Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях. Penrose–Hawking singularity theorems

Общая теория относительности
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип эквивалентности Специальная теория относительности Мировая линия Псевдориманово многообразие
Явления Проблема Кеплера Гравитационное линзирование Гравитационные волны Перетаскивание кадра Геодезический эффект Горизонт событий Сингулярность Черная дыра Пространство-время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Мост Эйнштейна – Розена
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Формализмы ADM БССН Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация
Решения Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль-Льюис-Папапетру
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Bardeen Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новый человек Яу Торн другие
Физический портал  Категория
v т е

В Пенроузе-Хокинг теорема о сингулярности (после Роджера Пенроуза и Стивен Хокинга ) представляет собой набор результатов в общей теории относительности , которые пытаются ответить на вопрос о том, когда гравитационные производит особенность . Теорема Пенроуза о сингулярности - это теорема полуримановой геометрии, и ее общая релятивистская интерпретация предсказывает гравитационную сингулярность в образовании черной дыры. Теорема Хокинга об особенностях основана на теореме Пенроуза и интерпретируется как гравитационная сингулярность в ситуации Большого взрыва . Пенроуз был удостоен Нобелевской премии по физике в 2020 году «за открытие, что образование черной дыры является надежным предсказанием общей теории относительности», которым он поделился с Рейнхардом Гензелем и Андреа Гез .

Сингулярность

Особенность решений уравнений поля Эйнштейна - это одно из двух:

1. ситуация, когда материя вынуждена сжиматься до точки (пространственно-подобная сингулярность)
2. ситуация, когда определенные световые лучи исходят из области с бесконечной кривизной (временная сингулярность)

Пространственно-подобные сингулярности - это особенность невращающихся незаряженных черных дыр, описываемых метрикой Шварцшильда , а временные сингулярности - это особенности, которые возникают в точных решениях заряженных или вращающихся черных дыр. Оба они обладают свойством геодезической неполноты , при котором либо некоторый световой путь, либо некоторый путь частицы не могут быть расширены за пределы определенного собственного времени или аффинного параметра (аффинный параметр является нулевым аналогом собственного времени).

Теорема Пенроуза гарантирует, что какая-то геодезическая неполнота возникает внутри любой черной дыры всякий раз, когда материя удовлетворяет разумным условиям энергии . Энергетическое условие, требуемое для теоремы сингулярности черной дыры, является слабым: оно гласит, что световые лучи всегда фокусируются вместе под действием силы тяжести, никогда не расходятся, и это выполняется всякий раз, когда энергия материи неотрицательна.

Теорема Хокинга о сингулярности применима ко всей Вселенной и работает в обратном направлении: она гарантирует, что (классический) Большой взрыв имеет бесконечную плотность. Эта теорема более ограничена и верна только тогда, когда материя подчиняется более сильному энергетическому условию, называемому доминирующим энергетическим условием , в котором энергия больше, чем давление. Вся обычная материя, за исключением вакуумного математического ожидания скалярного поля , подчиняется этому условию. Во время инфляции Вселенная нарушает доминирующее энергетическое условие, и первоначально утверждалось (например, Старобинским), что инфляционные космологии могут избежать начальной сингулярности Большого взрыва. Однако с тех пор было показано, что инфляционные космологии все еще являются незавершенными, и поэтому для описания прошлой границы раздувающейся области пространства-времени требуется физика, отличная от инфляции.

До сих пор остается открытым вопрос, предсказывает ли (классическая) общая теория относительности временные сингулярности внутри реалистичных заряженных или вращающихся черных дыр, или же они являются артефактами высокосимметричных решений и превращаются в пространственноподобные особенности при добавлении возмущений.

Толкование и значение

В общей теории относительности сингулярность - это место, куда объекты или световые лучи могут достичь за конечное время, где кривизна становится бесконечной или пространство-время перестает быть многообразием . Сингулярности могут быть найдены во всех черных дыр пространства - времени, то метрика Шварцшильда , то метрика Райсснера-Нордстрем , то метрика Керра и Керра-Ньюмена метрика , и во всех космологических решений , которые не имеют энергии скалярного поля или космологической постоянной.

