Теорема об отсутствии связи - No-communication theorem

В физике теорема об отсутствии связи или принцип отсутствия сигналов - это запретная теорема из квантовой теории информации, которая утверждает, что во время измерения запутанного квантового состояния это невозможно для одного наблюдателя путем измерения подсистемы. всего состояния, чтобы передать информацию другому наблюдателю. Теорема имеет важное значение , так как , в квантовой механике , квантовой запутанности является эффектом , с помощью которого некоторые широко отделенные события могут быть связаны таким образом , что предполагает возможность общения быстрее, чем свет . Теорема о запрете связи дает условия, при которых такая передача информации между двумя наблюдателями невозможна. Эти результаты могут быть применены для понимания так называемых парадоксов в квантовой механике , таких как парадокс ЭПР , или нарушений локального реализма, полученных при проверке теоремы Белла . В этих экспериментах теорема об отсутствии связи показывает, что отказ от локального реализма не приводит к тому, что можно было бы назвать «жуткой коммуникацией на расстоянии» (по аналогии с обозначением Эйнштейном квантовой запутанности как требующей «жутких действий на расстоянии»). в предположении полноты КМ).

Неофициальный обзор

Теорема отсутствия связи утверждает, что в контексте квантовой механики невозможно передавать классические биты информации посредством тщательно подготовленных смешанных или чистых состояний , запутанных или нет. Теорема запрещает любое общение, а не только общение со скоростью, превышающей скорость света, посредством общих квантовых состояний. Теорема запрещает передачу не только целых битов, но даже их частей. Это важно принять к сведению, так как существует множество классических методов кодирования радиосвязи, которые могут передавать сколь угодно малые доли бита по произвольно узким, зашумленным каналам связи . В частности, можно представить себе, что существует некоторый ансамбль, который может быть подготовлен, с небольшими частями ансамбля, сообщающими доли бита; это тоже невозможно.

Теорема основана на основном предположении, что законы квантовой механики верны. Подобные теоремы могут или не могут быть верными для других связанных теорий, таких как теории скрытых переменных . Теорема о запрете связи не предназначена для ограничения других, неквантово-механических теорий.

Основное допущение ввода в теорему является то , что квантово-механической система получает в исходном состоянии, и что это начальное состояние описываться как смешанный или чистым вид в гильбертовом пространстве H . Затем система со временем развивается таким образом, что есть две пространственно различные части, A и B , отправленные двум различным наблюдателям, Алисе и Бобу , которые могут проводить квантово-механические измерения на своей части общей системы (а именно, А и Б). Возникает вопрос: есть ли какое-либо действие, которое Алиса может выполнить с A, которое Боб обнаружил бы, наблюдая за B? Теорема отвечает «нет».

Важное предположение, входящее в теорему, состоит в том, что ни Алисе, ни Бобу не разрешается каким-либо образом влиять на подготовку начального состояния. Если бы Алисе было разрешено принимать участие в подготовке начального состояния, ей было бы тривиально легко закодировать в него сообщение; таким образом, ни Алиса, ни Боб не участвуют в подготовке начального состояния. Теорема не требует, чтобы начальное состояние было каким-то образом «случайным», «сбалансированным» или «однородным»: действительно, третья сторона, готовящая начальное состояние, может легко закодировать в нем сообщения, полученные Алисой и Бобом. Просто теорема утверждает, что при некотором начальном состоянии, подготовленном каким-либо образом, нет никаких действий, которые Алиса может предпринять, которые были бы обнаружены Бобом.

Доказательство продолжается с определения того, как все гильбертово пространство H может быть разделено на две части, H _A и H _B , описывающие подпространства, доступные Алисе и Бобу. Предполагается, что полное состояние системы описывается матрицей плотности σ. Это кажется разумным предположением, поскольку матрицы плотности достаточно для описания как чистых, так и смешанных состояний в квантовой механике. Другая важная часть теоремы состоит в том, что измерение выполняется путем применения оператора обобщенной проекции P к состоянию σ. Это снова разумно, поскольку операторы проекции дают соответствующее математическое описание квантовых измерений . Говорят, что после измерения, проведенного Алисой, состояние всей системы коллапсировало до состояния P (σ).

