измерение); отражение через плоскость (три степени, свобода ориентации этой плоскости); или « усиление » в любом из трех пространственных направлений (три градуса). Композиция преобразований - это операция группы Пуанкаре, при которой правильные вращения производятся как композиция четного числа отражений.

В классической физике , то галилеянин группа является сравнимой десятью параметрами группа , которая действует на абсолютное время и пространстве . Вместо повышения, в нем есть сопоставления сдвига, чтобы связать совместно движущиеся системы отсчета.

Симметрия Пуанкаре

Симметрия Пуанкаре - это полная симметрия специальной теории относительности . Это включает:

Две последние симметрии, J и K , вместе составляют группу Лоренца (см. Также лоренц-инвариантность ); тогда полупрямое произведение группы трансляций и группы Лоренца дает группу Пуанкаре. В этом случае говорят, что объекты, инвариантные относительно этой группы, обладают пуанкаре-инвариантностью или релятивистской инвариантностью .

10 генераторов (в четырех измерениях пространства-времени), связанных с симметрией Пуанкаре, согласно теореме Нётер , подразумевают 10 законов сохранения: 1 для энергии, 3 для импульса, 3 для момента количества движения и 3 для скорости центра масс.

Группа Пуанкаре

Группа Пуанкаре - это группа изометрий пространства-времени Минковского . Это десятимерная некомпактная группа Ли . Абелева группа из переводов является нормальной подгруппой , в то время как группа Лоренца также подгруппа, то стабилизатор происхождения. Сама группа Пуанкаре является минимальной подгруппой аффинной группы, которая включает все трансляции и преобразования Лоренца . Точнее, это полупрямое произведение переводов и группы Лоренца,

с групповым умножением

.

Другими словами, группа Пуанкаре является групповым расширением группы Лоренца посредством ее векторного представления ; ее иногда неофициально называют неоднородной группой Лоренца . В свою очередь, его также можно получить как групповое сжатие группы де Ситтера SO (4,1) ~ Sp (2,2), поскольку радиус де Ситтера стремится к бесконечности.

Его унитарные неприводимые представления положительной энергии индексируются по массе (неотрицательное число) и спину ( целое или полуцелое) и связаны с частицами в квантовой механике (см . Классификацию Вигнера ).

В соответствии с программой Эрлангена геометрия пространства Минковского определяется группой Пуанкаре: пространство Минковского рассматривается как однородное пространство для группы.

В квантовой теории поля универсальное покрытие группы Пуанкаре

которую можно идентифицировать по двойной крышке

более важно, потому что представления не могут описывать поля со спином 1/2, т.е. фермионы . Вот группа комплексных матриц с единичным определителем, изоморфная спиновой группе лоренцевой сигнатуры .

Алгебра Пуанкаре

Алгебра Пуанкаре является алгеброй Ли группы Пуанкаре. Это расширение алгебры Ли алгебры Ли группы Лоренца. Более конкретно, собственная ( ), ортохронная ( ) часть подгруппы Лоренца (ее компонент идентичности ) связана с тождеством и, таким образом, обеспечивается возведением в степень этой алгебры Ли . В компонентной форме алгебра Пуанкаре задается коммутационными соотношениями:

где - генератор сдвигов, - генератор преобразований Лоренца и - метрика Минковского (см. соглашение о знаках ).

Снизу коммутационное соотношение является ( «гомогенный») группа Лоренца, состоящая из вращений, и повышает, . В этих обозначениях вся алгебра Пуанкаре выражается на нековариантном (но более практичном) языке как

где нижний коммутатор двух бустеров часто называют «вращением Вигнера». Упрощение позволяет свести подалгебру Лоренца к ассоциированным с ней представлениям и эффективно обработать их . По физическим параметрам имеем

В Казимира инварианты этой алгебры и где это псевдовектор Pauli-Любанского ; они служат ярлыками для представлений группы.

Группа Пуанкаре - это полная группа симметрии любой релятивистской теории поля . В результате все элементарные частицы попадают в представления этой группы . Они обычно задаются квадратом четырех импульсов каждой частицы (т. Е. Квадратом ее массы) и собственными квантовыми числами , где - квантовое число спина , является четностью и является квантовым числом зарядового сопряжения . На практике зарядовое сопряжение и четность нарушаются многими квантовыми теориями поля ; где это происходит, и аннулируются. Так как СРТ - симметрия является инвариантом в квантовой теории поля, обращения времени квантовое число может быть построена из приведенных.

Как топологическое пространство , группа имеет четыре связных компонента: компонент идентичности; компонент, обращенный во времени; компонент пространственной инверсии; и компонент, обращенный как во времени, так и в пространстве.

Другие размеры

Приведенные выше определения можно напрямую обобщить на произвольные размеры. Аналогичным образом d -мерная группа Пуанкаре определяется полупрямым произведением

с аналогичным умножением

.

Алгебра Ли сохраняет свою форму, а индексы µ и ν теперь принимают значения от 0 до d - 1 . Альтернативное представление в терминах J i и K i не имеет аналогов в более высоких измерениях.

Суперпуанкаре алгебра

Родственная наблюдение состоит в том, что представления группы Лоренца включает пару неэквивалентных двумерный комплексных спинорные представлений и чью тензорное произведение является присоединенным представлением . Этот последний бит можно отождествить с самим четырехмерным пространством Минковского (в отличие от отождествления его с частицей со спином 1, как это обычно делается для пары фермионов , например, пион , состоящий из пары кварк -антикварк. ). Это убедительно свидетельствует о том, что можно было бы расширить алгебру Пуанкаре, включив также спиноры. Это непосредственно ведет к понятию суперпалгебры Пуанкаре . Математическая привлекательность этой идеи заключается в том, что вы работаете с фундаментальными представлениями , а не с присоединенными представлениями. Физическая привлекательность этой идеи состоит в том, что фундаментальные представления соответствуют фермионам , которые встречаются в природе. Однако до сих пор подразумеваемая здесь суперсимметрия симметрии между пространственным и фермионным направлениями не может быть обнаружена экспериментально в природе. Экспериментальную проблему можно грубо сформулировать как вопрос: если мы живем в присоединенном представлении (пространстве-времени Минковского), то где же скрывается фундаментальное представление?

Смотрите также

Заметки

Рекомендации