n- й корень - nth root

В математике , п - й корень из числа х , где п обычно предполагается, что положительное целое число, такое число г , которое при возведенное в степень п дает  х :

${\ Displaystyle г ^ {п} = х,}$

где n - степень корня. Корень степени 2 называется квадратным корнем, а корень степени 3 - кубическим корнем . Корни более высокой степени обозначаются порядковыми числами, например, корень четвертой , двадцатый и т. Д.

Вычисление корня n- й степени - это извлечение корня .

Например:

• 3 - квадратный корень из 9, так как 3 ² = 9.
• −3 также является квадратным корнем из 9, поскольку (−3) ² = 9.

Любое ненулевое число, рассматриваемое как комплексное, имеет n различных комплексных корней n- й степени, включая действительные (не более двух). П - й корень 0 равен нулю для всех положительных целых чисел п , так как 0 ^п = 0 . В частности, если n четно, а x - положительное действительное число, один из его корней n- й степени действительный и положительный, один отрицательный, а остальные (когда n > 2 ) не являются действительными комплексными числами ; если n четно, а x - отрицательное действительное число, ни один из корней n не является действительным. Если n нечетно, а x вещественно, один корень n- й степени вещественен и имеет тот же знак, что и x , а другие ( n - 1 ) корни не являются действительными. Наконец, если x не является действительным, то ни один из его корней n- й степени не является действительным.

Корни действительных чисел обычно записываются с использованием радикального символа или системы счисления с обозначением положительного квадратного корня из x, если x положительное, и обозначением действительного корня n- й степени, если n нечетное, и положительного квадратного корня, если n четное и x неотрицательно. В других случаях символ обычно не используется как неоднозначный. В выражении целое число n называется индексом , является радикальным знаком или основанием системы счисления , а x называется подкоренным выражением . ${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt [{п}] {х}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt [{п}] {х}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {{~ ^ {~}} ^ {~} \! \!}}}$

Когда рассматриваются комплексные корни n- й степени, часто бывает полезно выбрать один из корней в качестве главного значения . Обычно выбирают тот, который делает корень n- й степени непрерывной функцией , действительной и положительной для действительного и положительного x . Точнее, главный корень n- й степени x является корнем n- й степени с наибольшей действительной частью, а когда их два (для действительного и отрицательного x ), корнем с положительной мнимой частью .

Сложность с этим выбором состоит в том, что для отрицательного действительного числа и нечетного индекса главный корень n- й степени не является действительным. Например, имеют три кубические корни, , и корень реального куба и корень основного куба${\ displaystyle -8}$${\ displaystyle -2}$${\ displaystyle 1 + я {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle 1-i {\ sqrt {3}}.}$${\ displaystyle -2}$${\ displaystyle 1 + i {\ sqrt {3}}.}$

Неразрешенный корень, особенно тот, в котором используется символ радикала, иногда называют сурдом или радикалом . Любое выражение, содержащее радикал, будь то квадратный корень, кубический корень или более высокий корень, называется радикальным выражением , а если оно не содержит трансцендентных функций или трансцендентных чисел, оно называется алгебраическим выражением .

Корни также можно определить как частные случаи возведения в степень , где показатель степени является дробью :

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} = x ^ {1 / n}.}$

Корни используются для определения радиуса сходимости в виде степенного ряда с испытанием корня . В п - е корни 1 называются корнями из единицы и играют фундаментальную роль в различных областях математики, такие как теория чисел , теория уравнений и преобразование Фурье .

История

Архаичный термин для извлечения корней n - это радикализация .

