Число Пелла - Pell number
В математике , то число Пелла бесконечное последовательность из целых чисел , известных с древних времен, которые составляют знаменатели из ближайших рациональных приближений к квадратному корню из 2 . Эта последовательность приближений начинается1/1, 3/2, 7/5, 17/12, а также 41 год/29, поэтому последовательность чисел Пелла начинается с 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений составляют половину сопутствующих чисел Пелла или чисел Пелла – Лукаса ; эти числа образуют вторую бесконечную последовательность, которая начинается с цифр 2, 6, 14, 34 и 82.
И числа Пелла, и сопутствующие числа Пелла могут быть вычислены с помощью рекуррентного соотношения, аналогичного соотношению для чисел Фибоначчи , и обе последовательности чисел растут экспоненциально , пропорционально степеням отношения серебра 1 + √ 2 . Числа Пелла не только используются для вычисления квадратного корня из двух, но и для нахождения квадратных треугольных чисел , для построения целочисленных аппроксимаций прямоугольного равнобедренного треугольника и для решения некоторых комбинаторных задач перечисления .
Как и в случае с уравнением Пелла , название чисел Пелла происходит от ошибочной атрибуции Леонарда Эйлера этого уравнения и полученных из него чисел Джону Пеллу . Числа Пелля – Лукаса также названы в честь Эдуарда Лукаса , который изучал последовательности, определяемые повторениями этого типа; числа Пелла и сопутствующие им числа Пелла - это последовательности Лукаса .
Числа Пелла
Числа Пелля определяются рекуррентным соотношением :
Проще говоря, последовательность чисел Пелла начинается с 0 и 1, а затем каждое число Пелла является суммой удвоенного предыдущего числа Пелла и числа Пелл перед этим. Первые несколько членов последовательности:
Числа Пелля также можно выразить формулой замкнутой формы
При больших значениях п , то (1 + √ 2 ) п член доминирует это выражение, так что число Pell приблизительно пропорциональны степеням соотношения серебра 1 + √ 2 , аналогично скорости роста чисел Фибоначчи как степеней золотой соотношение .
Возможно третье определение из матричной формулы
Из этих определений можно вывести или доказать многие идентичности; например, тождество, аналогичное тождеству Кассини для чисел Фибоначчи,
является непосредственным следствием матричной формулы (найденной путем рассмотрения определителей матриц в левой и правой частях матричной формулы).
Приближение к квадратному корню из двух
Числа Пелла возникают исторически, и наиболее заметно в рациональном приближении к √ 2 . Если два больших целых числа x и y образуют решение уравнения Пелла
тогда их соотношение Икс/уобеспечивает близкое приближение к √ 2 . Последовательность приближений такого вида есть
где знаменатель каждой дроби - это число Пелла, а числитель - это сумма числа Пелла и его предшественника в последовательности. То есть решения имеют вид
Приближение
Этот тип был известен индийским математикам в третьем или четвертом веке до нашей эры. Греческие математики пятого века до нашей эры также знали об этой последовательности приближений: Платон называет числители рациональными диаметрами . Во II веке н. Э. Теон Смирнский использовал термин «число сторон» и «диаметр» для описания знаменателей и числителей этой последовательности.
Эти приближения могут быть получены из разложения в непрерывную дробь :
Усечение этого расширения до любого числа членов дает одно из приближений на основе числа Пелла в этой последовательности; например,
Как описывает Кнут (1994), тот факт, что числа Пелла аппроксимируют √ 2, позволяет использовать их для точных рациональных приближений к правильному восьмиугольнику с координатами вершин (± P i , ± P i +1 ) и (± P i +1 , ± P i ) . Все вершины одинаково удалены от начала координат и образуют почти одинаковые углы вокруг начала координат. В качестве альтернативы, точки , и образуют приблизительные восьмиугольники, в которых вершины почти одинаково удалены от начала координат и образуют равномерные углы.
Простые числа и квадраты
Пелл премьер является числом Пелл , который является премьером . Первые несколько простых чисел Пелла:
- 2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, ... (последовательность A086383 в OEIS ).
Индексы этих простых чисел в последовательности всех чисел Пелла равны
- 2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, .. . (последовательность A096650 в OEIS )
Все эти индексы сами по себе являются простыми. Как и в случае с числами Фибоначчи, число Пелла P n может быть простым, только если само n простое, потому что если d является делителем n, то P d является делителем P n .
