Нелинейная акустика - Nonlinear acoustics

Нелинейность распространения ультразвуковых волн через ткань при больших амплитудах

Нелинейная акустика (NLA) - это раздел физики и акустики, связанный со звуковыми волнами достаточно больших амплитуд. Большие амплитуды требуют использования полных систем управляющих уравнений гидродинамики (для звуковых волн в жидкостях и газах) и упругости (для звуковых волн в твердых телах). Эти уравнения, как правило, нелинейны , и их традиционная линеаризация больше невозможна. Решения этих уравнений показывают, что из-за эффектов нелинейности звуковые волны искажаются при движении.

Введение

Звуковая волна распространяется через материал в виде локализованного давления изменения. Повышение давления газа или жидкости увеличивает его локальную температуру. Локальная скорость звука в сжимаемом материале увеличивается с температурой; в результате волна распространяется быстрее во время фазы колебаний высокого давления, чем во время фазы низкого давления. Это влияет на частотную структуру волны; например, в первоначально простой синусоидальной волне одной частоты пики волны распространяются быстрее, чем впадины, и импульс в совокупности становится больше похож на пилообразную волну . Другими словами, волна искажает сама себя. При этом вводятся другие частотные составляющие, которые можно описать рядом Фурье. Это явление характерно для нелинейной системы , поскольку линейная акустическая система реагирует только на частоту возбуждения. Это всегда происходит, но эффекты геометрического расширения и поглощения обычно преодолевают самоискажение, поэтому обычно преобладает линейное поведение, а нелинейное акустическое распространение происходит только для очень больших амплитуд и только вблизи источника.

Кроме того, волны разной амплитуды будут создавать разные градиенты давления, способствуя нелинейному эффекту.

Физический анализ

Изменения давления в среде вызывают передачу энергии волны высшим гармоникам. Поскольку затухание обычно увеличивается с увеличением частоты, существует противодействие, которое изменяет характер нелинейного эффекта на расстоянии. Для описания уровня нелинейности материалам можно задать параметр нелинейности . Значения и являются коэффициентами членов первого и второго порядка разложения в ряд Тейлора уравнения, связывающего давление материала с его плотностью. В ряду Тейлора больше членов и, следовательно, больше коэффициентов (C, D, ...), но они используются редко. Типичные значения параметра нелинейности в биологических средах показаны в следующей таблице. ${\ Displaystyle B / A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Материал	${\ Displaystyle B / A}$
Кровь	6.1
Мозг	6,6
Толстый	10
Печень	6,8
Мышцы	7,4
Вода	5.2
Одноатомный газ	0,67

В жидкости обычно используется модифицированный коэффициент, известный как . ${\ displaystyle \ beta = 1 + {\ frac {B} {2A}}}$

Математическая модель

Основные уравнения для вывода уравнения Вестервельта

Преемственность:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho {\ textbf {u}}) = 0}$

Сохранение импульса:

${\ displaystyle \ rho \ left ({\ frac {\ partial {\ textbf {u}}} {\ partial t}} + {\ textbf {u}} \ cdot \ nabla {\ textbf {u}} \ right) + \ nabla p = (\ lambda +2 \ mu) \ nabla (\ nabla \ cdot {\ textbf {u}})}$

с разложением возмущения Тейлора по плотности:

${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {0} ^ {\ infty} \ varepsilon ^ {i} \ rho _ {i}}$

где ε - малый параметр, т.е. параметр возмущения, уравнение состояния принимает следующий вид:

${\ displaystyle p = \ varepsilon \ rho _ {1} c_ {0} ^ {2} \ left (1+ \ varepsilon {\ frac {B} {2! A}} {\ frac {\ rho _ {1}) } {\ rho _ {0}}} + O (\ varepsilon ^ {2}) \ right)}$

Если опустить второй член в разложении давления Тейлора, можно вывести уравнение вязкой волны. Если его сохранить, нелинейный член давления появится в уравнении Вестервельта.

Уравнение Вестервельта

Общее волновое уравнение, учитывающее нелинейность до второго порядка, дается уравнением Вестервельта

${\ displaystyle \, \ nabla ^ {2} p - {\ frac {1} {c_ {0} ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} p} {\ partial t ^ {2} }} + {\ frac {\ delta} {c_ {0} ^ {4}}} {\ frac {\ partial ^ {3} p} {\ partial t ^ {3}}} = - {\ frac {\ бета} {\ rho _ {0} c_ {0} ^ {4}}} {\ frac {\ partial ^ {2} p ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}}}$

где - звуковое давление, - скорость звука слабого сигнала, - коэффициент диффузии звука, - коэффициент нелинейности, - это плотность окружающей среды. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ rho _ {0}}$