Определение и обозначения

П - й корень из числа х , где п представляет собой положительное целое число, является любым из п действительных или комплексных чисел г которого п - й мощности х :

${\ displaystyle r ^ {n} = x.}$

Каждое положительное действительное число x имеет единственный положительный корень n- й степени, называемый главным корнем n- й степени , который записывается . Если n равно 2, это называется главным квадратным корнем, а n опускается. П - й корень также может быть представлен , используя возведение в степень , как х ^{1 / п} . ${\ Displaystyle {\ sqrt [{п}] {х}}}$

Для четных значений n положительные числа также имеют отрицательный корень n- й степени, тогда как отрицательные числа не имеют действительного корня n- й степени. Для нечетных значений n каждое отрицательное число x имеет действительный отрицательный корень n- й степени. Например, у -2 есть действительный корень 5-й степени, но у -2 нет действительных корней 6-й степени. ${\ displaystyle {\ sqrt [{5}] {- 2}} = - 1,148698354 \ ldots}$

Каждое ненулевое число x , действительное или комплексное , имеет n различных корней n- й степени комплексного числа . (В случае, если x действительный, это число включает любые действительные корни n- й степени.) Единственный комплексный корень из 0 - это 0.

П е корни почти всех чисел (все целые числа , за исключением п - й степеней, и все рациональные за исключением частных двух п - й степеней) являются иррациональными . Например,

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} = 1,414213562 \ ldots}$

Все корни n- й степени целых чисел являются алгебраическими числами .

Термин сурд восходит к аль-Хваризми (ок. 825 г.), который называл рациональные и иррациональные числа слышимыми и неслышными соответственно. Позже это привело к тому, что арабское слово « م » ( асамм , означающее «глухой» или «немой») для иррационального числа было переведено на латынь как «сурдус» (что означает «глухой» или «немой»). Герард Кремонский (ок. 1150 г.), Фибоначчи (1202 г.), а затем Роберт Рекорд (1551 г.) использовали этот термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней .

Квадратные корни

Квадратный корень из числа х представляет собой число г , который, когда квадрат , становится х :

${\ displaystyle r ^ {2} = x.}$

Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня, один положительный и один отрицательный. Например, два квадратных корня из 25 равны 5 и −5. Положительный квадратный корень также известен как главный квадратный корень и обозначается знаком радикала:

${\ displaystyle {\ sqrt {25}} = 5.}$

Поскольку квадрат каждого действительного числа является положительным действительным числом, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Однако для каждого отрицательного действительного числа есть два мнимых квадратных корня. Например, квадратные корни из −25 равны 5 i и −5 i , где i представляет собой число, квадрат которого равен −1 .

Кубические корни

Кубический корень из числа х представляет собой число г которого куб является х :

${\ displaystyle r ^ {3} = x.}$

У каждого действительного числа x записан ровно один действительный кубический корень . Например, ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {8}} = 2}$ и ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {- 8}} = - 2.}$

Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных кубических корня.

Личности и свойства

Выражение степени корня n- й степени в форме экспоненты, например, в , упрощает манипулирование степенями и корнями. ${\ displaystyle x ^ {1 / n}}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}} \ Equiv (a ^ {m}) ^ {1 / n} \ Equiv a ^ {m / n}.}$

Каждое положительное действительное число имеет ровно один положительный действительный корень n- й степени, поэтому правила операций с surds, включающими положительные подкоренные выражения , просты в пределах действительных чисел: ${\ displaystyle a, \; b}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ sqrt [{n}] {ab}} & \ Equiv {\ sqrt [{n}] {a}} {\ sqrt [{n}] {b}} \\ {\ sqrt [{n}] {\ frac {a} {b}}} и \ экв {\ frac {\ sqrt [{n}] {a}} {\ sqrt [{n}] {b}}} \ конец {выровнено}}}$

Тонкости могут возникнуть при извлечении корней n- й степени из отрицательных или комплексных чисел . Например:

${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \ times {\ sqrt {-1}} \ neq {\ sqrt {-1 \ times -1}} = 1, \ quad}$ скорее ${\ displaystyle \ quad {\ sqrt {-1}} \ times {\ sqrt {-1}} = i \ times i = i ^ {2} = - 1.}$

Так как правило строго выполняется только для неотрицательных вещественных подкоренных выражений, его применение приводит к неравенству на первом шаге выше. ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a}} \ times {\ sqrt [{n}] {b}} = {\ sqrt [{n}] {ab}}}$

Упрощенная форма радикального выражения

Говорят, что невложенное радикальное выражение имеет упрощенную форму, если

1. Нет множителя при подкоренном выражении, который можно было бы записать в степени, большей или равной индексу.
2. Под знаком радикала дробей нет.
3. В знаменателе нет радикалов.

