Греки (финансы) - Greeks (finance)

В финансовой математике , что греки являются величинами , представляющей чувствительность цены производных , таких как варианты для изменения основных параметров , по которым стоимость инструмента или портфеля из финансовых инструментов зависят. Это название используется потому, что наиболее распространенные из этих чувствительных факторов обозначаются греческими буквами (как и некоторые другие финансовые показатели). Взятая вместе, эти также были названы чувствительности риски , меры риска или параметры хеджирования .

Использование греков

Базовый параметр Параметр опции Цена спот, S Волатильность, ${\ displaystyle \ sigma}$ Течение времени Значение (В)  ${\ displaystyle \ Delta}$ Дельта ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$ Вега ${\ displaystyle \ Theta}$ Тета Дельта ( )  ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ Гамма Vanna Очарование Вега ( )  ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$ Vanna Вомма Вета Тета ( ) ${\ displaystyle \ Theta}$ Очарование Вета Гамма ( ) ${\ displaystyle \ Gamma}$ Скорость Зомма Цвет Вомма Ultima

Определение греков как чувствительность цены и риска опциона (в первой строке) к базовому параметру (в первом столбце). Греки первого порядка выделены синим цветом, греки второго порядка - зеленым, а греки третьего порядка - желтым. Обратите внимание, что vanna, charm и veta появляются дважды, поскольку частные кросс-производные равны по теореме Шварца . Rho, lambda, epsilon и vera опущены, поскольку они не так важны, как остальные. Три места в таблице не заняты, потому что соответствующие количества еще не определены в финансовой литературе.

Греки - жизненно важные инструменты в управлении рисками . Каждый грек измеряет чувствительность стоимости портфеля к небольшому изменению данного базового параметра, так что риски компонентов могут рассматриваться изолированно, а портфель соответственно перебалансирован для достижения желаемой подверженности риску; см. например, дельта-хеджирование .

Греки в модели Блэка – Шоулза относительно легко вычислить, что является желательным свойством финансовых моделей , и они очень полезны для трейдеров деривативов, особенно для тех, кто стремится застраховать свои портфели от неблагоприятных изменений рыночных условий. По этой причине те греки, которые особенно полезны для хеджирования, такие как дельта, тета и вегета, хорошо определены для измерения изменений цены, времени и волатильности. Хотя rho является основным входом в модель Блэка – Шоулза, общее влияние на стоимость опциона, соответствующее изменениям безрисковой процентной ставки , обычно незначительно, и поэтому производные инструменты более высокого порядка, включающие безрисковую процентную ставку, не являются общий.

Наиболее распространенными среди греков являются производные первого порядка: дельта , вега , тета и ро, а также гамма , производная второго порядка функции ценности. Остальные уязвимости в этом списке достаточно распространены, так что у них есть общие названия, но этот список ни в коем случае не является исчерпывающим.

Имена

Использование греческих буквенных названий предположительно является продолжением общих финансовых терминов альфа и бета , а также использования сигмы (стандартное отклонение логарифмической доходности) и тау (время до истечения срока) в модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза . Придумано несколько имен, таких как «вега» и «зомма», но по звучанию они похожи на греческие буквы. Названия «цвет» и «очарование» предположительно происходят от использования этих терминов для обозначения экзотических свойств кварков в физике элементарных частиц .

Греки первого порядка

Дельта

Дельта ,измеряет скорость изменения теоретического значения параметра по отношению к изменению цены базового актива. Дельта - это первая производная от стоимостиопциона по отношению к цене базового инструмента. ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ Delta = {\ frac {\ partial V} {\ partial S}}}$

Практическое использование

Для ванильного опциона дельта будет числом от 0,0 до 1,0 для длинного опциона пут (или короткого опциона пут) и от 0,0 до -1,0 для длинного опциона пут (или короткого колла); в зависимости от цены опцион колл ведет себя так, как если бы кто-то владеет 1 акцией базовой акции (если она в больших деньгах), или ничего не владеет (если далеко не в деньгах), или что-то среднее, и, наоборот, для опциона «пут». Разница между дельтой колла и дельтой пут при одном и том же страйке равна единице. По паритету пут-колл длинный колл и короткий пут эквивалентны форварду F , который линейен в споте S с единичным коэффициентом, поэтому производная dF / dS равна 1. См. Формулы ниже.

