Теорема Парсеваля - Parseval's theorem

В математике , теорема Парсеваля обычно относится к результату , что преобразование Фурье является унитарным ; грубо говоря, сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата ее преобразования. Она берет свое начало из 1799 теоремы о серии по Парсевалю , который позже был применен к ряду Фурье . Она также известна как энергетическая теорема Рэлея или личность Рэлея в честь Джона Уильяма Стратта , лорда Рэлея.

Хотя термин «теорема Парсеваля» часто используется для описания унитарности любого преобразования Фурье, особенно в физике , наиболее общую форму этого свойства правильнее назвать теоремой Планшереля .

Формулировка теоремы Парсеваля.

Предположим, что и - две комплексные функции периода on периода , интегрируемые с квадратом (относительно меры Лебега ) на интервалах длины периода, с рядом Фурье

а также

соответственно. потом

 

 

 

 

( Уравнение 1 )

где - мнимая единица, а горизонтальные черты указывают комплексное сопряжение . Подставляя и :

Как и в случае со средними членами в этом примере, многие члены будут интегрироваться в течение всего периода длины (см. Гармоники ):

В целом, учитывая абелева локально компактная группа G с понтрягинского двойной G ^ , теорема замкнутости говорит преобразование Понтрягина- Фурье является унитарным оператором между гильбертовых пространств L 2 ( G ) и L 2 ( G ^ ) (с интеграцией быть против соответствующим образом масштабированные меры Хаара на этих двух группах.) Когда G - единичная окружность T , G ^ - целые числа, и это случай, рассмотренный выше. Когда G - действительная линия , G ^ также является, а унитарное преобразование - это преобразование Фурье на действительной прямой. Когда G - циклическая группа Z n , она снова самодуальна, и преобразование Понтрягина – Фурье - это то, что в прикладных контекстах называется дискретным преобразованием Фурье .

Замкнутости теорема может быть выражена следующим образом : Пусть является интегрируемой с квадратом функции над (т.е., и суммируемы на этом отрезке), с рядом Фурье

потом

Обозначения, используемые в технике

В электротехнике теорема Парсеваля часто записывается как:

где представляет собой непрерывное преобразование Фурье (в нормализованной унитарной форме) , а - частота в радианах в секунду.

Интерпретация этой формы теоремы заключается в том, что полную энергию сигнала можно вычислить путем суммирования мощности на выборку по времени или спектральной мощности по частоте.

Для сигналов с дискретным временем теорема принимает следующий вид:

где - дискретное преобразование Фурье (DTFT) и представляет угловую частотурадианах на выборку) .

В качестве альтернативы, для дискретного преобразования Фурье (ДПФ) соотношение становится следующим:

где - ДПФ длины обоих .

Смотрите также

Теорема Парсеваля тесно связана с другими математическими результатами, включающими унитарные преобразования:

Примечания

использованная литература

  • Парсеваль , MacTutor Архив истории математики .
  • Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков (Харкорт: Сан-Диего, 2001).
  • Хуберт Кеннеди, Восемь математических биографий (Безусловные публикации: Сан-Франциско, 2002).
  • Алан В. Оппенгейм и Рональд В. Шафер, Обработка сигналов в дискретном времени, 2-е издание (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999), стр. 60.
  • Уильям МакКи. Зиберт, Схемы, сигналы и системы (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), стр. 410–411.
  • Дэвид В. Каммлер, Первый курс анализа Фурье (Prentice-Hall, Inc., Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси, 2000) с. 74.

внешние ссылки