Например, чтобы записать радикальное выражение в упрощенном виде, можно поступить следующим образом. Сначала найдите идеальный квадрат под знаком квадратного корня и удалите его: ${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {32} {5}}}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {32} {5}}} = {\ sqrt {\ tfrac {16 \ cdot 2} {5}}} = 4 {\ sqrt {\ tfrac {2} {5}} }}$

Далее стоит дробь под знаком корня, которую мы меняем следующим образом:

${\ displaystyle 4 {\ sqrt {\ tfrac {2} {5}}} = {\ frac {4 {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {5}}}}$

Наконец, удаляем радикал из знаменателя следующим образом:

${\ displaystyle {\ frac {4 {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {5}}} = {\ frac {4 {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {5}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {5}}} = {\ frac {4 {\ sqrt {10}}} {5}} = {\ frac {4} {5}} {\ sqrt {10 }}}$

Когда есть знаменатель, включающий сурды, всегда можно найти коэффициент, на который можно умножить числитель и знаменатель, чтобы упростить выражение. Например, используя факторизацию суммы двух кубов :

${\ displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt [{3}] {a}} + {\ sqrt [{3}] {b}}}} = {\ frac {{\ sqrt [{3}]) {a ^ {2}}} - {\ sqrt [{3}] {ab}} + {\ sqrt [{3}] {b ^ {2}}}} {\ left ({\ sqrt [{3} ] {a}} + {\ sqrt [{3}] {b}} \ right) \ left ({\ sqrt [{3}] {a ^ {2}}} - {\ sqrt [{3}] { ab}} + {\ sqrt [{3}] {b ^ {2}}} \ right)}} = {\ frac {{\ sqrt [{3}] {a ^ {2}}} - {\ sqrt [{3}] {ab}} + {\ sqrt [{3}] {b ^ {2}}}} {a + b}} \ ,.}$

Упростить радикальные выражения, включающие вложенные радикалы, может быть довольно сложно. Например, не очевидно, что:

${\ displaystyle {\ sqrt {3 + 2 {\ sqrt {2}}}} = 1 + {\ sqrt {2}}}$

Вышесказанное можно получить с помощью:

${\ displaystyle {\ sqrt {3 + 2 {\ sqrt {2}}}} = {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {2}} + 2}} = {\ sqrt {1 ^ {2} +2 {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {2}} ^ {2}}} = {\ sqrt {\ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2}}} = 1+ {\ sqrt {2}}}$

Бесконечная серия

Корень или корень можно представить бесконечным рядом :

${\ displaystyle (1 + x) ^ {\ frac {s} {t}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ prod _ {k = 0} ^ {n-1 } (s-kt)} {n! t ^ {n}}} x ^ {n}}$

с . Это выражение может быть получено из биномиального ряда . ${\ Displaystyle | х | <1}$

Вычисление главных корней

П - го корня из целого числа к только целое число , если к является произведением п - й степени целых чисел. Во всех остальных случаях корень n- й степени целого числа является иррациональным числом . Например, корень пятой степени из 248832 равен

${\ displaystyle {\ sqrt [{5}] {248832}} = {\ sqrt [{5}] {3 ^ {5} \ cdot 2 ^ {5} \ cdot 2 ^ {5}}} = 12}$

а корень пятой степени из 34 равен

${\ displaystyle {\ sqrt [{5}] {34}} = {\ sqrt [{5}] {2 \ cdot 17}} = 2,024397458 \ ldots,}$

где здесь точки означают не только то, что десятичное выражение не заканчивается после конечного числа цифр, но также и то, что цифры никогда не входят в повторяющийся образец, потому что число иррационально.