Эти числа обычно представлены как процент от общего количества акций, представленных опционными контрактами. Это удобно, потому что опцион (мгновенно) будет вести себя как количество акций, указанное дельтой. Например, если портфель из 100 американских колл-опционов на XYZ каждый имеет дельту 0,25 (= 25%), он будет расти или терять стоимость, как 2500 акций XYZ, когда цена изменяется при небольших колебаниях цены (100 опционных контрактов покрывают 10 000 акций). Знак и процент часто опускаются - знак неявно присутствует в типе опциона (отрицательный для пут, положительный для колл), и процент понимается. Наиболее часто котируются 25 дельта пут, 50 дельта пут / 50 дельта колл и 25 дельта колл. 50 Delta put и 50 Delta call не совсем идентичны из-за того, что спот и форвард различаются коэффициентом дисконтирования, но они часто объединяются.

Дельта всегда положительна для длинных коллов и отрицательна для длинных путов (если они не равны нулю). Общую дельту сложного портфеля позиций по одному и тому же базовому активу можно рассчитать, просто взяв сумму дельт для каждой отдельной позиции - дельта портфеля линейна по составляющим. Поскольку дельта базового актива всегда равна 1,0, трейдер может дельта-хеджировать всю свою позицию по базовому активу , купив или сократив количество акций, указанное общей дельтой. Например, если дельта портфеля опционов в XYZ (выраженная в долях базового актива) составляет +2,75, трейдер сможет дельта-хеджировать портфель, продав 2,75 акций базового актива в шорт . Тогда этот портфель сохранит свою общую стоимость независимо от того, в каком направлении движется цена XYZ. (Хотя только для небольших движений базового актива, короткого промежутка времени и невзирая на изменения в других рыночных условиях, таких как волатильность и норма доходности для безрисковых инвестиций).

В качестве прокси для вероятности

(Абсолютное значение) дельты близко, но не идентично процентной денежности опциона, т. Е. Подразумеваемой вероятности того, что срок действия опциона истечет в деньгах (если рынок движется под броуновским движением в зависимости от риска). нейтральная мера ). По этой причине некоторые опционные трейдеры используют абсолютное значение дельты как приближение к процентной денежности. Например, если опцион колл « вне денег» имеет дельту 0,15, трейдер может оценить, что вероятность истечения опциона «при деньгах» составляет примерно 15%. Точно так же, если дельта контракта пут составляет -0,25, трейдер может ожидать, что опцион будет иметь 25% -ную вероятность истечения при деньгах. Коллы и путы при деньгах имеют дельту примерно 0,5 и -0,5 соответственно с небольшим уклоном в сторону более высоких дельт для вызовов через банкомат. Фактическая вероятность того, что опцион завершится в деньгах, - это его двойная дельта , которая является первой производной цены опциона по отношению к страйку.

Связь между дельтой колл и пут

Учитывая европейский опцион колл и пут для одного и того же базового актива, цену исполнения и время до погашения, а также без дивидендной доходности, сумма абсолютных значений дельты каждого опциона будет равна 1, точнее, дельте колла ( положительный) минус дельта пут (отрицательный) равен 1. Это связано с паритетом пут-колл : длинный колл плюс короткий пут (колл минус пут) воспроизводит форвард, дельта которого равна 1.

Если значение дельты для опциона известно, можно рассчитать значение дельты опциона с той же страйк-ценой, базой и сроком погашения, но напротив справа, вычитая 1 из известной дельты колл или прибавляя 1 к известной дельте пут. .

${\ displaystyle \ Delta (вызов) - \ Delta (ввод) = 1}$, следовательно: и . ${\ Displaystyle \ Delta (вызов) = \ Delta (положить) +1}$${\ Displaystyle \ Delta (положить) = \ Delta (вызов) -1}$

Например, если дельта колла равна 0,42, то можно вычислить дельту соответствующего опциона пут при той же цене страйка на 0,42 - 1 = -0,58. Чтобы получить дельту колла из пут, аналогичным образом можно взять -0,58 и прибавить 1, чтобы получить 0,42.

Вега

Vega измеряет чувствительность к волатильности . Vega - это производная от стоимости опциона в отношении волатильности базового актива.

${\ displaystyle {\ mathcal {V}} = {\ frac {\ partial V} {\ partial \ sigma}}}$

Вега - это не название какой-либо греческой буквы. Глиф используется нестандартный вариант Majuscule греческой буквы ню , , записывается в виде . Предположительно название vega было принято потому, что греческая буква nu выглядела как латинская vee , а слово vega произошло от слова vee по аналогии с тем, как бета , эта и тета произносятся в американском английском. ${\ displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$

Символ каппа , иногда используется (учеными) вместо вега (как тау ( ) или заглавная лямбда ( ), хотя они встречаются редко). ${\ displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle \ Lambda}$

Vega обычно выражается как сумма денег на базовую акцию, которую стоимость опциона получит или потеряет при повышении или понижении волатильности на 1 процентный пункт . Все опционы (как колл, так и пут) будут иметь ценность с ростом волатильности.