Цель теоремы - доказать, что Боб никоим образом не может отличить состояние σ до измерения от состояния P (σ) после измерения . Это достигается математически путем сравнения следов от сга и след Р (о), причем след берется по подпространству Н _А . Поскольку трасса проходит только над подпространством, технически она называется частичной трассой . Ключом к этому шагу является предположение, что (частичная) трассировка адекватно резюмирует систему с точки зрения Боба. То есть все, к чему Боб имеет доступ или может когда-либо иметь доступ, измерять или обнаруживать, полностью описывается частичной трассировкой по H _A системы σ. Опять же, это разумное предположение, поскольку это часть стандартной квантовой механики. Тот факт, что этот след никогда не меняется, когда Алиса выполняет свои измерения, является заключением доказательства теоремы о запрете связи.

Формулировка

Доказательство теоремы обычно иллюстрируется на схеме тестов Белла, в которых два наблюдателя Алиса и Боб проводят локальные наблюдения над общей двудольной системой и используют статистический аппарат квантовой механики, а именно состояния плотности и квантовые операции .

Алиса и Боб выполняют измерения на системе S , базовым гильбертово пространство является

${\ displaystyle H = H_ {A} \ otimes H_ {B}.}$

Также предполагается, что все конечномерно, чтобы избежать проблем сходимости. Состояние составной системы задается оператором плотности на Н . Любой оператор плотности σ на H является суммой вида:

${\ displaystyle \ sigma = \ sum _ {i} T_ {i} \ otimes S_ {i}}$

где T _i и S _i - операторы в H _A и H _B соответственно. В дальнейшем не требуется предполагать, что T _i и S _i являются операторами проекции состояния: т.е. они не обязательно должны быть неотрицательными или иметь след единицы. То есть σ может иметь несколько более широкое определение, чем матрица плотности; теорема все еще верна. Отметим, что теорема тривиально выполняется для сепарабельных состояний . Если общее состояние σ отделимо, ясно, что любая локальная операция Алисы оставит систему Боба нетронутой. Таким образом, суть теоремы заключается в том, что общение не может быть достигнуто через общее запутанное состояние.

Алиса выполняет локальное измерение своей подсистемы. В общем, это описывается квантовой операцией над состоянием системы следующего вида

${\ displaystyle P (\ sigma) = \ sum _ {k} (V_ {k} \ otimes I_ {H_ {B}}) ^ {*} \ sigma \ (V_ {k} \ otimes I_ {H_ {B) }}),}$

где V _k называются матрицами Крауса, удовлетворяющими

${\ displaystyle \ sum _ {k} V_ {k} V_ {k} ^ {*} = I_ {H_ {A}}.}$

Период, термин

${\ displaystyle I_ {H_ {B}}}$

из выражения

${\ displaystyle (V_ {k} \ otimes I_ {H_ {B}})}$

означает, что измерительный прибор Алисы не взаимодействует с подсистемой Боба.

Предположив комбинированную систему получает в состоянии сга и предполагая, для целей аргумента, нерелятивистская ситуация, сразу же (без временной задержки) после того, как Алиса выполняет ее измерение, относительное состояние системы Боба задаются частичным следом из общее состояние системы Алисы. В символах относительное состояние системы Боба после операции Алисы равно

${\ Displaystyle \ OperatorName {tr} _ {H_ {A}} (P (\ sigma))}$

где - отображение частичного следа относительно системы Алисы. ${\ displaystyle \ operatorname {tr} _ {H_ {A}}}$

Это состояние можно вычислить напрямую:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} _ {H_ {A}} (P (\ sigma)) = \ operatorname {tr} _ {H_ {A}} \ left (\ sum _ {k} (V_ {k} \ иногда I_ {H_ {B}}) ^ {*} \ sigma (V_ {k} \ otimes I_ {H_ {B}}) \ right)}$

${\ displaystyle = \ operatorname {tr} _ {H_ {A}} \ left (\ sum _ {k} \ sum _ {i} V_ {k} ^ {*} T_ {i} V_ {k} \ otimes S_ {Я прав)}$

${\ displaystyle = \ sum _ {i} \ sum _ {k} \ operatorname {tr} (V_ {k} ^ {*} T_ {i} V_ {k}) S_ {i}}$

${\ displaystyle = \ sum _ {i} \ sum _ {k} \ operatorname {tr} (T_ {i} V_ {k} V_ {k} ^ {*}) S_ {i}}$

${\ displaystyle = \ sum _ {i} \ operatorname {tr} \ left (T_ {i} \ sum _ {k} V_ {k} V_ {k} ^ {*} \ right) S_ {i}}$

${\ displaystyle = \ sum _ {i} \ operatorname {tr} (T_ {i}) S_ {i}}$

${\ displaystyle = \ operatorname {tr} _ {H_ {A}} (\ sigma).}$

Исходя из этого, утверждается, что статистически Боб не может отличить то, что сделала Алиса, от случайного измерения (или сделала ли она что-нибудь вообще).