Единственные числа Пелла, которые представляют собой квадраты, кубы или любую более высокую степень целого числа, - это 0, 1 и 169 = 13 2 .
Однако, несмотря на то, что у них так мало квадратов или других степеней, числа Пелла тесно связаны с квадратными треугольными числами . В частности, эти числа возникают из следующей идентичности чисел Пелла:
Левая часть этого тождества описывает квадратное число , а правая часть описывает треугольное число , поэтому в результате получается квадратное треугольное число.
Сантана и Диас-Барреро (2006) доказали другое тождество, связывающее числа Пелла с квадратами и показывающее, что сумма чисел Пелла до P 4 n +1 всегда является квадратом:
Например, сумма чисел Пелла до P 5 , 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49 , является квадратом P 2 + P 3 = 2 + 5 = 7 . Числа P 2 n + P 2 n +1, образующие квадратные корни этих сумм,
известны как числа Ньюмана – Шанкса – Вильямса (Новый Южный Уэльс) .
Пифагорейские тройки
Если прямоугольный треугольник имеет целые длины сторон a , b , c (обязательно удовлетворяющий теореме Пифагора a 2 + b 2 = c 2 ), то ( a , b , c ) называется тройкой Пифагора . Как описывает Мартин (1875), числа Пелля можно использовать для образования пифагоровых троек, в которых a и b отстоят на одну единицу, что соответствует почти равнобедренным прямоугольным треугольникам. Каждая такая тройка имеет вид
Последовательность образованных таким образом пифагоровых троек имеет вид
- (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985),…
Числа Пелла – Лукаса
В компаньоны числа Pell или числа Пэлл-Лукас определяются рекуррентным соотношением
Проще говоря: первые два числа в последовательности равны 2, и каждое последующее число формируется путем добавления дважды предыдущего числа Пелла – Лукаса к предшествующему числу Пелла – Лукаса или, что эквивалентно, путем добавления следующего числа Пелла к предыдущему. Число Пелла: таким образом, 82 соответствует 29, а 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12. Первые несколько членов последовательности (последовательность A002203 в OEIS ): 2 , 2 , 6 , 14 , 34 , 82 , 198 , 478 ,…
Как и отношения между числами Фибоначчи и Люка ,
для всех натуральных чисел n .
Сопутствующие числа Пелла могут быть выражены формулой замкнутой формы
Все эти числа четные; каждое такое число вдвое больше числителя в одном из рациональных приближений, рассмотренных выше.
Подобно последовательности Лукаса, если число Пелла – Лукаса 1/2Q n простое число, необходимо, чтобы n было простым числом или степенью двойки. Простые числа Пелла – Лукаса равны
Для этого п являются
Вычисления и связи
В следующей таблице приведены первые несколько степеней отношения серебра δ = δ S = 1 + √ 2 и его сопряженного δ = 1 - √ 2 .
п (1 + √ 2 ) п (1 - √ 2 ) п 0 1 + 0 √ 2 = 1 1 - 0 √ 2 = 1 1 1 + 1 √ 2 = 2,41421… 1 - 1 √ 2 = −0,41421… 2 3 + 2 √ 2 = 5,82842… 3 - 2 √ 2 = 0,17157… 3 7 + 5 √ 2 = 14,07 · 106… 7 - 5 √ 2 = −0,07 · 106… 4 17 + 12 √ 2 = 33,97056… 17 - 12 √ 2 = 0,02943… 5 41 + 29 √ 2 = 82,01219… 41 - 29 √ 2 = −0,01219… 6 99 + 70 √ 2 = 197,9949… 99 - 70 √ 2 = 0,0050… 7 239 + 169 √ 2 = 478,00 209… 239 - 169 √ 2 = −0,00209… 8 577 + 408 √ 2 = 1153,99913… 577 - 408 √ 2 = 0,00086… 9 1393 + 985 √ 2 = 2786,00035… 1393 - 985 √ 2 = −0,00035… 10 3363 + 2378 √ 2 = 6725,99985… 3363 - 2378 √ 2 = 0,00014… 11 8119 + 5741 √ 2 = 16238,00006… 8119 - 5741 √ 2 = −0,00006… 12 19601 + 13860 √ 2 = 39201,99997… 19601 - 13860 √ 2 = 0,00002…
Коэффициенты - это полусопутствующие числа Пелла H n и числа Пелла P n, которые являются (неотрицательными) решениями H 2 - 2 P 2 = ± 1 . Квадрат треугольное число является числом
которое одновременно является t- м треугольным числом и s- м квадратным числом. Почти равнобедренный Пифагор тройной представляет собой целое решение в 2 + б 2 = гр 2 , где +-= Ь .