Vega может быть важным греческим индикатором, за которым следует следить для опционного трейдера, особенно на волатильных рынках, поскольку стоимость некоторых опционных стратегий может быть особенно чувствительной к изменениям волатильности. Например, стоимость стрэддла опциона «при деньгах» в значительной степени зависит от изменений волатильности.

Тета

Theta ,измеряет чувствительность величины производной к течению времени (см значения времени Option ): в «время распад.» ${\ displaystyle \ Theta}$

${\ displaystyle \ Theta = - {\ frac {\ partial V} {\ partial \ tau}}}$

Математический результат формулы для теты (см. Ниже) выражается в годовой стоимости. По соглашению результат обычно делится на количество дней в году, чтобы получить величину, на которую упадет цена опциона по отношению к цене базовой акции. Тэта почти всегда отрицательна для длинных коллов и путов и положительна для коротких (или письменных) коллов и путов. Исключение составляет европейский пут с большой прибылью. Общая тэта для портфеля опционов может быть определена путем суммирования тэта для каждой отдельной позиции.

Стоимость опциона может быть проанализирована на две части: внутренняя стоимость и временная стоимость. Внутренняя стоимость - это сумма денег, которую вы получили бы, если бы вы сразу исполнили опцион, поэтому колл со страйком 50 долларов по акции с ценой 60 долларов будет иметь внутреннюю стоимость 10 долларов, тогда как соответствующий пут будет иметь нулевую внутреннюю стоимость. Ценность времени - это ценность возможности подождать дольше, прежде чем принять решение о тренировке. Даже опущенный по ставке опцион будет чего-то стоить, так как существует некоторая вероятность того, что цена акции упадет ниже страйка до истечения срока действия. Однако по мере приближения срока погашения вероятность того, что это произойдет, уменьшается, поэтому временная стоимость опциона со временем уменьшается. Таким образом, если у вас длинная позиция по опциону, у вас короткая тэта: ваш портфель будет терять ценность с течением времени (все остальные факторы остаются неизменными).

Ро

Rho ,чувствительность меры к процентной ставке: она является производной от стоимости опциона по отношению к безрисковой процентной ставке (за соответствующий выдающийся срок). ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {\ partial V} {\ partial r}}}$

За исключением чрезвычайных обстоятельств, стоимость опциона менее чувствительна к изменениям безрисковой процентной ставки, чем к изменениям других параметров. По этой причине ро является наименее используемым среди греков первого порядка.

Rho обычно выражается как сумма денег на акцию базового актива, которую стоимость опциона получит или потеряет при повышении или понижении безрисковой процентной ставки на 1,0% в год (100 базисных пунктов).

Лямбда

Лямбда ,, омега ,или эластичность является процентное изменение стоимости опциона на процентное изменение в цене базового, мера рычагов ,иногда называют зубчатое зацепление. ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ lambda = \ Omega = {\ frac {\ partial V} {\ partial S}} \ times {\ frac {S} {V}}}$

Он придерживается этого . ${\ displaystyle \ lambda = \ Omega = \ Delta \ times {\ frac {S} {V}}}$

Эпсилон

Эпсилон ,(также известный как фунтыквадратный дюйм,), это процентное изменение стоимости опциона в процентном изменении базовых дивидендов выхода, мера риски дивидендов. Влияние на дивидендную доходность на практике определяется с помощью увеличения этой доходности на 10%. Очевидно, что эта чувствительность может быть применена только к производным инструментам долевых продуктов. ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ epsilon = \ psi = {\ frac {\ partial V} {\ partial q}}}$

Греки второго порядка

Гамма

Гамма ,измеряет скорость изменения дельты по отношению к изменениям в базовой цене. Гамма - это вторая производная функции стоимости по отношению к базовой цене. ${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ displaystyle \ Gamma = {\ frac {\ partial \ Delta} {\ partial S}} = {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial S ^ {2}}}}$

Большинство длинных опций имеют положительную гамму, а большинство коротких опций - отрицательную. Длинные опционы имеют положительную связь с гаммой, потому что по мере роста цены гамма также увеличивается, в результате чего дельта приближается к 1 из 0 (длинный опцион колл) и 0 из -1 (длинный опцион пут). Обратное верно для коротких опционов.

Гамма максимальна приблизительно при деньгах (банкомат) и уменьшается по мере того, как вы уходите в деньгах (ITM) или вне денег (OTM). Гамма важна, потому что она корректирует выпуклость значения.

Когда трейдер пытается установить эффективное дельта-хеджирование для портфеля, трейдер может также попытаться нейтрализовать гамму портфеля, поскольку это гарантирует, что хеджирование будет эффективным в более широком диапазоне движений базовой цены.