Некоторые комментарии

• Если оператору плотности позволено эволюционировать под влиянием нелокальных взаимодействий между A и B, то, как правило, вычисления в доказательстве больше не выполняются, если не предполагаются подходящие коммутационные соотношения. ${\ Displaystyle P (\ sigma)}$
• Таким образом, теорема об отсутствии связи гласит, что одна только общая запутанность не может использоваться для передачи какой-либо информации. Сравните это с теоремой о запрете телепортации , согласно которой классический информационный канал не может передавать квантовую информацию. (Под передачей мы подразумеваем передачу с полной точностью.) Однако схемы квантовой телепортации используют оба ресурса для достижения того, что невозможно ни для одного другого.
• Теорема о запрете связи подразумевает теорему о запрете клонирования , в которой говорится, что квантовые состояния не могут быть (полностью) скопированы. То есть клонирование - достаточное условие для передачи классической информации. Чтобы убедиться в этом, предположим, что квантовые состояния можно клонировать. Предположим, что части максимально запутанного состояния Белла распределены между Алисой и Бобом. Алиса может посылать биты Бобу следующим образом: если Алиса желает передать «0», она измеряет спин своего электрона в направлении z , сводя состояние Боба к или . Чтобы передать «1», Алиса ничего не делает со своим кубитом . Боб создает множество копий своего электронного состояния и измеряет вращение каждой копии в направлении z . Боб будет знать, что Алиса передала «0», если все его измерения дадут одинаковый результат; в противном случае его измерения будут иметь результаты или с равной вероятностью. Это позволило бы Алисе и Бобу обмениваться классическими битами друг с другом (возможно, через пространственно-подобные разделения, нарушая причинно-следственную связь ). ${\ displaystyle | z + \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle | z- \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle | z + \ rangle _ {B}}$${\ displaystyle | z- \ rangle _ {B}}$
• Версия теоремы об отсутствии связи, обсуждаемая в этой статье, предполагает, что квантовая система, совместно используемая Алисой и Бобом, является составной системой, т.е. что лежащее в ее основе гильбертово пространство представляет собой тензорное произведение, первый фактор которого описывает часть системы, с которой Алиса может взаимодействовать. with и чей второй фактор описывает часть системы, с которой может взаимодействовать Боб. В квантовой теории поля это предположение можно заменить предположением, что Алиса и Боб пространственно разделены . Эта альтернативная версия теоремы об отсутствии связи показывает, что связь со скоростью, превышающей скорость света, не может быть достигнута с использованием процессов, которые подчиняются правилам квантовой теории поля.
• Доказательство теоремы об отсутствии связи предполагает, что все измеримые свойства системы Боба могут быть вычислены по ее уменьшенной матрице плотности, что верно с учетом правила Борна для вычисления вероятности проведения различных измерений. Но эта эквивалентность с правилом Борна также может быть по существу выведена в противоположном направлении, поскольку можно показать, что правило Борна следует из предположения, что пространственно-подобные разделенные события не могут нарушать причинно-следственную связь, влияя друг на друга.

Смотрите также

• Теорема о запрете трансляции
• Теорема о запрете клонирования
• Теорема без удаления
• Теорема о запрете укрытия
• Теорема о запрете телепортации

Рекомендации

• Холл, Майкл JW (1987). «Неточные измерения и нелокальность в квантовой механике». Физика Буквы A . Elsevier BV. 125 (2–3): 89–91. DOI : 10.1016 / 0375-9601 (87) 90127-7 . ISSN   0375-9601 .
• Гирарди, GC ; Грасси, Р. Римини, А; Вебер, Т. (1988-05-15). «Эксперименты типа EPR, связанные с CP-нарушением, не допускают связи между удаленными наблюдателями быстрее света». Письма Europhysics (EPL) . IOP Publishing. 6 (2): 95–100. DOI : 10.1209 / 0295-5075 / 6/2/001 . ISSN   0295-5075 .
• Флориг, Мартин; Саммерс, Стивен Дж. (1997). «О статистической независимости алгебр наблюдаемых». Журнал математической физики . Издательство AIP. 38 (3): 1318–1328. DOI : 10.1063 / 1.531812 . ISSN   0022-2488 .