Невозможно предсказать, что может «выйти» из сингулярности большого взрыва в нашем прошлом или что произойдет с наблюдателем, который «попадает» в сингулярность черной дыры в будущем, поэтому они требуют модификации физического закона. До Пенроуза считалось, что сингулярности образуются только в надуманных ситуациях. Например, при коллапсе звезды с образованием черной дыры, если звезда вращается и, таким образом, обладает некоторым угловым моментом , возможно, центробежная сила частично противодействует гравитации и препятствует образованию сингулярности. Теоремы об особенностях доказывают, что этого не может произойти и что сингулярность всегда образуется, когда формируется горизонт событий .

В примере с коллапсирующей звездой, поскольку вся материя и энергия являются источником гравитационного притяжения в общей теории относительности, дополнительный угловой момент только сближает звезду сильнее, когда она сжимается: часть за пределами горизонта событий в конечном итоге оседает в черной дыре Керра. (см. теорему об отсутствии волос ). Часть внутри горизонта событий обязательно имеет где-то особенность. Доказательство в некоторой степени конструктивно - оно показывает, что сингулярность можно найти, проследив за световыми лучами от поверхности внутри горизонта. Но в доказательстве не говорится, какой тип сингулярности возникает: пространственноподобный, времениподобный, орбифолдный , скачкообразный разрыв в метрике. Это только гарантирует, что если следовать по временным геодезическим в будущее, то граница области, которую они формируют, не может быть сгенерирована нулевыми геодезическими с поверхности. Это означает, что граница должна исходить либо из ниоткуда, либо все будущее заканчивается каким-то конечным продолжением.

Интересная «философская» особенность общей теории относительности раскрывается теоремами об особенностях. Поскольку общая теория относительности предсказывает неизбежное возникновение сингулярностей, теория не будет полной без спецификации того, что происходит с материей, которая попадает в сингулярность. Общую теорию относительности можно распространить на единую теорию поля, такую ​​как система Эйнштейна – Максвелла – Дирака, где такие особенности отсутствуют.

Элементы теорем

В истории существует глубокая связь между кривизной многообразия и его топологией . Теорема Бонне – Майерса утверждает, что полное риманово многообразие, имеющее кривизну Риччи всюду большую, чем некоторая положительная константа, должно быть компактным . Условие положительной кривизны Риччи удобнее всего сформулировать следующим образом: для каждой геодезической существует ближайшая изначально параллельная геодезическая, которая будет изгибаться к ней при расширении, и эти две будут пересекаться на некоторой конечной длине.

Когда две близлежащие параллельные геодезические пересекаются, продолжение любой из них больше не является кратчайшим путем между конечными точками. Причина в том, что два параллельных геодезических пути обязательно сталкиваются после расширения равной длины, и если один путь идет до пересечения, а затем другой, вы соединяете конечные точки негеодезическим путем равной длины. Это означает, что для того, чтобы геодезическая была кратчайшей длиной, она никогда не должна пересекать соседние параллельные геодезические.

Начиная с небольшой сферы и отправляя параллельные геодезические от границы, предполагая, что многообразие имеет кривизну Риччи, ограниченную снизу положительной константой, через некоторое время ни одна из геодезических не станет кратчайшими путями, поскольку все они сталкиваются с соседом. Это означает, что после определенного количества продлений были достигнуты все потенциально новые точки. Если все точки связного многообразия находятся на конечном геодезическом расстоянии от малой сферы, многообразие должно быть компактным.

Роджер Пенроуз рассуждал аналогичным образом в теории относительности. Если нулевые геодезические , пути световых лучей , отслеживаются в будущее, генерируются точки в будущем региона. Если точка находится на границе будущего региона, ее можно достичь, только двигаясь со скоростью света, не медленнее, поэтому нулевые геодезические включают всю границу настоящего будущего региона. Когда нулевые геодезические пересекаются, они больше не находятся на границе будущего, они находятся внутри будущего. Итак, если все нулевые геодезические сталкиваются, будущее не имеет границ.

В теории относительности кривизна Риччи, которая определяет коллизионные свойства геодезических, определяется тензором энергии , а ее проекция на световые лучи равна нулевой проекции тензора энергии-импульса и всегда неотрицательна. Это означает, что объем конгруэнции параллельных нулевых геодезических, когда он начинает уменьшаться, достигнет нуля за конечное время. Как только объем равен нулю, происходит обрушение в каком-то направлении, поэтому каждая геодезическая пересекает некоторого соседа.