Vanna

Vanna , также называемая DvegaDspot и DdeltaDvol , является производной второго порядка от стоимости опциона, один раз по базовой спотовой цене и один раз по волатильности. Это математически эквивалентно DdeltaDvol , чувствительности дельты опциона к изменению волатильности; или, в качестве альтернативы, часть vega по отношению к цене базового инструмента. Vanna может быть полезной чувствительностью для мониторинга при ведении портфеля, хеджируемого дельта- или вегетацией, поскольку vanna поможет трейдеру предвидеть изменения эффективности дельта-хеджирования по мере изменения волатильности или эффективности вегасхеджирования в отношении изменений в базовая спотовая цена.

Если базовое значение имеет непрерывные вторые частные производные, затем , ${\ displaystyle {\ text {Vanna}} = {\ frac {\ partial \ Delta} {\ partial \ sigma}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {V}}} {\ partial S}} = { \ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial S \ partial \ sigma}}}$

Очарование

Очарование или дельта-распад измеряет мгновенную скорость изменения дельты с течением времени.

${\ displaystyle {\ text {Charm}} = - {\ frac {\ partial \ Delta} {\ partial \ tau}} = {\ frac {\ partial \ Theta} {\ partial S}} = - {\ frac { \ partial ^ {2} V} {\ partial \ tau \, \ partial S}}}$

Charm также называют DdeltaDtime . Очарование может быть важным греческим фактором для измерения / мониторинга при дельта-хеджировании позиции на выходных. Очарование - это производная второго порядка от стоимости опциона: один раз - цена, а второй - время. Тогда это также производная от теты по цене базового актива.

Математический результат формулы очарования (см. Ниже) выражается в дельте / год. Часто бывает полезно разделить это на количество дней в году, чтобы получить дельта-спад за день. Это использование довольно точно, когда количество дней, оставшихся до истечения срока опциона, велико. Когда срок действия опциона приближается к истечению, само очарование может быстро измениться, в результате чего оценки дельта-распада за целый день будут неточными.

Вомма

Vomma , volga , vega convxity или DvegaDvol измеряют чувствительность второго порядка к волатильности . Vomma - это вторая производная от стоимости опциона по отношению к волатильности, или, другими словами, vomma измеряет скорость изменения к веге по мере изменения волатильности.

${\ displaystyle {\ text {Vomma}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {V}}} {\ partial \ sigma}} = {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial \ sigma ^ {2}}}}$

При положительной вомме позиция станет длинной вегой по мере увеличения подразумеваемой волатильности и короткой вегой по мере ее уменьшения, что может быть скальпировано способом, аналогичным длинной гамме. И изначально вегетативно-нейтральная позиция с длинной рвотой может быть построена из соотношений вариантов при разных ударах. Вомма положительна для длинных опционов без денег, и сначала увеличивается с удалением от денег (но падает, когда вегета падает). (В частности, vomma положительна, когда обычные члены d1 и d2 имеют один и тот же знак, что верно, когда d1 <0 или d2> 0.)

Вета

Veta или DvegaDtime измеряет скорость изменения веги с течением времени. Вета - вторая производная функции ценности; один раз к волатильности и один раз ко времени.

${\ displaystyle {\ text {Veta}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {V}}} {\ partial \ tau}} = {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial \ sigma \, \ partial \ tau}}}$

Обычно математический результат веты делят на 100-кратное количество дней в году, чтобы уменьшить значение до процентного изменения веги за один день.

Вера

Vera (иногда rhova ) измеряет скорость изменения rho относительно волатильности. Вера - вторая производная функции цены; один раз к волатильности и один раз к процентной ставке.

${\ displaystyle {\ text {Vera}} = {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial \ sigma}} = {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial \ sigma \, \ partial r }}}$

Слово «Вера» было придумано Р. Нарышкиным в начале 2012 года, когда эту чувствительность нужно было использовать на практике для оценки влияния изменений волатильности на родохеджирование, но в доступной литературе такого названия еще не было. «Vera» было выбрано так, чтобы звучать аналогично сочетанию Vega и Rho, соответствующих греков первого порядка. Это имя теперь широко используется, включая, например, программу компьютерной алгебры Maple (которая имеет функцию BlackScholesVera в своем финансовом пакете).

Частная производная второго порядка по ${\ displaystyle K}$

Этот частный производный инструмент играет фундаментальную роль в формуле Бридена-Литценбергера, которая использует котируемые цены опционов колл для оценки нейтральных к риску вероятностей, подразумеваемых такими ценами.

${\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial K ^ {2}}}}$

Для опционов колл его можно аппроксимировать с помощью бесконечно малых портфелей стратегий « бабочка» .

Греки третьего порядка

Скорость

Скорость измеряет скорость изменения гаммы по отношению к изменениям базовой цены.