Следующая таблица показывает, что разделение нечетного числа H n на почти равные половины дает квадратно-треугольное число, когда n четно, и почти равнобедренную пифагорову тройку, когда n нечетно. Все решения возникают таким образом.
п H n P n т т + 1 s а б c 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 2 3 2 1 2 1 3 7 5 3 4 5 4 17 12 8 9 6 5 41 год 29 20 21 год 29 6 99 70 49 50 35 год 7 239 169 119 120 169 8 577 408 288 289 204 9 1393 985 696 697 985 10 3363 2378 1681 1682 1189 11 8119 5741 4059 4060 5741 12 19601 13860 9800 9801 6930
Определения
Полусопутствующие числа Пелла H n и числа Пелла P n могут быть получены несколькими легко эквивалентными способами.
Повышение к власти
Из этого следует, что существуют закрытые формы :
а также
Парные рецидивы
Формулы взаимного повторения
Пусть n не меньше 2.
- ;
- .
Составы матриц
Так
Приближения
Разница между H n и P n √ 2 составляет
который быстро стремится к нулю. Так
чрезвычайно близко к 2 H n .
Из этого последнего наблюдения следует, что целочисленные отношения H n/P nбыстро приближаться к √ 2 ; а такжеH n/H n −1 а также P n/P n −1быстро приближаться к 1 + √ 2 .
H 2 - 2 P 2 = ± 1
Поскольку √ 2 иррационально, мы не можем иметьЧАС/п = √ 2 , т. Е.
Лучшее, что мы можем достичь, это либо
(Неотрицательные) решения уравнения H 2 - 2 P 2 = 1 - это в точности пары ( H n , P n ) с четным n , а решениями H 2 - 2 P 2 = −1 являются в точности пары ( H n , P n ) с нечетным n . Чтобы увидеть это, сначала обратите внимание, что
так что эти различия, начиная с H2
0- 2 П2
0= 1 , попеременно равны 1 и −1. Затем обратите внимание, что каждое положительное решение получается таким образом из решения с меньшими целыми числами, поскольку
Меньшее решение также имеет положительные целые числа, за одним исключением: H = P = 1, которое происходит от H 0 = 1 и P 0 = 0.
Квадратные треугольные числа
Требуемое уравнение
эквивалентно: что становится H 2 = 2 P 2 + 1 с заменами H = 2 t + 1 и P = 2 s . Следовательно, n- е решение
Заметим, что t и t + 1 взаимно просты, так чтот ( т + 1)/2 = s 2 происходит именно тогда, когда они являются соседними целыми числами, одно из которых представляет собой квадрат H 2, а другое - дважды квадрат 2 P 2 . Поскольку мы знаем все решения этого уравнения, мы также имеем
а также
Это альтернативное выражение показано в следующей таблице.
п H n P n т т + 1 s а б c 0 1 0 1 1 1 1 2 1 3 4 5 2 3 2 8 9 6 20 21 год 29 3 7 5 49 50 35 год 119 120 169 4 17 12 288 289 204 696 697 985 5 41 год 29 1681 1682 1189 4059 4060 5741 6 99 70 9800 9801 6930 23660 23661 33461
Пифагорейские тройки
Равенство c 2 = a 2 + ( a + 1) 2 = 2 a 2 + 2 a + 1 происходит точно тогда, когда 2 c 2 = 4 a 2 + 4 a + 2, что превращается в 2 P 2 = H 2 + 1 с замены H = 2 a + 1 и P = c . Следовательно, n- е решение - это n =Н 2 п +1 - 1/2и c n = P 2 n +1 .
Таблица выше показывает, что в том или ином порядке a n и b n = a n + 1 равны H n H n +1 и 2 P n P n +1, а c n = H n +1 P n + P n +1 H n .
Примечания
использованная литература
- Бикнелл, Марджори (1975). «Праймер для последовательности Pell и родственных последовательностей». Ежеквартальный отчет Фибоначчи . 13 (4): 345–349. Руководство по ремонту 0387173 .