Поскольку для положительных действительных чисел a и b равенство выполняется, указанное выше свойство может быть распространено на положительные рациональные числа. Пусть , с р и д взаимно простым и положительными целыми числами, рациональное число, то г имеет рациональный п - й корень, если как положительные , целые числа р и д есть целое число п - й корень, то есть, является произведением п - й степени рационально числа. Если один или оба корня n- й степени в p или q иррациональны, частное тоже иррационально. ${\ displaystyle \; {\ sqrt [{n}] {a / b}} = {\ sqrt [{n}] {a}} / {\ sqrt [{n}] {b}} \;}$${\ Displaystyle г = р / д}$ ${\ Displaystyle \; г = п \ cdot {\ tfrac {1} {q}} \;}$

Используя метод Ньютона

П - й корень из числа А может быть вычислен с методом Ньютона . Начните с первоначального предположения x _0, а затем повторите, используя рекуррентное соотношение

${\ displaystyle x_ {k + 1} = {\ frac {1} {n}} \ left ({(n-1) x_ {k} + {\ frac {A} {x_ {k} ^ {n-1) }}}}\право)}$

пока не будет достигнута желаемая точность.

В зависимости от приложения может быть достаточно использовать только первое приближение Ньютона:

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x ^ {n} + y}} \ приблизительно x + {\ frac {y} {nx ^ {n-1}}}.}$

Например, чтобы найти корень пятой степени из 34, обратите внимание, что 2 ⁵ = 32 и, таким образом, возьмите x = 2, n = 5 и y = 2 в приведенной выше формуле. Это дает

${\ displaystyle {\ sqrt [{5}] {34}} = {\ sqrt [{5}] {32 + 2}} \ приблизительно 2 + {\ frac {2} {5 \ cdot 16}} = 2,025. }$

Погрешность аппроксимации составляет всего около 0,03%.

Метод Ньютона может быть изменен для получения обобщенной непрерывной дроби для корня n- й степени, которая может быть изменена различными способами, как описано в этой статье. Например:

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {z}} = {\ sqrt [{n}] {x ^ {n} + y}} = x + {\ cfrac {y} {nx ^ {n-1} + {\ cfrac {(n-1) y} {2x + {\ cfrac {(n + 1) y} {3nx ^ {n-1} + {\ cfrac {(2n-1) y} {2x + {\ cfrac) {(2n + 1) y} {5nx ^ {n-1} + {\ cfrac {(3n-1) y} {2x + \ ddots}}}}}}}}}}}};};}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {z}} = x + {\ cfrac {2x \ cdot y} {n (2z-y) -y - {\ cfrac {(1 ^ {2} n ^ {2) } -1) y ^ {2}} {3n (2z-y) - {\ cfrac {(2 ^ {2} n ^ {2} -1) y ^ {2}} {5n (2z-y) - {\ cfrac {(3 ^ {2} n ^ {2} -1) y ^ {2}} {7n (2z-y) - \ ddots}}}}}}}}.}.}$

В случае корня пятой степени из 34 выше (после разделения выбранных общих факторов):

${\ displaystyle {\ sqrt [{5}] {34}} = 2 + {\ cfrac {1} {40 + {\ cfrac {4} {4 + {\ cfrac {6} {120 + {\ cfrac {9) } {4 + {\ cfrac {11} {200 + {\ cfrac {14} {4+ \ ddots}}}}}}}}}}} = 2 + {\ cfrac {4 \ cdot 1} {165 -1 - {\ cfrac {4 \ cdot 6} {495 - {\ cfrac {9 \ cdot 11} {825 - {\ cfrac {14 \ cdot 16} {1155- \ ddots}}}}}}}}. }$

Поразрядный расчет главных корней десятичных (основание 10) чисел

Основываясь на вычислении квадратного корня по цифрам , можно увидеть, что используемая здесь формула, или , следует шаблону, включающему треугольник Паскаля. Поскольку корень n- й степени числа определяется как значение элемента в строке Треугольника Паскаля, так что мы можем переписать выражение как . Для удобства назовите результат этого выражения . Используя это более общее выражение, любой положительный главный корень может быть вычислен цифра за цифрой следующим образом. ${\ Displaystyle х (20p + х) \ leq c}$${\ displaystyle x ^ {2} + 20xp \ leq c}$${\ Displaystyle P (п, я)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle P (4,1) = 4}$${\ displaystyle \ sum _ {я = 0} ^ {n-1} 10 ^ {i} P (n, i) p ^ {i} x ^ {ni}}$${\ displaystyle y}$

