В математике , теорема Парсеваля обычно относится к результату , что преобразование Фурье является унитарным ; грубо говоря, сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата ее преобразования. Она берет свое начало из 1799 теоремы о серии по Парсевалю , который позже был применен к ряду Фурье . Она также известна как энергетическая теорема Рэлея или личность Рэлея в честь Джона Уильяма Стратта , лорда Рэлея.
Хотя термин «теорема Парсеваля» часто используется для описания унитарности любого преобразования Фурье, особенно в физике , наиболее общую форму этого свойства правильнее назвать теоремой Планшереля .
Формулировка теоремы Парсеваля.
Предположим, что и - две комплексные функции периода on периода , интегрируемые с квадратом (относительно меры Лебега ) на интервалах длины периода, с рядом Фурье
А
(
Икс
)
{\ Displaystyle А (х)}
B
(
Икс
)
{\ Displaystyle В (х)}
р
{\ Displaystyle \ mathbb {R}}
2
π
{\ displaystyle 2 \ pi}
А
(
Икс
)
знак равно
∑
п
знак равно
-
∞
∞
а
п
е
я
п
Икс
{\ displaystyle A (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {inx}}
а также
B
(
Икс
)
знак равно
∑
п
знак равно
-
∞
∞
б
п
е
я
п
Икс
{\ displaystyle B (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} b_ {n} e ^ {inx}}
соответственно. потом
∑
п
знак равно
-
∞
∞
а
п
б
п
¯
знак равно
1
2
π
∫
-
π
π
А
(
Икс
)
B
(
Икс
)
¯
d
Икс
,
{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} A (x) {\ overline {B (x)}} \, \ mathrm {d} x,}
( Уравнение 1 )
где - мнимая единица, а горизонтальные черты указывают комплексное сопряжение . Подставляя и :
я
{\ displaystyle i}
А
(
Икс
)
{\ Displaystyle А (х)}
B
(
Икс
)
¯
{\ displaystyle {\ overline {B (x)}}}
∑
п
знак равно
-
∞
∞
а
п
б
п
¯
знак равно
1
2
π
∫
-
π
π
(
∑
п
знак равно
-
∞
∞
а
п
е
я
п
Икс
)
(
∑
п
знак равно
-
∞
∞
б
п
¯
е
-
я
п
Икс
)
d
Икс
знак равно
1
2
π
∫
-
π
π
(
а
1
е
я
1
Икс
+
а
2
е
я
2
Икс
+
⋯
)
(
б
1
¯
е
-
я
1
Икс
+
б
2
¯
е
-
я
2
Икс
+
⋯
)
d
Икс
знак равно
1
2
π
∫
-
π
π
(
а
1
е
я
1
Икс
б
1
¯
е
-
я
1
Икс
+
а
1
е
я
1
Икс
б
2
¯
е
-
я
2
Икс
+
а
2
е
я
2
Икс
б
1
¯
е
-
я
1
Икс
+
а
2
е
я
2
Икс
б
2
¯
е
-
я
2
Икс
+
⋯
)
d
Икс
знак равно
1
2
π
∫
-
π
π
(
а
1
б
1
¯
+
а
1
б
2
¯
е
-
я
Икс
+
а
2
б
1
¯
е
я
Икс
+
а
2
б
2
¯
+
⋯
)
d
Икс
{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} & = {\ frac {1} {2 \ pi }} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {inx} \ right) \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ overline {b_ {n}}} e ^ {- inx} \ right) \, \ mathrm {d} x \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left (a_ {1} e ^ {i1x} + a_ {2} e ^ {i2x} + \ cdots \ right) \ left ({\ overline {b_ {1}}} e ^ {- i1x} + {\ overline {b_ {2}}} e ^ {- i2x} + \ cdots \ right) \ mathrm {d} x \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left (a_ {1} e ^ {i1x} {\ overline {b_ {1} }} e ^ {- i1x} + a_ {1} e ^ {i1x} {\ overline {b_ {2}}} e ^ {- i2x} + a_ {2} e ^ {i2x} {\ overline {b_ { 1}}} e ^ {- i1x} + a_ {2} e ^ {i2x} {\ overline {b_ {2}}} e ^ {- i2x} + \ cdots \ right) \ mathrm {d} x \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left (a_ {1} {\ overline {b_ {1}}} + a_ { 1} {\ overline {b_ {2}}} e ^ {- ix} + a_ {2} {\ overline {b_ {1}}} e ^ {ix} + a_ {2} {\ overline {b_ {2 }}} + \ cdots \ right) \ mathrm {d} x \ end {выровнено}}}
Как и в случае со средними членами в этом примере, многие члены будут интегрироваться в течение всего периода длины (см. Гармоники ):
0
{\ displaystyle 0}
2
π
{\ displaystyle 2 \ pi}
∑
п
знак равно
-
∞
∞
а
п
б
п
¯
знак равно
1
2
π
[
а
1
б
1
¯
Икс
+
я
а
1
б
2
¯
е
-
я
Икс
-
я
а
2
б
1
¯
е
я
Икс
+
а
2
б
2
¯
Икс
+
⋯
]
-
π
+
π
знак равно
1
2
π
(
2
π
а
1
б
1
¯
+
0
+
0
+
2
π
а
2
б
2
¯
+
⋯
)
знак равно
а
1
б
1
¯
+
а
2
б
2
¯
+
⋯
{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} & = {\ frac {1} {2 \ pi }} \ left [a_ {1} {\ overline {b_ {1}}} x + ia_ {1} {\ overline {b_ {2}}} e ^ {- ix} -ia_ {2} {\ overline { b_ {1}}} e ^ {ix} + a_ {2} {\ overline {b_ {2}}} x + \ cdots \ right] _ {- \ pi} ^ {+ \ pi} \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left (2 \ pi a_ {1} {\ overline {b_ {1}}} + 0 + 0 + 2 \ pi a_ {2} {\ overline {b_ {2}}} + \ cdots \ right) \\ [6pt] & = a_ {1} {\ overline {b_ {1}}} + a_ {2} {\ overline {b_ {2}}} + \ cdots \\ [6pt] \ end {выровнено}}}
В целом, учитывая абелева локально компактная группа G с понтрягинского двойной G ^ , теорема замкнутости говорит преобразование Понтрягина- Фурье является унитарным оператором между гильбертовых пространств L 2 ( G ) и L 2 ( G ^ ) (с интеграцией быть против соответствующим образом масштабированные меры Хаара на этих двух группах.) Когда G - единичная окружность T , G ^ - целые числа, и это случай, рассмотренный выше. Когда G - действительная линия , G ^ также является, а унитарное преобразование - это преобразование Фурье на действительной прямой. Когда G - циклическая группа Z n , она снова самодуальна, и преобразование Понтрягина – Фурье - это то, что в прикладных контекстах называется дискретным преобразованием Фурье .
