Равнодействующая сила - Net force

В механике , то результирующая сила является векторной суммой от сил , действующих на частицы или объекта . Результирующая сила является одной силой , которая заменяет действие первоначальных сил на частицы движения . Это придает частице такое же ускорение, как и все эти действительные силы вместе взятые, как описано вторым законом движения Ньютона .

Можно определить крутящий момент, связанный с точкой приложения чистой силы, чтобы он поддерживал движение струй объекта под действием исходной системы сил. Связанный с ним крутящий момент, результирующая сила, становится равнодействующей и оказывает такое же влияние на вращательное движение объекта, как и все действительные силы вместе взятые. Система сил может определять равнодействующую силу без крутящего момента. В этом случае результирующая сила, приложенная к правильному направлению действия , оказывает на тело такое же воздействие, как и все силы в точках их приложения. Не всегда можно найти равнодействующую силу без крутящего момента.

Общая сила

Сила - это векторная величина, что означает, что она имеет величину и направление, и обычно обозначается жирным шрифтом, например F, или стрелкой над символом, например . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {F}}}$

Графически сила представлена ​​в виде отрезка линии от точки ее приложения A до точки B , которая определяет ее направление и величину. Длина отрезка AB представляет величину силы.

Векторное исчисление было разработано в конце 1800-х - начале 1900-х годов. Однако правило параллелограмма, используемое для сложения сил, восходит к древности и явно отмечено Галилеем и Ньютоном.

На схеме показано сложение сил и . Сумма двух сил изображена в виде диагонали параллелограмма, определяемого двумя силами. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {F}} _ {1}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {F}} _ {2}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {F}}}$

Силы, приложенные к вытянутому телу, могут иметь разные точки приложения. Силы являются связанными векторами и могут быть добавлены только в том случае, если они применяются в одной и той же точке. Суммарная сила, полученная от всех сил, действующих на тело, не сохраняет его движения, если не прикладывается в той же точке и не определяется соответствующий крутящий момент, связанный с новой точкой приложения. Чистая сила, приложенная к телу в одной точке с соответствующим крутящим моментом, известна как результирующая сила и крутящий момент.

Правило параллелограмма сложения сил

Сила известна как связанный вектор, что означает, что у нее есть направление, величина и точка приложения. Удобный способ для определения силы является отрезок прямой от точки A до точки B . Если мы обозначим координаты этих точек как A = (A _x , A _y , A _z ) и B = (B _x , B _y , B _z ), то вектор силы, приложенный в A, будет иметь вид

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {B} - \ mathbf {A} = (B_ {x} -A_ {x}, B_ {y} -A_ {y}, B_ {z} -A_ {z) }).}$

Длина вектора B - A определяет величину F и определяется выражением

${\ displaystyle | \ mathbf {F} | = {\ sqrt {(B_ {x} -A_ {x}) ^ {2} + (B_ {y} -A_ {y}) ^ {2} + (B_ { z} -A_ {z}) ^ {2}}}.}$

Сумма двух сил F ₁ и F _2, приложенных к точке A, может быть вычислена из суммы сегментов, которые их определяют. Пусть F ₁  =  B - A и F ₂  =  D - A , тогда сумма этих двух векторов равна

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {F} _ {2} = \ mathbf {B} - \ mathbf {A} + \ mathbf {D} - \ mathbf { A},}$

что можно записать как

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {F} _ {2} = 2 ({\ frac {\ mathbf {B} + \ mathbf {D}} {2} } - \ mathbf {A}) = 2 (\ mathbf {E} - \ mathbf {A}),}$

где Е является середина отрезка BD , который соединяет точки B и D .

Таким образом, сумма сил F ₁ и F ₂ равна удвоенному отрезку, соединяющему A со средней точкой E отрезка, соединяющего конечные точки B и D двух сил. Удвоение этой длины легко достигается путем определения отрезков BC и DC, параллельных AD и AB , соответственно, чтобы сформировать параллелограмм ABCD . Диагональ AC этого параллелограмма представляет собой сумму двух векторов силы. Это известно как правило параллелограмма для сложения сил.

Перевод и вращение из-за силы

Точечные силы

Когда на частицу действует сила, она применяется к одной точке (объем частицы незначителен): это точечная сила, и частица является точкой ее приложения. Но внешняя сила, действующая на протяженное тело (объект), может быть приложена к ряду составляющих его частиц, т.е. может «распространяться» по некоторому объему или поверхности тела. Однако определение его вращательного воздействия на тело требует, чтобы мы указали его точку приложения (фактически, линию приложения, как объяснено ниже). Проблема обычно решается следующими способами:

• Часто объем или поверхность, на которую действует сила, относительно малы по сравнению с размером тела, так что их можно аппроксимировать точкой. Обычно нетрудно определить, является ли ошибка, вызванная таким приближением, допустимой.
• Если это неприемлемо (очевидно, например, в случае силы тяжести), такую ​​силу «объем / поверхность» следует описать как систему сил (компонентов), каждая из которых действует на отдельную частицу, и затем расчет должен быть выполнен для каждый из них в отдельности. Такой расчет обычно упрощается за счет использования дифференциальных элементов объема / поверхности тела и интегрального исчисления. Однако в ряде случаев можно показать, что такая система сил может быть заменена одноточечной силой без фактического расчета (как в случае однородной гравитационной силы).

В любом случае анализ движения твердого тела начинается с модели точечной силы. И когда сила, действующая на тело, отображается графически, ориентированный линейный сегмент, представляющий силу, обычно рисуется так, чтобы «начать» (или «закончить») в точке приложения.