Запишите исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогично алгоритму длинного деления , и, как и при длинном делении, корень будет записан в строке выше. Теперь разделите цифры на группы цифр, соответствующих корню, начиная с десятичной точки и идя влево и вправо. Десятичная точка корня будет выше десятичной точки подкоренного выражения. Одна цифра корня появится над каждой группой цифр исходного номера.

Начиная с самой левой группы цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:

1. Начиная слева, опустите наиболее значимую (крайнюю левую) группу цифр, которые еще не используются (если все цифры были использованы, напишите «0» количество раз, необходимое для создания группы) и запишите их справа от остаток от предыдущего шага (на первом шаге остатка не будет). Другими словами, умножьте остаток на и сложите цифры из следующей группы. Это будет текущее значение c .${\ displaystyle 10 ^ {n}}$
2. Найдите p и x следующим образом:
   • Позвольте быть частью корня, найденного до сих пор , игнорируя любую десятичную точку. (Для первого шага ).${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p = 0}$
   • Определите наибольшую цифру, такую ​​что .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y \ leq c}$
   • Поместите цифру как следующую цифру корня, то есть над группой цифр, которую вы только что набрали. Таким образом, следующий p будет старым p, умноженным на 10 плюс x .${\ displaystyle x}$
3. Вычтите из, чтобы получить новый остаток.${\ displaystyle y}$${\ displaystyle c}$
4. Если остаток равен нулю и нет больше цифр, которые нужно сбрасывать, то алгоритм завершен. В противном случае вернитесь к шагу 1 для другой итерации.

Примеры

Найдите квадратный корень из 152,2756.

          1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56

         01                   100·1·00·12 + 101·2·01·11     ≤      1   <   100·1·00·22   + 101·2·01·21         x = 1
         01                      y = 100·1·00·12   + 101·2·01·12   =  1 +    0   =     1
         00 52                100·1·10·22 + 101·2·11·21     ≤     52   <   100·1·10·32   + 101·2·11·31         x = 2
         00 44                   y = 100·1·10·22   + 101·2·11·21   =  4 +   40   =    44
            08 27             100·1·120·32 + 101·2·121·31   ≤    827   <   100·1·120·42  + 101·2·121·41        x = 3
            07 29                y = 100·1·120·32  + 101·2·121·31  =  9 +  720   =   729
               98 56          100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤   9856   <   100·1·1230·52 + 101·2·1231·51       x = 4
               98 56             y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840   =  9856
               00 00          Algorithm terminates: Answer is 12.34

Найдите кубический корень из 4192 до ближайшей сотой.

        1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000

      004                      100·1·00·13    +  101·3·01·12   + 102·3·02·11    ≤          4  <  100·1·00·23     + 101·3·01·22    + 102·3·02·21     x = 1
      001                         y = 100·1·00·13   + 101·3·01·12   + 102·3·02·11   =   1 +      0 +          0   =          1
      003 192                  100·1·10·63    +  101·3·11·62   + 102·3·12·61    ≤       3192  <  100·1·10·73     + 101·3·11·72    + 102·3·12·71     x = 6
      003 096                     y = 100·1·10·63   + 101·3·11·62   + 102·3·12·61   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
          096 000              100·1·160·13   + 101·3·161·12   + 102·3·162·11   ≤      96000  <  100·1·160·23   + 101·3·161·22   + 102·3·162·21    x = 1
          077 281                 y = 100·1·160·13  + 101·3·161·12  + 102·3·162·11  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
          018 719 000          100·1·1610·23  + 101·3·1611·22  + 102·3·1612·21  ≤   18719000  <  100·1·1610·33  + 101·3·1611·32  + 102·3·1612·31   x = 2
              015 571 928         y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000  100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000  <  100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51  x = 4
                               The desired precision is achieved:
                               The cube root of 4192 is about 16.12