${\ displaystyle {\ text {Speed}} = {\ frac {\ partial \ Gamma} {\ partial S}} = {\ frac {\ partial ^ {3} V} {\ partial S ^ {3}}}}$

Это также иногда называют гаммой гаммы или DgammaDspot . Скорость - это третья производная функции стоимости по отношению к базовой спотовой цене. Скорость может быть важна для отслеживания при дельта-хеджировании или гамма-хеджировании портфеля.

Зомма

Zomma измеряет скорость изменения гаммы относительно изменений волатильности.

${\ displaystyle {\ text {Zomma}} = {\ frac {\ partial \ Gamma} {\ partial \ sigma}} = {\ frac {\ partial {\ text {vanna}}} {\ partial S}} = { \ frac {\ partial ^ {3} V} {\ partial S ^ {2} \, \ partial \ sigma}}}$

Zomma также упоминается как DgammaDvol . Zomma - это третья производная от стоимости опциона, дважды по отношению к цене базового актива и один раз по отношению к волатильности. Zomma может быть полезной чувствительностью для мониторинга при поддержании гамма-хеджированного портфеля, поскольку zomma помогает трейдеру предвидеть изменения эффективности хеджирования по мере изменения волатильности.

Цвет

Цвет , гамма-распад или DgammaDtime измеряют скорость изменения гаммы с течением времени.

${\ displaystyle {\ text {Color}} = {\ frac {\ partial \ Gamma} {\ partial \ tau}} = {\ frac {\ partial ^ {3} V} {\ partial S ^ {2} \, \ partial \ tau}}}$

Цвет - это производная третьего порядка от стоимости опциона, дважды по отношению к цене базового актива и один раз по времени. Цвет может быть важной чувствительностью, которую необходимо контролировать при ведении портфеля с гамма-хеджированием, поскольку он может помочь трейдеру предвидеть эффективность хеджирования с течением времени.

Математический результат формулы для цвета (см. Ниже) выражается в гамме за год. Часто бывает полезно разделить это на количество дней в году, чтобы получить изменение гаммы за день. Это использование довольно точно, когда количество дней, оставшихся до истечения срока опциона, велико. Когда срок действия опциона приближается к истечению, сам цвет может быстро измениться, что делает оценки изменения гаммы за целый день неточными.

Ultima

Ultima измеряет чувствительность vomma опциона к изменению волатильности.

${\ displaystyle {\ text {Ultima}} = {\ frac {\ partial {\ text {vomma}}} {\ partial \ sigma}} = {\ frac {\ partial ^ {3} V} {\ partial \ sigma ^ {3}}}}$

Ultima также упоминается как DvommaDvol . Ultima - это производная третьего порядка от стоимости опциона к волатильности.

Греки за опционы с несколькими активами

Если стоимость производного инструмента зависит от двух или более базовых активов , его греки расширяются, чтобы включить перекрестные эффекты между базовыми активами.

Дельта корреляции измеряет чувствительность стоимости производного инструмента к изменению корреляции между базовыми активами. Это также широко известно как cega .

Перекрестная гамма измеряет скорость изменения дельты одного актива к изменению уровня другого актива.

Cross vanna измеряет скорость изменения веги в одном базовом активе из-за изменения уровня другого базового актива. Точно так же он измеряет скорость изменения дельты второго базового актива из-за изменения волатильности первого базового актива.

Cross Volga измеряет скорость изменения веги одного базового актива к изменению волатильности другого базового актива.

Формулы для европейского варианта греков

Греки европейских опционов ( звонки и ставит ) в рамках модели Блэка-Шоулза рассчитывается следующим образом , где (PHI) является стандартной нормальной функции плотности вероятности и является стандартной нормальной кумулятивная функция распределения . Обратите внимание, что формулы гаммы и веги одинаковы для коллов и путов. ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ Phi}$

Для данного:

• Цена акции ,${\ Displaystyle S \,}$
• Цена исполнения ,${\ displaystyle K \,}$
• Безрисковая ставка ,${\ Displaystyle г \,}$
• Годовая дивидендная доходность ,${\ displaystyle q \,}$
• Время до погашения (представлено в виде доли одного года без единицы измерения), и${\ Displaystyle \ тау = Tt \,}$
• Волатильность .${\ Displaystyle \ sigma \,}$