Твердые тела

В примере, показанном на диаграмме напротив, одиночная сила действует в точке приложения H на свободное твердое тело. Тело имеет массу , и его центр масс является точкой С . В приближении постоянной массы сила вызывает изменения в движении тела, описываемые следующими выражениями: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle m}$

${\ displaystyle {\ vec {a}} = {{\ vec {F}} \ over m}}$   центр ускорения масс; а также

${\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} = {{\ vec {\ tau}} \ над I}}$   - угловое ускорение тела.

Во втором выражении - крутящий момент или момент силы, а - момент инерции тела. Крутящий момент, вызванный силой, - это векторная величина, определенная относительно некоторой контрольной точки: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ tau}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle I}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {F}}}$

${\ displaystyle {\ vec {\ tau}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}}}$   - вектор крутящего момента, а

${\ Displaystyle \ \ тау = Fk}$   количество крутящего момента.

Вектор - это вектор положения точки приложения силы, и в этом примере он проводится из центра масс в качестве опорной точки (см. Диаграмму). Прямой отрезок - это плечо рычага силы по отношению к центру масс. Как показано на рисунке, крутящий момент не изменяется (то же плечо рычага), если точка приложения перемещается вдоль линии приложения силы (пунктирная черная линия). Более формально это следует из свойств векторного произведения и показывает, что вращательное действие силы зависит только от положения линии ее приложения, а не от конкретного выбора точки приложения вдоль этой линии. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {r}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle k}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {F}}}$

Вектор крутящего момента перпендикулярен плоскости, определяемой силой и вектором , и в этом примере он направлен к наблюдателю; вектор углового ускорения имеет то же направление. Правилу правой руки относится это направление к по часовой стрелке или против часовой стрелки , вращение в плоскости чертежа. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {r}}}$

Момент инерции рассчитывается относительно оси, проходящей через центр масс, параллельной крутящему моменту. Если тело, показанное на рисунке, представляет собой однородный диск, этот момент инерции равен . Если диск имеет массу 0,5 кг и радиус 0,8 м, момент инерции составляет 0,16 кгм ² . Если сила составляет 2 Н, а плечо рычага 0,6 м, величина крутящего момента составляет 1,2 Нм. В показанный момент сила дает диску угловое ускорение α = τ / I = 7,5 рад / с ² , а его центру масс - линейное ускорение a  = F / m  = 4 м / с ^2. . ${\ displaystyle \ scriptstyle I}$${\ displaystyle \ scriptstyle I = мистер ^ {2} / 2}$

Равнодействующая сила

Результирующая сила и крутящий момент заменяют эффекты системы сил, действующих на движение твердого тела. Интересным частным случаем является результат без крутящего момента, который можно найти следующим образом:

1. Сложение векторов используется для нахождения чистой силы;
2. Используйте уравнение для определения точки приложения с нулевым крутящим моментом:

${\ displaystyle {\ vec {r}} \ times {\ vec {F}} _ {\ mathrm {R}} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} ({\ vec {r}} _ { i} \ times {\ vec {F}} _ {i})}$

где - результирующая сила, расположение точки ее приложения, а отдельные силы - точки приложения . Возможно, нет точки приложения, которая дает результат без крутящего момента. ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ mathrm {R}}}$${\ displaystyle {\ vec {r}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {я}}$

На диаграмме напротив показаны простые графические методы нахождения линии приложения равнодействующей силы простых плоских систем:

1. Линии приложения действительных сил и на самом левом рисунке пересекаются. После того, как векторное сложение выполнено «в месте », полученная результирующая сила преобразуется так, что линия ее приложения проходит через общую точку пересечения. Относительно этой точки все крутящие моменты равны нулю, поэтому крутящий момент результирующей силы равен сумме крутящих моментов фактических сил.${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ mathrm {R}}}$
2. На рисунке в середине диаграммы показаны две параллельные действительные силы. После сложения вектора «в месте расположения » результирующая сила переводится в соответствующую линию приложения, где она становится равнодействующей . Процедура основана на разложении всех сил на составляющие, для которых линии приложения (бледные пунктирные линии) пересекаются в одной точке (так называемый полюс, произвольно установленный в правой части иллюстрации). Затем аргументы из предыдущего случая применяются к силам и их компонентам, чтобы продемонстрировать отношения крутящего момента.${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2}}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ vec {F}} _ {\ mathrm {R}}}$
3. На крайнем правом рисунке показана пара , две равные, но противоположные силы, для которых величина результирующей силы равна нулю, но они создают чистый крутящий момент,    где   - расстояние между линиями их приложения. Поскольку нет равнодействующей силы, этот крутящий момент может быть описан как «чистый» крутящий момент.${\ Displaystyle \ scriptstyle \ tau = Fd}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ d}$

использование

В общем, система сил, действующих на твердое тело, всегда может быть заменена одной силой плюс один чистый (см. Предыдущий раздел) крутящий момент. Сила - это чистая сила, но для расчета дополнительного крутящего момента чистой силе должна быть задана линия действия. Линия действия может быть выбрана произвольно, но дополнительный чистый крутящий момент зависит от этого выбора. В частном случае можно найти такую ​​линию действия, при которой этот дополнительный крутящий момент равен нулю.

Сила результирующей и крутящий момент могут быть определены для любой конфигурации сил. Однако интересным частным случаем является результат без крутящего момента. Это полезно как в концептуальном, так и в практическом плане, потому что тело движется без вращения, как если бы оно было частицей.

Некоторые авторы не различают результирующую силу от чистой силы и используют эти термины как синонимы .

Смотрите также

• Теория винта
• Центр массы
• Центры тяжести в неоднородных полях

использованная литература