В численном анализе , численный метод представляет собой математический инструмент , предназначенный для решения численных задач. Реализация численного метода с соответствующей проверкой сходимости на языке программирования называется численным алгоритмом.
Пусть будет правильно поставленной задачей , то есть реальной или сложной функциональной зависимостью, определенной на перекрестном произведении набора входных данных и набора выходных данных , такая, что существует локально функция липшица, называемая резольвентой , которая имеет свойство, которое для каждый корень из , . Определим численный метод аппроксимации , последовательность задач
с , и для каждого . Проблемы, из которых состоит метод, не обязательно должны быть хорошо поставлены. Если да, то метод считается стабильным или корректным .
Последовательность
Необходимые условия для эффективного приближения численного метода - это то и что ведет себя как когда . Итак, численный метод называется непротиворечивым тогда и только тогда, когда последовательность функций поточечно сходится к на множестве своих решений:
Когда по методу считается строго последовательным .
Конвергенция
Обозначим через последовательность допустимых возмущений в течение некоторого численного метода (то есть ) , и с величиной такой , что . Условием, которому должен удовлетворять метод, чтобы быть значимым инструментом для решения проблемы, является сходимость :
Легко доказать, что поточечная сходимость к влечет сходимость ассоциированного метода - функции.