Логарифмический расчет

Главный корень n- й степени положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Начиная с уравнения, которое определяет r как корень n- й степени из x , а именно с положительным x и, следовательно, его главный корень r также положительным, логарифмируют обе стороны ( подойдет любое основание логарифма ), чтобы получить ${\ Displaystyle г ^ {п} = х,}$

${\ displaystyle n \ log _ {b} r = \ log _ {b} x \ quad \ quad {\ text {следовательно}} \ quad \ quad \ log _ {b} r = {\ frac {\ log _ { b} x} {n}}.}$

Корень r восстанавливается из этого путем взятия антилогарифма :

${\ displaystyle r = b ^ {{\ frac {1} {n}} \ log _ {b} x}.}$

(Примечание: эта формула показывает b в степени результата деления, а не b, умноженного на результат деления.)

В случае, когда x отрицательно, а n нечетно, существует один действительный корень r, который также отрицателен. Это можно найти, сначала умножив обе части определяющего уравнения на −1, чтобы получить, а затем, как и прежде, чтобы найти | r |, и используя r = - | г | . ${\ Displaystyle | г | ^ {п} = | х |,}$

Геометрическая конструктивность

В древнегреческие математики знали , как использовать компас и Straightedge построить длину , равную квадратному корню из заданной длины, когда вспомогательная линия единичной длины дается. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корень n- й степени заданной длины не может быть построен, если n не является степенью двойки.

Сложные корни

Каждое комплексное число, отличное от 0, имеет n различных корней n- й степени.

Квадратные корни

Два квадратных корня комплексного числа всегда отрицательны друг другу. Например, квадратные корни из −4 равны 2 i и −2 i , а квадратные корни из i равны

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} (1 + i) \ quad {\ text {and}} \ quad - {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} (1 + i).}$

Если мы выразим комплексное число в полярной форме, то квадратный корень можно получить, взяв квадратный корень из радиуса и уменьшив угол вдвое:

${\ displaystyle {\ sqrt {re ^ {i \ theta}}} = \ pm {\ sqrt {r}} \ cdot e ^ {i \ theta / 2}.}$

Основной корень комплексного числа может быть выбран различными способами, например ,

${\ displaystyle {\ sqrt {re ^ {я \ theta}}} = {\ sqrt {r}} \ cdot e ^ {я \ theta / 2}}$

который вводит разрез ветви в комплексной плоскости вдоль положительной вещественной оси с условием 0 ≤  θ  <2 π , или вдоль отрицательной вещественной оси с - π  <  θ  ≤  π .

Используя первый (последний) ветви вырезать главный квадратный корень карты на полуплоскость с неотрицательной мнимой (реальной) части. Последнее сокращение ветки предполагается в математических программах, таких как Matlab или Scilab . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {z}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle z}$

Корни единства

Число 1 имеет n различных корней n- й степени на комплексной плоскости, а именно

${\ Displaystyle 1, \; \ omega, \; \ omega ^ {2}, \; \ ldots, \; \ omega ^ {n-1},}$

где

${\ displaystyle \ omega = e ^ {\ frac {2 \ pi i} {n}} = \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right) + i \ sin \ left ({ \ frac {2 \ pi} {n}} \ right)}$

Эти корни равномерно распределены по единичному кругу в комплексной плоскости под углами, кратными . Например, квадратные корни из единицы равны 1 и −1, а корни четвертой степени из единицы равны 1 ,, −1 и . ${\ displaystyle 2 \ pi / n}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle -i}$

корни n

Каждое комплексное число имеет n различных корней n- й степени на комплексной плоскости. Эти

${\ displaystyle \ eta, \; \ eta \ omega, \; \ eta \ omega ^ {2}, \; \ ldots, \; \ eta \ omega ^ {n-1},}$

где η - единственный корень n- й степени, а 1,  ω ,  ω ² , ...  ω ^{n −1} - корни n- й степени из единицы. Например, четыре разных корня четвертой степени из 2 равны