р
{\ Displaystyle \ mathbb {R}}
р
{\ Displaystyle \ mathbb {R}}
Замкнутости теорема может быть выражена следующим образом : Пусть является интегрируемой с квадратом функции над (т.е., и суммируемы на этом отрезке), с рядом Фурье
ж
(
Икс
)
{\ displaystyle f (x)}
[
-
π
,
π
]
{\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}
ж
(
Икс
)
{\ displaystyle f (x)}
ж
2
(
Икс
)
{\ displaystyle f ^ {2} (х)}
ж
(
Икс
)
≃
а
0
2
+
∑
п
знак равно
1
∞
(
а
п
потому что
(
п
Икс
)
+
б
п
грех
(
п
Икс
)
)
.
{\ displaystyle f (x) \ simeq {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (a_ {n} \ cos (nx) + b_ {n } \ sin (nx)).}
потом
1
π
∫
-
π
π
ж
2
(
Икс
)
d
Икс
знак равно
а
0
2
2
+
∑
п
знак равно
1
∞
(
а
п
2
+
б
п
2
)
.
{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f ^ {2} (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {a_ { 0} ^ {2}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ right).}
Обозначения, используемые в технике
В электротехнике теорема Парсеваля часто записывается как:
∫
-
∞
∞
|
Икс
(
т
)
|
2
d
т
знак равно
1
2
π
∫
-
∞
∞
|
Икс
(
ω
)
|
2
d
ω
знак равно
∫
-
∞
∞
|
Икс
(
2
π
ж
)
|
2
d
ж
{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) | ^ {2} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (\ omega) | ^ {2} \, \ mathrm {d} \ omega = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (2 \ pi е) | ^ {2} \, \ mathrm {d} f}
где представляет собой непрерывное преобразование Фурье (в нормализованной унитарной форме) , а - частота в радианах в секунду.
Икс
(
ω
)
знак равно
F
ω
{
Икс
(
т
)
}
{\ Displaystyle X (\ omega) = {\ mathcal {F}} _ {\ omega} \ {x (t) \}}
Икс
(
т
)
{\ Displaystyle х (т)}
ω
знак равно
2
π
ж
{\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}
Интерпретация этой формы теоремы заключается в том, что полную энергию сигнала можно вычислить путем суммирования мощности на выборку по времени или спектральной мощности по частоте.
Для сигналов с дискретным временем теорема принимает следующий вид:
∑
п
знак равно
-
∞
∞
|
Икс
[
п
]
|
2
знак равно
1
2
π
∫
-
π
π
|
Икс
2
π
(
ϕ
)
|
2
d
ϕ
{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | x [n] | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_ {2 \ pi} ({\ phi}) | ^ {2} \ mathrm {d} \ phi}
где - дискретное преобразование Фурье (DTFT) и представляет угловую частоту (в радианах на выборку) .
Икс
2
π
{\ Displaystyle X_ {2 \ pi}}
Икс
{\ displaystyle x}
ϕ
{\ displaystyle \ phi}
Икс
{\ displaystyle x}
В качестве альтернативы, для дискретного преобразования Фурье (ДПФ) соотношение становится следующим:
∑
п
знак равно
0
N
-
1
|
Икс
[
п
]
|
2
знак равно
1
N
∑
k
знак равно
0
N
-
1
|
Икс
[
k
]
|
2
{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} | x [n] | ^ {2} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {k = 0} ^ {N- 1} | X [k] | ^ {2}}
где - ДПФ длины обоих .
Икс
[
k
]
{\ displaystyle X [k]}
Икс
[
п
]
{\ Displaystyle х [п]}
N
{\ displaystyle N}
Смотрите также
Теорема Парсеваля тесно связана с другими математическими результатами, включающими унитарные преобразования:
Примечания
использованная литература
Парсеваль , MacTutor Архив истории математики .
Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков (Харкорт: Сан-Диего, 2001).
Хуберт Кеннеди, Восемь математических биографий (Безусловные публикации: Сан-Франциско, 2002).
Алан В. Оппенгейм и Рональд В. Шафер, Обработка сигналов в дискретном времени, 2-е издание (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999), стр. 60.
Уильям МакКи. Зиберт, Схемы, сигналы и системы (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), стр. 410–411.
Дэвид В. Каммлер, Первый курс анализа Фурье (Prentice-Hall, Inc., Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси, 2000) с. 74.
внешние ссылки
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">