- Кон, JHE (1996). «Совершенные силы Пелла» . Математический журнал Глазго . 38 (1): 19–20. DOI : 10.1017 / S0017089500031207 . Руководство по ремонту 1373953 .
- Дутка, Жак (1986). «О квадратных корнях и их представлениях». Архив истории точных наук . 36 (1): 21–39. DOI : 10.1007 / BF00357439 . Руководство по ремонту 0863340 . S2CID 122277481 .
- Эрколано, Джозеф (1979). «Матричные генераторы последовательностей Пелля». Ежеквартальный отчет Фибоначчи . 17 (1): 71–77. Руководство по ремонту 0525602 .
- Филеп, Ласло (1999). "Пифагоровы стороны и диагональные числа" (PDF) . Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis . 15 : 1–7. Архивировано из оригинального (PDF) 06.07.2020 . Проверено 29 января 2007 .
- Хорадам, AF (1971). «Пелл идентичности». Ежеквартальный отчет Фибоначчи . 9 (3): 245–252, 263. MR 0308029 .
- Килич, Эмра; Таши, Дурсун (2005). «Линейная алгебра матрицы Пелля». Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, Tercera Serie . 11 (2): 163–174. Руководство по ремонту 2207722 .
- Кнорр, Уилбур (1976). «Архимед и измерение круга: новая интерпретация». Архив истории точных наук . 15 (2): 115–140. DOI : 10.1007 / BF00348496 . Руководство по ремонту 0497462 . S2CID 120954547 .
- Кнорр, Уилбур (1998). « « Рациональные диаметры »и открытие несоизмеримости». Американский математический ежемесячник . 105 (5): 421–429. DOI : 10.2307 / 3109803 . JSTOR 3109803 .
- Кнут, Дональд Э. (1994). «Прыгающие графики». Математический вестник . 78 (483): 274–297. arXiv : math.CO/9411240 . Bibcode : 1994math ..... 11240K . DOI : 10.2307 / 3620202 . JSTOR 3620202 . S2CID 16856513 .
- Мартин, Артемас (1875). «Рациональные прямоугольные треугольники почти равнобедренные». Аналитик . 3 (2): 47–50. DOI : 10.2307 / 2635906 . JSTOR 2635906 .
- Пето, А. (1992). «Последовательность Пелла содержит только тривиальные совершенные степени». Наборы, графики и числа (Будапешт, 1991) . Коллок. Математика. Soc. Янош Бойяи, 60 лет, Северная Голландия. С. 561–568. Руководство по ремонту 1218218 .
- Риденхур, младший (1986). «Лестничные приближения иррациональных чисел». Математический журнал . 59 (2): 95–105. DOI : 10.2307 / 2690427 . JSTOR 2690427 .
- Сантана, Сан-Франциско; Диас-Барреро, JL (2006). «Некоторые свойства сумм, содержащих числа Пелла» . Журнал математических наук штата Миссури . 18 (1). DOI : 10.35834 / 2006/1801033 .
- Продавцы, Джеймс А. (2002). «Домино-мозаики и произведения чисел Фибоначчи и Пелла» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 5 : 12. Bibcode : 2002JIntS ... 5 ... 12S . MR 1919941 . Архивировано из оригинального (PDF) на 2020-07-05 . Проверено 28 января 2007 .
- Сесскин, Сэм (1962). «А« обратное »к последней теореме Ферма?». Математический журнал . 35 (4): 215–217. DOI : 10.2307 / 2688551 . JSTOR 2688551 .
- Тибо, Джордж (1875). «На Сулвасутрах». Журнал Королевского азиатского общества Бенгалии . 44 : 227–275.
- Томпсон, Д'Арси Вентворт (1929). «III. - Избыток и недостаток: или немного больше, и немного меньше». Разум . Новая серия. 38 (149): 43–55. DOI : 10,1093 / ум / XXXVIII.149.43 . JSTOR 2249223 .
- Ведова, ГК (1951). «Заметки о Теоне Смирнском». Американский математический ежемесячник . 58 (10): 675–683. DOI : 10.2307 / 2307978 . JSTOR 2307978 .
внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Число Пелла» . MathWorld .
- Последовательность OEIS A001333 (числители непрерывной дроби, сходящейся к sqrt (2)) - числители той же последовательности приближений