Коэффициент диффузии звука определяется выражением

${\ displaystyle \, \ delta = {\ frac {1} {\ rho _ {0}}} \ left ({\ frac {4} {3}} \ mu + \ mu _ {B} \ right) + { \ frac {k} {\ rho _ {0}}} \ left ({\ frac {1} {c_ {v}}} - {\ frac {1} {c_ {p}}} \ right)}$

где - сдвиговая вязкость, объемная вязкость, теплопроводность и удельная теплоемкость при постоянном объеме и давлении соответственно. ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu _ {B}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle c_ {v}}$${\ displaystyle c_ {p}}$

Уравнение Бюргерса

Уравнение Вестервельта можно упростить, чтобы принять одномерную форму с допущением о волнах, распространяющихся строго вперед, и с использованием преобразования координат для запаздывающих временных рамок:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} - {\ frac {\ beta} {\ rho _ {0} c_ {0} ^ {3}}} p {\ frac {\ partial p } {\ partial \ tau}} = {\ frac {\ delta} {2c_ {0} ^ {3}}} {\ frac {\ partial ^ {2} p} {\ partial \ tau ^ {2}}} }$

где это замедляется время . Это соответствует вязкому уравнению Бюргерса: ${\ Displaystyle \ тау = tz / c_ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial y} {\ partial t '}} + y {\ frac {\ partial y} {\ partial x}} = d {\ frac {\ partial ^ {2} y} {\ частичный x ^ {2}}}}$

в поле давления (y = p) с математической «временной переменной»:

${\ displaystyle t '= {\ frac {z} {c_ {0}}}}$

и с "пробелом":

${\ displaystyle x = - {\ frac {\ rho _ {0} c_ {0} ^ {2}} {\ beta}} \ tau}$

и отрицательный коэффициент диффузии:

${\ displaystyle d = - {\ frac {\ rho _ {0} c_ {0}} {2 \ beta ^ {2}}} \ delta}$ .

Уравнение Бюргерса - это простейшее уравнение, которое описывает комбинированное влияние нелинейности и потерь на распространение прогрессивных волн.

Уравнение КЗК

Дополнение к уравнению Бюргерса, которое учитывает комбинированные эффекты нелинейности, дифракции и поглощения в направленных звуковых пучках, описывается уравнением Хохлова – Заболоцкой – Кузнецова (KZK), названного в честь Рема Хохлова , Евгении Заболоцкой и В.П. Кузнецова. Решения этого уравнения обычно используются для моделирования нелинейной акустики.

Если ось направлена ​​в направлении пути звукового луча, а плоскость перпендикулярна ему, уравнение КЗК можно записать ${\ displaystyle z}$${\ Displaystyle (х, у)}$

${\ displaystyle \, {\ frac {\ partial ^ {2} p} {\ partial z \ partial \ tau}} = {\ frac {c_ {0}} {2}} \ nabla _ {\ perp} ^ { 2} p + {\ frac {\ delta} {2c_ {0} ^ {3}}} {\ frac {\ partial ^ {3} p} {\ partial \ tau ^ {3}}} + {\ frac {\ бета} {2 \ rho _ {0} c_ {0} ^ {3}}} {\ frac {\ partial ^ {2} p ^ {2}} {\ partial \ tau ^ {2}}}}$

Уравнение может быть решено для конкретной системы с помощью конечно-разностной схемы. Такие решения показывают, как искажается звуковой луч при прохождении через нелинейную среду.

Общие случаи

ударная волна

Нелинейное поведение атмосферы приводит к изменению формы волны звукового удара . Как правило, это делает гик более «резким» или внезапным, поскольку пик с высокой амплитудой перемещается к фронту волны.

Акустическая левитация

Акустическая левитация была бы невозможна без нелинейных акустических явлений. Нелинейные эффекты особенно очевидны из-за задействованных мощных акустических волн.

Ультразвуковые волны

Из - за их относительно высокой амплитуды к длине волны отношение, ультразвуковые волны , обычно отображать нелинейное поведение распространения. Например, нелинейная акустика представляет интерес для медицинской ультрасонографии, потому что ее можно использовать для получения лучшего качества изображения.

Музыкальная акустика

Физическое поведение музыкальной акустики в основном нелинейно. Предпринимаются попытки смоделировать их генерацию звука на основе синтеза физического моделирования , имитируя их звук на основе измерений их нелинейности.

Параметрические массивы

Параметрический массив является нелинейным механизмом трансдукции , который генерирует узкие, почти боковые лепестки , свободных пучки низкочастотного звука, через перемешивание и взаимодействие высокочастотных звуковые волн. Применяется, например, в подводной акустике и аудио.

Смотрите также

• Кавитация

использованная литература