Кольцо Новикова - Novikov ring

В математике, учитывая аддитивную подгруппу , то Новики кольцо из подкольца , состоящие из формальных сумм , такие , что и . Это понятие было введено Сергеем Новиковым в статьях, положивших начало обобщению теории Морса с использованием замкнутой одной формы вместо функции. Это понятие используется , среди прочего, в квантовых когомологиях . ${\ Displaystyle \ Gamma \ subset \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Nov} (\ Gamma)}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\! [\ Gamma] \!]}$ ${\ Displaystyle \ сумма п _ {\ гамма _ {я}} т ^ {\ гамма _ {я}}}$${\ displaystyle \ gamma _ {1}> \ gamma _ {2}> \ cdots}$${\ displaystyle \ gamma _ {i} \ to - \ infty}$

Кольцо Новикова - область главных идеалов . Пусть S подмножество , состоящие из тех , с ведущим термином 1. Так как элементы S единичные элементы , тем локализации из по отношению к S является подкольцом называется «рациональная часть» ; это также основная идеальная область . ${\ displaystyle \ operatorname {Nov} (\ Gamma)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ Gamma]}$${\ displaystyle \ operatorname {Nov} (\ Gamma)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Nov} (\ Gamma) [S ^ {- 1}]}$${\ displaystyle \ operatorname {Nov} (\ Gamma)}$${\ displaystyle \ operatorname {Nov} (\ Gamma)}$${\ displaystyle \ operatorname {Nov} (\ Gamma)}$

Числа Новикова

Для гладкой функции f на гладком многообразии с невырожденными критическими точками обычная теория Морса строит свободный цепной комплекс такой, что (интегральный) ранг - это количество критических точек f индекса p (называемого числом Морса). Он вычисляет (интегральную) гомологию с (см Морзе гомология ): ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle C _ {*} (е)}$${\ displaystyle C_ {p}}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle H ^ {*} (C _ {*} (f)) \ cong H ^ {*} (M, \ mathbb {Z})}$

По аналогии с этим можно определить «числа Новикова». Пусть X - связный многогранник с базовой точкой. Каждый класс когомологий можно рассматривать как линейный функционал на первой группе гомологий ; когда он составлен с помощью гомоморфизма Гуревича , его можно рассматривать как гомоморфизм группы . По универсальному свойству это отображение, в свою очередь, дает гомоморфизм колец, ${\ displaystyle \ xi \ in H ^ {1} (X, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle H_ {1} (X, \ mathbb {R})}$${\ Displaystyle \ xi \ двоеточие \ pi = \ pi _ {1} (X) \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ phi _ {\ xi} \ двоеточие \ mathbb {Z} [\ pi] \ to \ operatorname {Nov} = \ operatorname {Nov} (\ mathbb {R})}$,

доводим модуль до конца . Поскольку X - связный многогранник, локальная система коэффициентов над ним взаимно однозначно соответствует -модулю. Пусть - локальная система коэффициентов, соответствующая модульной структуре, заданной формулой . Группа гомологий - это конечно порожденный модуль, над которым по структурной теореме есть прямая сумма своей свободной части и ее торсионной части. Ранг свободной части называется числом Новикова Бетти и обозначается . Число циклических модулей в торсионной части обозначено через . Если , тривиально и является обычным числом Бетти X . ${\ displaystyle \ operatorname {ноя}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ pi]}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [\ pi]}$${\ Displaystyle L _ {\ xi}}$${\ displaystyle \ operatorname {ноя}}$${\ Displaystyle \ phi _ {\ xi}}$${\ displaystyle H_ {p} (X, L _ {\ xi})}$${\ displaystyle \ operatorname {ноя},}$${\ displaystyle b_ {p} (\ xi)}$${\ displaystyle q_ {p} (\ xi)}$${\ Displaystyle \ xi = 0}$${\ Displaystyle L _ {\ xi}}$${\ displaystyle b_ {p} (0)}$

Аналог неравенств Морса верен и для чисел Новикова (см. Пока ссылку).

Заметки

Ссылки

• Фарбер, Майкл (2004). Топология замкнутых одноформ . Математические обзоры и монографии. 108 . Американское математическое общество . ISBN 0-8218-3531-9. Zbl  1052.58016 .
• С. П. Новиков. Многозначные функции и функционалы: аналог теории Морса. Советская математика - Доклады 24 (1981), 222–226.
• С. П. Новиков: Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса. Российские математические обзоры 35: 5 (1982), 1–56.

внешняя ссылка

• Различные определения кольца Новикова?