На сфере и цилиндре - On the Sphere and Cylinder
«О сфере и цилиндре» ( греч . Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ) - труд, опубликованный Архимедом в двух томах c. 225 г. до н. Э. Это особенно подробно описано как найти площадь поверхности в виде сферы и объем содержащегося шара и аналогичных значений для цилиндра , и был первым чтобы сделать это.
Содержание
Основные формулы, полученные в статьях « На сфере» и «Цилиндр», - это те, которые упомянуты выше: площадь поверхности сферы, объем содержащегося в ней шара, а также площадь поверхности и объем цилиндра. Позвольте быть радиусом сферы и цилиндра, и быть высотой цилиндра, с предположением, что цилиндр является правильным цилиндром - сторона перпендикулярна обеим крышкам. В своей работе Архимед показал, что площадь поверхности цилиндра равна:
и что объем того же самого:
На сфере он показал, что площадь поверхности в четыре раза больше площади ее большого круга . Говоря современным языком, это означает, что площадь поверхности равна:
Результат для объема заключенного шара показал, что он составляет две трети объема описанного цилиндра , что означает, что объем равен
Когда вписывающий цилиндр плотный и имеет высоту , так что сфера касается цилиндра сверху и снизу, он показал, что и объем, и площадь поверхности сферы составляли две трети от цилиндра. Это означает, что площадь сферы равна площади цилиндра без его крышек. Этот результат в конечном итоге приведет к цилиндрической равновеликой проекции Ламберта , способу картирования мира, который точно представляет области. Архимед особенно гордился этим последним результатом, и поэтому он попросил, чтобы набросок сферы, вписанной в цилиндр, был начертан на его могиле. Позднее римский философ Марк Туллий Цицерон обнаружил гробницу, заросшую окружающей растительностью.
Аргумент, который Архимед использовал для доказательства формулы объема шара, был скорее связан с его геометрией, и многие современные учебники имеют упрощенную версию с использованием концепции предела , которой не существовало во времена Архимеда. Архимед использовал вписанный полу-многоугольник в полукруг, затем повернул оба, чтобы создать конгломерат усеченных пирамид в сфере, для которой он затем определил объем.
Похоже, что это не оригинальный метод, который Архимед использовал для получения этого результата, а лучший формальный аргумент, доступный ему в греческой математической традиции. Его первоначальный метод, вероятно, заключался в умном использовании рычагов. Палимпсест украден из греческой православной церкви в начале 20 - го века, который вновь появился на аукционе в 1998 году, содержал много Архимеда работы, в том числе метода механических теорем , в которых он описывает метод определения объема , который включает в себя остатки, центры массы и бесконечно малые кусочки.
Смотрите также
Ноты
Рекомендации
- Данэм, Уильям (1990), Путешествие сквозь гения (1-е изд.), Джон Уайли и сыновья, ISBN 0-471-50030-5
- Данэм, Уильям (1994), Математическая Вселенная (1-е изд.), Джон Уайли и сыновья, ISBN 0-471-53656-3
- Ш.Гулд, Метод Архимеда, The American Mathematical Monthly. Vol. 62, No. 7 (август - сентябрь 1955 г.), стр. 473–476
- Лучио Ломбардо Радиче, Математика да Питагора в Ньютоне , Рома, Editori Riuniti , 1971.
- Аттилио Фражезе, Опере ди Архимеда , Турин, UTET, 1974.