${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {2}}, \ quad i {\ sqrt [{4}] {2}}, \ quad - {\ sqrt [{4}] {2}}, \ quad {\ text {and}} \ quad -i {\ sqrt [{4}] {2}}.}$

В полярной форме единственный корень n- й степени может быть найден по формуле

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {re ^ {i \ theta}}} = {\ sqrt [{n}] {r}} \ cdot e ^ {i \ theta / n}.}$

Здесь r - величина (модуль, также называемый абсолютным значением ) числа, из которого следует извлечь корень; если число можно записать как + bi, тогда . Кроме того, это угол, образованный при повороте в исходной точке против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси к лучу, идущему от начала координат к числу; он имеет свойства, которые и${\ displaystyle r = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ соз \ тета = а / г,}$ ${\ Displaystyle \ грех \ тета = б / г,}$${\ Displaystyle \ tan \ theta = b / a.}$

Таким образом, поиск корней n- й степени в комплексной плоскости можно разделить на два этапа. Во- первых, величина всех п - й корней является п - й корень из величины исходного числа. Во-вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом от начала координат до одного из корней n равен , где - угол, определенный таким же образом для числа, корень которого берется. Кроме того, все корни n из n находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. ${\ displaystyle \ theta / n}$${\ displaystyle \ theta}$

Если n четно, корни n- го порядка комплексного числа , из которых есть четное число, входят в аддитивные обратные пары, так что если число r ₁ является одним из корней n- й степени, то r ₂ = - r ₁ является другим. Это связано с тем, что повышение коэффициента –1 последнего до степени n для четного n дает 1: то есть (- r ₁ ) ⁿ = (–1) ⁿ × r ₁ ⁿ = r ₁ ⁿ .

Как и в случае с квадратными корнями, приведенная выше формула не определяет непрерывную функцию на всей комплексной плоскости, а вместо этого имеет разветвление в точках, где θ  /  n является разрывным.

Решение многочленов

Когда-то было высказано предположение, что все полиномиальные уравнения могут быть решены алгебраически (то есть, что все корни полинома могут быть выражены через конечное число радикалов и элементарных операций ). Однако, хотя это верно для многочленов третьей степени ( кубики ) и полиномов четвертой степени ( квартики ), теорема Абеля – Руффини (1824) показывает, что это неверно в общем случае, когда степень равна 5 или выше. Например, решения уравнения

${\ Displaystyle х ^ {5} = х + 1}$

не могут быть выражены в терминах радикалов. ( ср. уравнение пятой степени )

Доказательство иррациональности несовершенного п - й степени х

Предположим, что это рационально. То есть его можно сократить до дроби , где a и b - целые числа без общего множителя. ${\ Displaystyle {\ sqrt [{п}] {х}}}$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$

Это значит что . ${\ displaystyle x = {\ frac {a ^ {n}} {b ^ {n}}}}$

Поскольку x является целым числом и должен иметь общий множитель, если . Это означает, что если , не в простейшей форме. Таким образом, b должно быть равно 1. ${\ Displaystyle а ^ {п}}$${\ displaystyle b ^ {n}}$${\ displaystyle b \ neq 1}$${\ displaystyle b \ neq 1}$${\ displaystyle {\ frac {a ^ {n}} {b ^ {n}}}}$

Так как и , . ${\ displaystyle 1 ^ {n} = 1}$${\ displaystyle {\ frac {n} {1}} = n}$${\ displaystyle {\ frac {a ^ {n}} {b ^ {n}}} = a ^ {n}}$

Это означает , что и , таким образом, . Это означает, что это целое число. Поскольку x не является совершенной степенью n , это невозможно. Таким образом , нерационально. ${\ Displaystyle х = а ^ {п}}$${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} = а}$${\ Displaystyle {\ sqrt [{п}] {х}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt [{п}] {х}}}$

Смотрите также

• Алгоритм N-го корня
• Алгоритм смещения корня n-й степени
• Радикальный символ
• Алгебраическое число
• Вложенный радикал
• Корень двенадцатой степени из двух
• Супер-корень

Ссылки

внешние ссылки