Пенроуз пришел к выводу, что всякий раз, когда есть сфера, где все исходящие (и входящие) световые лучи изначально сходятся, граница будущего этой области закончится после конечного расширения, потому что все нулевые геодезические будут сходиться. Это важно, потому что исходящие световые лучи для любой сферы внутри горизонта раствора черной дыры все сходятся, поэтому граница будущего этой области либо компактна, либо идет из ниоткуда. Будущее внутренней части либо заканчивается после конечного расширения, либо имеет границу, которая в конечном итоге создается новыми световыми лучами, которые невозможно проследить до исходной сферы.

Природа особенности

В теоремах об особенностях понятие геодезической неполноты используется в качестве замены наличия бесконечной кривизны. Геодезическая неполнота - это представление о том, что существуют геодезические , пути наблюдателей в пространстве-времени, которые могут быть продлены только на конечное время, измеряемое наблюдателем, путешествующим по нему. Предположительно, в конце геодезической наблюдатель попал в сингулярность или столкнулся с другой патологией, при которой нарушаются законы общей теории относительности.

Предположения теорем

Обычно теорема об особенностях состоит из трех компонентов:

1. Состояние энергии по этому вопросу,
2. Условие глобальной структуры пространства-времени ,
3. Гравитация достаточно сильна (где-то), чтобы захватить регион.

Для каждого ингредиента существуют разные возможности, и каждая приводит к разным теоремам сингулярности.

Используемые инструменты

Ключевой инструмент , используемый в формулировке и доказательстве теорем сингулярности является уравнение Raychaudhuri , которое описывает расхождение в виде сравнения (семейство) геодезических. Дивергенция сравнения определяется как производная от логарифма определителя объема сравнения. Уравнение Райчаудхури имеет вид ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = - \ sigma _ {ab} \ sigma ^ {ab} - {\ frac {1} {3}} \ theta ^ {2} - {E [{\ vec { X}}] ^ {a}} _ {a}}$

где - тензор сдвига сравнения, также известный как скаляр Райчаудхури (подробности см. на странице сравнения ). Ключевым моментом является то, что оно будет неотрицательным при условии выполнения уравнений поля Эйнштейна и ${\ displaystyle \ sigma _ {ab}}$${\ displaystyle {E [{\ vec {X}}] ^ {a}} _ {a} = R_ {mn} \, X ^ {m} \, X ^ {n}}$${\ displaystyle {E [{\ vec {X}}] ^ {a}} _ {a}}$

• условие нулевой энергии имеет место и геодезический конгруэнтность имеет нулевое значение, или
• выполняется условие сильной энергии, и геодезическая конгруэнтность времениподобна.

Когда они верны, расходимость становится бесконечной при некотором конечном значении аффинного параметра. Таким образом, все геодезические, выходящие из точки, в конечном итоге снова сходятся через конечное время, если выполняется соответствующее энергетическое условие, результат, также известный как теорема фокусировки .

Это актуально для сингулярностей благодаря следующему аргументу:

1. Предположим , у нас есть пространство -время , которое глобально гиперболическим , и две точки , и которые могут быть соединены времениподобной или нулевой кривой . Тогда существует геодезическая максимальной длины, соединяющая и . Назовите это геодезическим .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ gamma}$
2. Геодезическая может быть изменена на более длинную кривую, если другая геодезическая из пересекается в другой точке, называемой сопряженной точкой.${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ gamma}$
3. Из теоремы о фокусировке мы знаем, что все геодезические из имеют сопряженные точки при конечных значениях аффинного параметра. В частности, это верно для геодезических максимальной длины. Но это противоречие - поэтому можно заключить, что пространство-время геодезически неполно.${\ displaystyle p}$

В общей теории относительности существует несколько версий теоремы об особенностях Пенроуза – Хокинга . В большинстве версий, грубо говоря, утверждается, что если есть захваченная нулевая поверхность и плотность энергии неотрицательна, то существуют геодезические конечной длины, которые не могут быть расширены.

Эти теоремы, строго говоря, доказывают, что существует по крайней мере одна непространственноподобная геодезическая, которая может быть продолжена только в прошлое, но есть случаи, когда условия этих теорем выполняются таким образом, что все направленные в прошлое пространственно-временные пути заканчиваются в особенность.

Версии

Есть много версий. Вот нулевая версия:

Предполагать

1. Условие нулевой энергии имеет место.
2. У нас есть некомпактная связная поверхность Коши .
3. У нас есть замкнутая захваченная нулевая поверхность .${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$

Тогда у нас либо нулевая геодезическая неполнота, либо замкнутые времениподобные кривые .

