Фазовая скорость - Phase velocity

Частотная дисперсия в группах гравитационных волн на поверхности глубокой воды. В  красный квадрат движется с фазовой скоростью, а      зеленые кружки - с групповой скоростью . В этом глубоководном случае фазовая скорость в два раза больше групповой скорости . Красный квадрат обгоняет два зеленых круга при движении слева направо от фигуры.
Новые волны, кажется, возникают позади группы волн, растут по амплитуде, пока не окажутся в центре группы, и исчезают на фронте группы волн.
Для поверхностных гравитационных волн скорости частиц воды в большинстве случаев намного меньше фазовой скорости.
Распространение волнового пакета с фазовой скоростью, превышающей групповую, без дисперсии.
Это показывает волну с групповой скоростью и фазовой скоростью, идущую в разных направлениях. Групповая скорость положительна, а фазовая скорость отрицательна.

Фазовая скорость из волны является скорость , при которой волна распространяется в любой среде . Это скорость, с которой распространяется фаза любого частотного компонента волны. Для такого компонента будет казаться , что любая данная фаза волны (например, гребень ) движется с фазовой скоростью. Фазовая скорость задается через длину волны λ (лямбда) и период времени T как

Эквивалентно, в терминах угловой частоты волны ω , которая определяет угловое изменение в единицу времени, и волнового числа (или углового волнового числа) k , которое представляет собой пропорциональность между угловой частотой ω и линейной скоростью (скоростью распространения) v p ,

Для того, чтобы понять , где это уравнение приходит, учитывая основную волну косинуса , соз ( кх - ωt ) . По истечении времени t источник произвел колебания ωt / 2 π = ft . По прошествии того же времени начальный фронт волны распространился от источника через пространство на расстояние x, чтобы соответствовать тому же количеству колебаний, kx = ωt .

Таким образом, скорость распространения v равна v = x / t = ω / k . Волна должна распространяться быстрее, если более высокочастотные колебания распространяются менее плотно в пространстве, если длина волны не будет компенсаторно сокращена. Формально Φ = kx - ωt - фаза, где

Поскольку ω = −dΦ / d t и k = + dΦ / d x , скорость волны равна v = d x / d t = ω / k .

Связь с групповой скоростью, показателем преломления и скоростью передачи

Суперпозиция одномерных плоских волн (синие), каждая из которых движется с разной фазовой скоростью (обведена синими точками), дает гауссовский волновой пакет (красный), который распространяется с групповой скоростью (обведен красной линией).

Поскольку чистая синусоида не может передавать никакой информации, требуется некоторое изменение амплитуды или частоты, известное как модуляция . Комбинируя два синуса с немного разными частотами и длинами волн,

амплитуда становится синусоидой с фазовой скоростью Δ ω / Δ k . Именно эта модуляция представляет содержание сигнала. Поскольку каждая амплитуда огибающей содержит группу внутренних волн, эта скорость обычно называется групповой скоростью , v г .

В данной среде частота является некоторой функцией ω ( k ) волнового числа, поэтому в общем случае фазовая скорость v p = ω / k и групповая скорость v g = d ω / d k зависят от частоты и от средний. Отношение между скоростью света c и фазовой скоростью v p известно как показатель преломления , n = c / v p = ck / ω .

Взяв производную от ω = ck / n по k , мы получим групповую скорость ,

за исключением того, что нельзя создать группу только с конечным числом волновых частот / волновых векторов. (То есть: огибающая в такой ситуации меняет форму так быстро, что групповая скорость теряет свой смысл.) Отмечая, что c / n = v p , указывает, что групповая скорость равна фазовой скорости только тогда, когда показатель преломления является постоянным d n / d k = 0 , и в этом случае фазовая скорость и групповая скорость не зависят от частоты, ω / k = d ω / d k = c / n .

В противном случае и фазовая скорость, и групповая скорость изменяются с частотой, и среда называется дисперсионной ; соотношение ω = ω ( k ) известно как дисперсионное соотношение среды.

Фазовая скорость электромагнитного излучения может - при определенных обстоятельствах (например, аномальная дисперсия ) - превышать скорость света в вакууме, но это не указывает на сверхсветовую информацию или передачу энергии. Теоретически это описали такие физики, как Арнольд Зоммерфельд и Леон Бриллюэн .

Смотрите также

использованная литература

Сноски

Библиография