	Звонки	Ставит
справедливая стоимость ( ) ${\ displaystyle V}$	${\ Displaystyle Se ^ {- q \ tau} \ Phi (d_ {1}) - e ^ {- r \ tau} K \ Phi (d_ {2}) \,}$	${\ Displaystyle е ^ {- г \ тау} К \ Фи (-d_ {2}) - Се ^ {- д \ тау} \ Фи (-d_ {1}) \,}$
дельта ( ) ${\ displaystyle \ Delta}$	${\ Displaystyle е ^ {- д \ тау} \ Phi (d_ {1}) \,}$	${\ Displaystyle -e ^ {- д \ тау} \ Phi (-d_ {1}) \,}$
Вега ( ) ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$	${\ displaystyle Se ^ {- q \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ sqrt {\ tau}} = Ke ^ {- r \ tau} \ phi (d_ {2}) {\ sqrt {\ tau }} \,}$
тета ( ) ${\ displaystyle \ Theta}$	${\ displaystyle -e ^ {- q \ tau} {\ frac {S \ phi (d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {\ tau}}}}} - rKe ^ {- r \ tau} \ Phi (d_ {2}) + qSe ^ {- q \ tau} \ Phi (d_ {1}) \,}$	${\ displaystyle -e ^ {- q \ tau} {\ frac {S \ phi (d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {\ tau}}}} + rKe ^ {- r \ tau} \ Phi (-d_ {2}) - qSe ^ {- q \ tau} \ Phi (-d_ {1}) \,}$
ро ( ) ${\ displaystyle \ rho}$	${\ Displaystyle К \ тау е ^ {- г \ тау} \ Фи (d_ {2}) \,}$	${\ displaystyle -K \ tau e ^ {- r \ tau} \ Phi (-d_ {2}) \,}$
эпсилон ( )${\ displaystyle \ epsilon}$	${\ Displaystyle -S \ тау е ^ {- д \ тау} \ Фи (d_ {1})}$	${\ Displaystyle S \ tau e ^ {- q \ tau} \ Phi (-d_ {1})}$
лямбда ( ) ${\ displaystyle \ lambda}$	${\ displaystyle \ Delta {\ frac {S} {V}} \,}$
гамма ( ) ${\ displaystyle \ Gamma}$	${\ displaystyle e ^ {- q \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {1})} {S \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} = Ke ^ {- r \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {2})} {S ^ {2} \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \,}$
Vanna	${\ displaystyle -e ^ {- q \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ frac {d_ {2}} {\ sigma}} \, = {\ frac {\ mathcal {V}} {S} } \ left [1 - {\ frac {d_ {1}} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ right] \,}$
очарование	${\ displaystyle qe ^ {- q \ tau} \ Phi (d_ {1}) - e ^ {- q \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ frac {2 (rq) \ tau -d_ {2 } \ sigma {\ sqrt {\ tau}}} {2 \ tau \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \,}$	${\ Displaystyle -qe ^ {- q \ tau} \ Phi (-d_ {1}) - e ^ {- q \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ frac {2 (rq) \ tau -d_ {2} \ sigma {\ sqrt {\ tau}}} {2 \ tau \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \,}$
рвота	${\ displaystyle Se ^ {- q \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ sqrt {\ tau}} {\ frac {d_ {1} d_ {2}} {\ sigma}} = {\ mathcal { V}} {\ frac {d_ {1} d_ {2}} {\ sigma}} \,}$
вета	${\ displaystyle -Se ^ {- q \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ sqrt {\ tau}} \ left [q + {\ frac {\ left (rq \ right) d_ {1}} {\ сигма {\ sqrt {\ tau}}}} - {\ frac {1 + d_ {1} d_ {2}} {2 \ tau}} \ right] \,}$
${\ displaystyle \ varphi}$	${\ displaystyle e ^ {- r \ tau} {\ frac {1} {K}} {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2} \ tau}}} \ exp \ left \ {- {\ frac {1} {2 \ sigma ^ {2} \ tau}} \ left [\ ln \ left ({\ frac {K} {S}} \ right) - \ left ((rq) - { \ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ right) \ tau \ right] ^ {2} \ right \}}$
скорость	${\ displaystyle -e ^ {- q \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {1})} {S ^ {2} \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ left ({\ frac { d_ {1}} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} + 1 \ right) = - {\ frac {\ Gamma} {S}} \ left ({\ frac {d_ {1}} {\ сигма {\ sqrt {\ tau}}}} + 1 \ right) \,}$
зомма	${\ displaystyle e ^ {- q \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {1}) \ left (d_ {1} d_ {2} -1 \ right)} {S \ sigma ^ {2} {\ sqrt {\ tau}}}} = \ Gamma {\ frac {d_ {1} d_ {2} -1} {\ sigma}} \,}$
цвет	${\ displaystyle -e ^ {- q \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {1})} {2S \ tau \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ left [2q \ tau +1+ {\ frac {2 (rq) \ tau -d_ {2} \ sigma {\ sqrt {\ tau}}} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} d_ {1} \ right] \,}$
ультима	${\ displaystyle {\ frac {- {\ mathcal {V}}} {\ sigma ^ {2}}} \ left [d_ {1} d_ {2} (1-d_ {1} d_ {2}) + d_ {1} ^ {2} + d_ {2} ^ {2} \ right]}$
двойная дельта	${\ displaystyle -e ^ {- r \ tau} \ Phi (d_ {2}) \,}$	${\ Displaystyle е ^ {- г \ тау} \ Phi (-d_ {2}) \,}$
двойная гамма	${\ displaystyle e ^ {- r \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {2})} {K \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \,}$