Схема доказательства : доказательство от противного. Граница будущего , порождается нулевыми отрезки геодезических , происходящими из с касательными векторами , ортогональными к нему. Будучи захваченной нулевой поверхностью, согласно нулевому уравнению Райчаудхури , оба семейства нулевых лучей, исходящие от них, будут сталкиваться с каустиками. (Каустика сама по себе не вызывает проблем. Например, граница будущего двух пространственно-подобных разделенных точек представляет собой объединение двух будущих световых конусов с удаленными внутренними частями пересечения. Каустика возникает там, где световые конусы пересекаются, но сингулярности нет. Однако генерирование нулевых геодезических должно завершиться, т.е. достигнуть своих будущих конечных точек в каустике или до нее. В противном случае мы можем взять два нулевых геодезических сегмента, изменяющихся на каустике, а затем слегка деформировать их, чтобы получить временноподобную кривую, соединяющую точку на границе с точкой на , противоречие. Но, поскольку он компактен, учитывая непрерывную аффинную параметризацию геодезических образующих, существует нижняя граница абсолютного значения параметра разложения. Итак, мы знаем, что каустика будет развиваться для каждого генератора до того, как истечет равномерная граница аффинного параметра. В результате должен быть компактным. Либо у нас есть замкнутые времениподобные кривые, либо мы можем построить сравнение по времениподобным кривым, и каждая из них должна пересекать некомпактную поверхность Коши ровно один раз. Рассмотрим все такие проходящие через времяподобные кривые и взглянем на их изображение на поверхности Коши. Будучи непрерывной картой, изображение также должно быть компактным. Поскольку времениподобные конгруэнтности не могут пересекаться, карта инъективна . Если бы поверхность Коши была некомпактной, то изображение имеет границу. Мы предполагаем, что пространство-время состоит из одного связного элемента. Но компактно и безгранично, потому что граница границы пуста. Непрерывная инъективная карта не может создавать границы, что дает нам противоречие.${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ точка {J}} ({\ mathcal {T}})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ точка {J}} ({\ mathcal {T}})}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ Displaystyle {\ точка {J}} ({\ mathcal {T}})}$${\ Displaystyle {\ точка {J}} ({\ mathcal {T}})}$${\ Displaystyle {\ точка {J}} ({\ mathcal {T}})}$

Лазейки : если существуют замкнутые времениподобные кривые, то времениподобные кривые не должны пересекать частичную поверхность Коши. Если бы поверхность Коши была компактной, т.е. пространство компактно, нулевые геодезические образующие границы могут пересекаться всюду, потому что они могут пересекаться на другой стороне пространства.

Существуют и другие версии теоремы о слабом или сильном энергетическом условии.

Модифицированная гравитация

В модифицированной гравитации уравнения поля Эйнштейна не выполняются, и поэтому эти особенности не обязательно возникают. Например, в Бесконечной производной гравитации возможно отрицательное значение, даже если выполняется условие нулевой энергии. ${\ displaystyle {E [{\ vec {X}}] ^ {a}} _ {a}}$

Примечания

использованная литература

• Хокинг, Стивен и Эллис, GFR (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09906-4. Классическая ссылка.
• Натарио, Дж. (2006). «Относительность и сингулярности - краткое введение для математиков». Ресенхас . 6 : 309–335. arXiv : math.DG / 0603190 . Bibcode : 2006math ...... 3190N .
• Пенроуз, Роджер (1965), "Гравитационный коллапс и сингулярности пространства-времени", Phys. Rev. Lett. , 14 (3): 57, Bibcode : 1965PhRvL..14 ... 57P , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.14.57
• Garfinkle, D .; Сеновилла, JMM (2015), "Теорема Пенроуза 1965 г. об особенностях", Class. Квантовая гравитация. , 32 (12): 124008, arXiv : 1410.5226 , Bibcode : 2015CQGra..32l4008S , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 32/12/124008 , S2CID  54622511. Также доступно как arXiv : 1410.5226
• Калвакота, Вайбхав Р. (2021 г.), « Обсуждение геометрии и общей теории относительности »
• См. Также arXiv : hep-th / 9409195, где можно найти соответствующую главу из книги «Крупномасштабная структура пространства-времени» .