куда

${\ Displaystyle {\ begin {align} d_ {1} & = {\ frac {\ ln (S / K) + \ left (r-q + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ справа) \ tau} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \\ d_ {2} & = {\ frac {\ ln (S / K) + \ left (rq - {\ frac {1} { 2}} \ sigma ^ {2} \ right) \ tau} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {\ tau}} \\\ phi (x ) & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {1} {2}} x ^ {2}} \\\ Phi (x) & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {x} e ^ {- {\ frac {1} {2}} y ^ {2}} \, dy = 1 - {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {1} {2}} y ^ {2}} \ , ду \ конец {выровнено}}}$

В рамках модели Блэка (обычно используемой для сырьевых товаров и опционов на фьючерсы) греков можно рассчитать следующим образом:

	Звонки	Ставит
справедливая стоимость ( ) ${\ displaystyle V}$	${\ Displaystyle е ^ {- г \ тау} [F \ Phi (d_ {1}) - K \ Phi (d_ {2})] \}$	${\ Displaystyle е ^ {- г \ тау} [К \ Фи (-d_ {2}) - F \ Фи (-d_ {1})] \,}$
дельта ( )${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle = \ partial V / \ partial F}$	${\ Displaystyle е ^ {- г \ тау} \ Phi (d_ {1}) \,}$	${\ Displaystyle -e ^ {- г \ тау} \ Phi (-d_ {1}) \,}$
Вега ( ) ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$	${\ displaystyle Fe ^ {- r \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ sqrt {\ tau}} = Ke ^ {- r \ tau} \ phi (d_ {2}) {\ sqrt {\ tau }} \,}$ (*)
тета ( ) ${\ displaystyle \ Theta}$	${\ displaystyle - {\ frac {Fe ^ {- r \ tau} \ phi (d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {\ tau}}}} - rKe ^ {- r \ tau} \ Phi (d_ {2}) + rFe ^ {- r \ tau} \ Phi (d_ {1}) \,}$	${\ displaystyle - {\ frac {Fe ^ {- r \ tau} \ phi (d_ {1}) \ sigma} {2 {\ sqrt {\ tau}}}} + rKe ^ {- r \ tau} \ Phi (-d_ {2}) - rFe ^ {- r \ tau} \ Phi (-d_ {1}) \,}$
ро ( ) ${\ displaystyle \ rho}$	${\ Displaystyle - \ тау е ^ {- г \ тау} [F \ Phi (d_ {1}) - K \ Phi (d_ {2})] \}$	${\ Displaystyle - \ тау е ^ {- г \ тау} [К \ Фи (-d_ {2}) - F \ Фи (-d_ {1})] \,}$
гамма ( )${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle = {\ partial ^ {2} V \ over \ partial F ^ {2}}}$	${\ displaystyle e ^ {- r \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {1})} {F \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} = Ke ^ {- r \ tau} {\ frac {\ phi (d_ {2})} {F ^ {2} \ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \,}$ (*)
Vanna ${\ displaystyle = {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial F \ partial \ sigma}}}$	${\ displaystyle -e ^ {- r \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ frac {d_ {2}} {\ sigma}} \, = {\ frac {\ mathcal {V}} {F} } \ left [1 - {\ frac {d_ {1}} {\ sigma {\ sqrt {\ tau}}}} \ right] \,}$
рвота	${\ displaystyle Fe ^ {- r \ tau} \ phi (d_ {1}) {\ sqrt {\ tau}} {\ frac {d_ {1} d_ {2}} {\ sigma}} = {\ mathcal { V}} {\ frac {d_ {1} d_ {2}} {\ sigma}} \,}$

куда

${\ displaystyle {\ begin {align} d_ {1} & = {\ frac {\ ln (F / K) + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ tau} {\ sigma { \ sqrt {\ tau}}}} \\ d_ {2} & = {\ frac {\ ln (F / K) - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} \ tau} {\ сигма {\ sqrt {\ tau}}}} = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {\ tau}} \ конец {выровнено}}}$

(*) Можно показать, что ${\ Displaystyle F \ phi (d_ {1}) = K \ phi (d_ {2})}$

Связанные меры

Некоторые связанные с этим меры риска производных финансовых инструментов перечислены ниже.

Продолжительность и выпуклость связи

При торговле ценными бумагами с фиксированным доходом (облигациями) используются различные меры дюрации облигации аналогично дельте опциона. Ближайшим аналогом дельты является DV01 , которое представляет собой снижение цены (в денежных единицах) при увеличении доходности на один базисный пункт (т.е. 0,01% годовых) (доходность является базовой переменной).

Аналогом лямбда является модифицированная дюрация , которая представляет собой процентное изменение рыночной цены облигации (облигаций) при изменении доходности на единицу (то есть эквивалентно DV01, деленному на рыночную цену). В отличии от лямбда, который представляет собой эластичность (процентное изменение выходного сигнала на процентное изменение на входе), модифицированная длительность вместо этого пола -elasticity -a процентного изменение выходного сигнала на единицу изменение входного сигнала.

Выпуклость облигации - это мера чувствительности дюрации к изменениям процентных ставок , вторая производная цены облигации по отношению к процентным ставкам (дюрация - первая производная). В целом, чем выше выпуклость, тем более чувствительна цена облигации к изменению процентных ставок. Выпуклость облигаций - одна из самых основных и широко используемых форм выпуклости в финансах .

Для облигации со встроенным опционом при стандартных расчетах доходности к погашению здесь не учитывается, как изменения процентных ставок повлияют на денежные потоки из-за исполнения опциона. Чтобы решить эту проблему, вводятся эффективная продолжительность и эффективная выпуклость . Эти значения обычно рассчитываются с использованием древовидной модели, построенной для всей кривой доходности (в отличие от одной доходности к погашению), и, следовательно, фиксируют поведение исполнения в каждый момент срока действия опциона как функцию как времени, так и процентных ставок. ; см. Решетчатая модель (финансы) § Производные финансовые инструменты .

Бета

Бета (β) из запаса или портфель представляет собой число , описывающее волатильности актива по отношению к волатильности ориентира , что указанный актив сравнивается с. Этот ориентир обычно представляет собой общий финансовый рынок и часто оценивается с помощью репрезентативных индексов , таких как S&P 500 .

Бета актива равна нулю, если его доходность изменяется независимо от изменений доходности рынка. Положительная бета означает, что доходность актива обычно соответствует доходности рынка в том смысле, что оба они имеют тенденцию быть выше своих соответствующих средних значений вместе, или оба имеют тенденцию быть ниже своих соответствующих средних значений вместе. Отрицательная бета означает, что доходность актива обычно движется в противоположном направлении от доходности рынка: одна будет обычно выше своего среднего значения, когда другое ниже среднего.

Фугит

Fugit ожидаемое время исполнить опцион американский или бермудский. Его полезно вычислить для целей хеджирования - например, можно представить потоки американского свопциона как потоки свопа, начинающиеся с фугита, умноженные на дельту, а затем использовать их для вычисления чувствительности.

Смотрите также

• Альфа (финансы)
• Бета (финансы)
• Дельта-нейтральный
• Греческие буквы, используемые в математике, естествознании и инженерии.
• Цены на Ванна – Волга

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

Теория

• Дельта, Гамма, ГаммаП, Гамма-симметрия, Ванна, Скорость, Очарование, Гамма седла: Ванильные варианты - Эспен Хауг ,
• Волга, Ванна, Скорость, Очарование, Цвет: Варианты Ванили - Уве Виступ , Варианты Ванили - Уве Виступ

Пошаговые математические выводы опционов греков

• Расчет стоимости звонка в европейском стиле "ваниль"
• Производное от европейской ванильной дельты вызова
• Выведение гаммы европейского ванильного вызова
• Получение скорости европейского ванильного вызова
• Производное от European Vanilla Call Vega
• От слова European Vanilla Call Volga
• Производное от European Vanilla Call Vanna как производного от Vega по отношению к базовому
• Получение европейской Vanilla Call Vanna как производной от дельты в отношении волатильности
• Производное от европейского ванильного названия Theta
• Производное от европейского ванильного Call Rho
• Выведение цены европейского ванильного пут
• Производное от European Vanilla Put Delta
• Производное от European Vanilla Put Gamma
• Производное от European Vanilla Put Speed
• Производное от European Vanilla Put Vega
• Производное от European Vanilla Put Volga
• Производное от европейской ванили (European Vanilla). Положим Vanna как производную от Vega по отношению к базовому значению.
• Производная от европейской ванили, поставив Ванну как производную от дельты в отношении волатильности
• Производное от European Vanilla Put Theta
• Производное от European Vanilla Put Rho

Онлайн-инструменты

• Графики поверхности греков Блэка-Шоулза , Крис Мюррей
• Онлайн-цены опционов в реальном времени и калькулятор греков при нормальном распределении базового актива, Razvan Pascalau, Univ. Алабамы
• greeks: Чувствительность цен финансовых опционов , пакет R для расчета греков для европейских, американских и азиатских опционов